Wu Chong-shi §2.1 a0 a1 a2 a3 a420a5 a6a7a8 a9a10a11a12a13a14a15a11a12 §2.1 a16 a17 a18 a19 star a20a21a22zn star a23a22a21a22 ez star a24a25a21a22 sinz, cosz, ··· star a26a27a21a22 sinhz, coshz,··· star ······ a28a29a30a31a32a33a34a35a36a37a38a39 a21a22a40a41a22a42a43a44a45a46a47 ? a48a49a50 a36a37a38a39 a21a22a45a46a51a41a22a42 ? a52a53a21a22a44a54a55a56 ? a52a53a21a22a57a58a41 a39 a21a22a59a60a61a44a56a62 Wu Chong-shi a63a64a65 a0a1a2a3a66a67a68a2a3 a421 a5 star a69a70a71 zn ? a72n = 0,1,2,···a73a74zn a40a75a76a77a54a55a74a78a72 n = 1,2,···a73a74z = ∞a35a79a80a47 ? a72n = ?1,?2,?3,···a73a74zn a81z = 0a82a83a83a54a55a74a40 z = ∞a84a54a55a74 (zn)prime = nzn?1. ? a85a20a21a22a86a31a32a87a88a89a90a91 (na92)a93a94a95(a21a22) Pn(z) = anzn + an?1zn?1 +··· + a1z + a0 a96a97a98 a70a71 R(z) = Pn(z)Q m(z) , a99 a43Pn(z)a96Qm(z)a100a101 a35n a92 a96m a92a102a103a104a47 Wu Chong-shi §2.1 a0 a1 a2 a3 a422a5 star a105a71a70a71 ez ez = ex+iy = ex (cosy + isiny). a1062.1 (a) a107a108a109a108a110a111 (b)a107a108a109a108a112a111 ? a113a23a22a21a22 a36a114a115a116 a23a22 a36a117a118 a52a119a120a121a122a123a74a124 a116 a41a23a22a21a22a125a126 a34a127 a47 ez1 · ez2 = ex1+iy1 · ex2+iy2 = ex1 · ex2 · eiy1 · eiy2 = ex1+x2 · ei(y1+y2) = e(x1+x2)+i(y1+y2) = ez1+z2. ? ez a40a75a76a77a54a55a74 (ez)prime = ez. ? ez a40a128a129a130a80a128a90a91a47a131a48a74a72z a132a133a38a134a135a136a38a134a137a138a134a139a116∞a73a74ez a140a141 a142a143 a44a144a47a59 a32 a74 z = ∞a35a23a22a21a22 ez a44 a79a80 a47 ? a41a23a22a21a22a44a60a61a56a62a145a146a147a56a74 a99 a146a147a58 2piia74 ez+2pii = ex+i(y+2pi) = ex [cos(y + 2pi) + isin(y + 2pi)] = ex [cosy + isiny] = ex+iy = ez. Wu Chong-shi a63a64a65 a0a1a2a3a66a67a68a2a3 a423 a5 star a148a149a70a71 sinz,cosz,··· a41a24a25a21a22 sinz,cosz a31a32a150a41a23a22a21a22a90a91a74 sinz = e iz ?e?iz 2i , cosz = eiz + e?iz 2 . a1062.2 (a) a151a152a109a108a110a111 (b)a151a152a109a108a112a111 a1062.3 (a) a153a152a109a108a110a111 (b)a153a152a109a108a112a111 ? sinz, cosz a40a75a76a77a54a55a74 (sinz)prime = cosz, (cosz)prime = ?sinz. ? z = ∞a35a28a29a44a154a88a79a80a47 ? sinz a96cosz a30a35a146a147a21a22a74a146a147a58 2pia47 ? sinz a96cosz a44a155 a31a32a156a116 1 a47 i sini = e ?1 ?e1 2 = ?1.1752012···, cosi = e ?1 + e1 2 = 1.5430806···. Wu Chong-shi §2.1 a0 a1 a2 a3 a424a5 a99a157 a24a25a21a22a74 tanz,cotz,secz,cscz a31a32a150 sinz a96cosz a90a91a74a158a104 a96a38 a22a73 a88a159 a74 tanz = sinzcosz, cotz = coszsinz, secz = 1cosz, cscz = 1sinz. a160a161 a52a53 a90a91 a74a162a163a164a165a74 a38 a24a25a21a22a44a166a167a168 a115 a104a124 a116 a41a24a25a21a22a125a126 a34a127 a47 star a169a170a70a71 sinhz,coshz,··· a26a27a21a22 sinhz,coshz a84 a35a171a172 a41a23a22a21a22 a90a91 a44a47 sinhz = e z ?e?z 2 , coshz = ez + e?z 2 , tanhz = sinhzcoshz, cothz = coshzsinhz, sechz = 1coshz, cschz = 1sinhz. ? a26a27a21a22 a96 a24a25a21a22 a31a32a173a174 sinhz = ?isiniz, coshz = cosiz, tanhz = ?itaniz. a175a176 a74a26a27a21a22a44a56a62a177a75 a31a32 a85a24a25a21a22a45a178a47 ? a146a147a56a74a26a27a21a22 sinhz,coshz a44a146a147 a35 2pii a179 ? a180a22a181a104 (sinhz)prime = coshz, (coshz)prime = sinhz, (tanhz)prime = sech2z. Wu Chong-shi a63a64a65 a0a1a2a3a66a67a68a2a3 a425 a5 §2.2 a182 a183 a18 a19 a184a185a186a187a188a189a190a191a192a193a194a186a187a195a196a197a198a199a200a201a202a203 a47 a204a205a186a187 a74a206 a187a186a187 a74a207a208a209 a186a187 a74a210a211 a184a185a186a187 a47 a212a213a204a205a186a187a188 a206 a187a186a187 a74a214a215a216a217a218a219 a186a187a220a221a184a185a186a187a222a223a224a225a226a227a228 a47 a229a222a184a185a186a187 a210a230a231 a191 a217a218a219 a184a185a186a187a232a233 a47 star a234a95a70a71 √z ?a a234a95a70a71w = √za235a236a237 a238 a90a88 a119a239 a39a240 a144za74 a241a35a242a243a115 a104 w2 = za44wa144a74 a244a35a160 a104a21 a22 √z a44a21a22a144a74 a137a245a246a35 z a44a76a247 a160 a47 a28a35 a20a21a22 z2 = wa248w = z2 a44a249a21a22a47 a28 a44a102a144a56a250a251a40a145 a206 a190a252a223a253a254a255a0a185 z a74 a204a205a186a187√z a230a1a218 a253a185 a47 a58a2a3a4a5a6 a33 a178a102a144a21a22a44a56a62a74a251a40a7a8a100a55 a88a9 a21a22 w = √z ?a. a10a150a11a12a13 a250a14a104 w = ρeiφ, z ?a = reiθ, a15a16 a123a61 ρ = √r, φ = θ2 + npi, n = 0,±1,±2,···. a175a176 a74a124 a116 a238 a90 a44 a88 a119 z a144a74a61a17a119 wa144a18a19a124 a37 a145 w1(z) =√reiθ/2 a36a72 a116a20 a77a44n = 0,±2,··· w2(z) =√rei(pi+θ/2) = ?√reiθ/2 a36a72 a116n = ±1,±3,··· a21a22 a145 ? a21a22w = √z ?aa44a102a144a56a23a24 a116a25 a25a44a102a144a56a74 a26a27a246 a74a23a24 a116a28a240 z ?a( a29a30a239 a39a240 z)a25 a25a44a102a144a56a47 ? a102a144a56a44a250a251a123 a35 a21a22 wa44 a25 a25a47 a58a2 a27a90a31a32 a74 a32a33a244a34 a21a22 w = √z ?a a165 a27 a250a35 a34 |w| = radicalbig |z ?a|, argw = 12 arg(z ?a). a58a2a3 a87a88a89a36 a35a102a144a21a22w = √z ?aa44a56a62a74a251a40 a142a37a38a90a39z a76a77 a20a40a88a80 arg(z ?a) a44a144a74a29 a33a41a42 z a132 a88a90 a27a43a44a45 a39a174 a73a74 a36a37 a44wa144a44a44a45 a39a174 a47a72za132 a88a90a46a47a48a49 a27a43(a248 Wu Chong-shi §2.2 a67 a68 a2 a3 a426a5 a239 a50a142a36a51 a44 a48a49 a27a43) a39a174a88a146a52a51a53a83a73a74 a31a54 a178a251a17a167 a21a55 a47 a48a49 a27a43a56 a142a57a58 aa80 za132 a48a49 a27a43 a39a174a88 a146a52a51a53a83a74arg(z?a)a84 a86a53a74 a175a176 a124 a37 a44a21a22a144 a142a39 a47 a48 a9a59 a43a44 C1 a47 a1062.4a a48a49 a27a43a56 a58 a61 aa80 z a39a174a88a146a52a51a53a83a74 arg(z ? a) a60 a117 2pi a74 argwa61a19a60 a117pi a74 a175 a29wa144a62 a142 a86a53a47 a48 a9a59 a43a44C2 a1062.4b a175a176 a74aa80a40a102a144a21a22 w = √z ?a a43a63a61a60a64a44a6a65a145 ?a72z a66aa80a67a88a68a52a51a53a83a73a74a124 a37 a44a21a22a144 a142 a86a53a179 ?a29a72z a142a66aa80a67a88a68a52a51a53a83a73a74a21a22a144a86a53a47 aa80a69a58a102a144a21a22 w = √z ?aa44a70 a80 a47 z = ∞a84 a35 a102a144a21a22 w = √z ?aa44a70 a80 a47 a52 a159a33 a23a74a58a2a177a75 a27a90 a102a144a21a22w = √z ?aa44a21a22a144a18a239 a39a240z a144a19a71a44a124 a37a72a73 a74 a74a29 a31a32a10a150 a17a167a75a122a47 a76a77a78a79 a235a80a81a82a83a236a84a85z?aa235a86a149a87a88a89a90a47a72 a28a240z?a a44 a25 a25a91a92a40 a40 a119a146a147a56a73a74 w = √z ?aa44 a25 a25a84 a244 a154 a88 a6 a27a90 a2a74 a175 a29wa144a84 a244 a154 a88 a6 a27a90 a47 a131 a48a74 a38a900 ≤ arg(z?a) < 2pi a1372pi ≤ arg(z ?a) < 4pi a74 a115a115 a47 Wu Chong-shi a63a64a65 a0a1a2a3a66a67a68a2a3 a427 a5 a131 a145a93w = √z ?1a74 a38a90 0 ≤ arg(z ?1) < 2pi a74a94w(2), w(i), w(0), w(?i)a47 a95 argw = 1 2 arg(z ?1) a47 a175 a58 0 ≤ arg(z ?1) < 2pia74a59 a32 arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=2 = 0, w(2) = 1, arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=i = 34pi, w(i) = 4√2e3pii/8, arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=0 = pi, w(0) = epii/2 = i, arg(z ?1)vextendsinglevextendsinglez=?i = 54pi, w(?i) = 4√2e5pii/8. ?a40 a25 a25 a38a90 0 ≤ arg(z ?a) < 2pia9 a74w a44 a25 a25 a88a90 a91a92a40 0 ≤ argw < pia74a248a96a91a92a40 a20a97 a76a77a47 a40a52 a159 a44a91a92 a9 a74 w = √z ?a a144a18a239 a39a240z a144a19a71a98a40 a88a88 a124 a37 a44 a72a73 a47 a1062.5a a1062.5b ?a48 a55a38a90 2pi ≤ arg(z ?a) < 4pi a74a123pi ≤ argw < 2pia74w a50a91a92a40 a9a97 a76a77a47 w a144a18a239 a39a240z a144a99a61a100a44 a88a88 a124 a37a72a73 a47 ?a404pi ≤ arg(z?a) < 6pi, 6pi ≤ arg(z?a) < 8pi,···a137a245?2pi ≤ arg(z?a) < 0, ?4pi ≤ arg(z?a) < ?2pi, ···a44 a38a90 a19 a9 a74a86a101a102a41a178a251a52a53 a21a55 a47 a175a176 a74 ?a103a104a105a72 a38a90a28a240 a44 a25 a25 a39a174a106a107 a74 a244a31a32 a50a102a144a21a22 a47 a144 a174 a47 ?a25a25 a39a174 a44a166a119a146a147a74a238a178a102a144a21a22a44a166a119 a47 a144a100a70a47 ?a108a119 a47 a144a100a70 a30a35a47 a144a21a22a74a109a119a102a144a21a22 a244a35a28 a44a166a119 a47 a144a100a70a44a110 a96 a47 a40 a20 a77a44a111 a22 a43a74a102a144a21a22 w = √z ?aa61a17a119 a47 a144a100a70a74a100a101 a35 w a44 a20a97 a76a77 a96a9a97 a76a77a145 0 ≤ arg(z ?a) < 2pia238a178 a47 a144a100a70a112a1450 ≤ argw < pi, 2pi ≤ arg(z ?a) < 4pia238a178 a47 a144a100a70a113a145pi ≤ argw < 2pi. a50a102a144a21a22a114a100a58a115a116a119(a117a118a128a129a119)a47a144a100a70a74 a99a38 a62 a244a35 a91a92 z a44 a39a174 a247a104a47 a131 a48a40 a20 a77a44 a131a119 a43a74 a244a35 a91a92 z a142a120a66z = aa80a137∞a80a67a68a47a52a167 a38a90a31a32a150a121 a49a247a122a158a122 a174 a6a250a251a178 a23 (a32a59 2.5) a47a40z a76a77 a20 a76a123 a116a38a134a124z = aa80a125a126 a57 a88a127 a43a74 a88a128a129 a45a51 ∞a80a47a48 a55a38a90 a40 Wu Chong-shi §2.2 a67 a68 a2 a3 a428a5 a127 a43 a20a130 arg(z ?a) = 0 a74 a244 a238a178 a47 a144a100a70a112a179a48 a55a38a90 a40 a127 a43 a20a130 arg(z ?a) = 2pi a74 a244 a238a178 a47 a144 a100a70a113a47a52a17a119 a47 a144a100a70 a49a31 a23a74 a244a120 a51 a88 a119a177a109a44 wa76a77a74a248a109a119a102a144a21a22 wa47 a127 a43a44a57 a150 a74 a244a35 a91a92 z a44 a39a174 a247a104a47a85 a116a127 a43a44 a21 a2a102a144a21a22a44a17a119a70 a80 a74z = aa96∞a74 a175a176 a74za142a131a54a132 a66 a88 a119a100a70 a80a67a88a68 a2 (a52a73a74 a143 a73 a107 a66a17a119a100a70 a80a67a88a68 a86 a35a133a134 a44) a47 a47 a144a100a70a44a114a100a74 a137a245a246 a74 a28a240a25 a25 a39a174a106a107 a44 a38a90a142a35 a154 a88 a44a47 a131 a48a74a84 a31a32a38a90 ?pi ≤ arg(z ?a) < pi a96 pi ≤ arg(z ?a) < 3pi, a137 ?3pi/2 ≤ arg(z ?a) < pi/2 a96 pi/2 ≤ arg(z ?a) < 5pi/2. a127 a43a44a57a122a102a167a102 a159 a74a117a118 a142a135a35a128 a43a47a103a104 a127 a43a44 a21 a2a102a144a21a22a44a100a70 a80 a74 a143 a73a105a72 a38a90a127 a43 a88 a136(a131 a48 a20a130a137a9a130) a44 a28a240a25 a25a144 (a137a245a115a137a6a74a38a90a40a40a88a80a44a28a240a25a25a144a137a21a22a144) a248 a31 a47 a50a102a144a21a22a114a100a58 a47 a144a100a70a74 a99a138a80a35 a74a108a119 a47 a144a100a70 a30a35a47 a144a21a22a74 a175 a29 a31a32a139a140a171 a44 a47 a144a21a22a141 a159 a111 a22a28a29 a44a54a55a56a47 a47 a144a21a22a44a100a70 a80a35a79a80 a74 a28a142 a124 a37a116a142a88 a119 a47 a144a100a70a47a40a70 a80 a143 a141 a74a84 a142 a98a40 a88 a119a103a124 a37a116a88 a119 a47 a144a100a70a44a144a42a47a52a167a114a100a44a145 a80a35 a61 a88a90 a44a146a91a56a47 a175 a58 a28 a91a92a2 a28a240 a44 a25 a25 a39a174a106a107 a74 a244a142a54a150 a23a111 a22a88 a53a147a148a41a149a44a150a151a47 a58a2a152a153a52a119a145 a80 a74 a154a88 a167a177a75 a27a90 a21a22a144a18a239 a39a240 a144a124 a37a72a73 a44a75a122 a35 a145a83a236a70a71wa155a156 a157a158 z0 a235a159a74a160a161a162a163a161 z a235a164a165a87a88a166a167a47a72 z a132a52a27a43a44a45 a39a174 a73a74a21a22 w a84a61a19a44a45 a39 a174 a47 a125 a32 a21a22w = √z ?1 a58 a131 a47 a38a90w(2) = 1 a74a111 a22z a132C1 a137C2 a44a45 a39a174 a51a53 a80 a73a74a21a22wa19 a144a47 C1 a96C2 a35a32z = 1a58a168a169 a135 1 a58 a97a170 a44 a20a97 a168a146 a96a9a97 a168a146a47 a171 a126a74a72z a132C1 a172a173 a51z = 0a73a74?arg(z ?1) = pia74a59 a32 ?argw = 12?arg(z ?1) = pi2, w(0) =eipi/2 = i. a72z a132C2 a172a173 a51z = 0a73a74?arg(z ?1) = ?pia74a59 a32 ?argw = 12?arg(z ?1) = ?pi2, w(0) =e?ipi/2 = ?i. a10a150 a52a167a75a122a74za44 a39a174a174 a43 a142a175 a91a92a74 a175 a29 a244a31a32a124a88 a119 a47 a144a100a70a120 a173 a51 a154a88 a119 a47 a144a100a70a47 a40 a121 a49 a59 a158 a20 a74a52 a36 a72 a116 a50a17a119 a127a176 a44za76a77a177a178 a31 a23a74 a179a88 a119a77a44 a127 a43 a9a130(arg(z?1) = 2pi)a96 a179a180 a119a77a44 a127 a43 a20a130 (arg(z ? 1) = 2pi) a36 a44a74 a179a88 a119a77a44 a127 a43 a20a130 (arg(z ? 1) = 0) a96a179a180 a119a77a44 a127 a43 a9a130(arg(z?1) = 4pi)a36 a44a47a52 a244a181a34 a2 a180a182Riemann a77(a32a592.6)a47a124 a116 a21a22w = √z ?1a137√ z ?aa23 a246 a74 a180a182 Riemann a77 a20 a44z a80a96w a76a77 a20 a44 a80a35a88a88 a124 a37 a44a47 Wu Chong-shi a63a64a65 a0a1a2a3a66a67a68a2a3 a429 a5 a1062.6 a183a184a109a108w = √z?aa185Riemanna186 a124 a116 a3a41a149 a88 a53a44 a160 a104a21a22a74 a131 a48 w = 3√z ?a a137 3 radicalbig(z ?a)(z ?b) a74 a115a115 a74a84 a31a32a187a188 a6a111 a22 a47a103 a35a189 a104a190a191a192a178a102a144a21a22a44a75a193a70 a80 a74a62a78a133 a27 a6 a27a90a127 a43a44a57a122a47a40 a88a194a195a196a9 a74 a127 a43 a31a54a142a197a88a198 a74a84 a142a88a90a189 a104 a150a88a198a127 a43 a34 a75a193a70 a80a30 a44a178 a31 a23a47 2. a199a71a70a71 lnz a124a22a21a22 w = lnz a44 a90a91a35 ew = z a74a84 a244a35a246 a74a238 a90 a239 a39a240 z a44 a88 a119a22a144a74 a241a35a242a243 ew = z a44a59a61wa144a200 a69 a58a124a22a21a22 w = lnz a44a21a22a144a47 a28a35 a23a22a21a22 w = ez a44a249a21a22a47a201w = u + iva74 z = reiθ a74 a244a120 a51 e u · eiv = reiθ a47a59 a32 u = lnr = ln|z|, v = θ + 2npi (n = 0,±1,±2,···). a32a33a74a29a244a34 a124a22a21a22 w = lnz a165 a27 a250a35a58 w = lnz = ln|z|+ i(θ + 2npi) = ln|z|+ iargz. a1062.7 a183a184a109a108w = lnz w = lnza202a203a204a205a206za184a207a208a209a210a183a206wa184 a175a176 a74a124a22a21a22 w = lnz a84 a35 a102a144a44a74 a99 a102a144a56a44a23a24 a35a28a240 z a25 a25a44a102a144a56a74a102a144a56a44a250 a251a123 a35 a21a22a144w a44 a138 a193a47a124 a37 a108 a88 a119z a144a74a61a128a129a102a119w a144a74 a28a29 a44 a38 a193 a36a143 a74 a138 a193 a36a211 2pi a44 a109a22a212a47 a59 2.7 a238a178a2a124a22a21a22 w = lnz a44a35a191 a59 a47 Wu Chong-shi §2.2 a67 a68 a2 a3 a430a5 w = lnz a44a70 a80a35 z = 0 a96∞ a47a57 a127 a43a44a178 0 a18∞a74a62 a38a90a127 a43 a88a136 a44 argz a144a74a248 a31a120 a51 w = lnz a44 a47 a144a100a70a47 w = lnz a61a128a129a102a119 a47 a144a100a70a47a108a119 a47 a144a100a70a56a74 a30 a61 d dz (lnz) = 1 z. a36a37 a6a74w = lnz a44Riemanna77 a35 a128a129a102 a182 a44a74 a32a59 2.8 a47 a1062.8 a183a184a109a108w = lnza185Riemanna186 3. a213a214a93a159a70a71 a249a24a25a21a22 a96a88a194 a44a20a21a22 arcsinz = 1i ln parenleftBig iz+ radicalbig 1?z2 parenrightBig , arccosz = 1i ln parenleftBig z+ radicalbig z2?1 parenrightBig , arctanz = 12i ln 1 + iz1?iz, zα = eαlnz (αa58a215a191a41a22), a28a29 a84 a30a35 a102a144a21a22a47a29a78a74 a142a172a35 a124a22a21a22 a137 a124a22a21a22a18 a160 a104a21a22a44a216 a49 a74 a175a176a28a29 a44a102a144a56 a31a32a160a161 a52a17a167a217a218a44a102a144a21a22a23a111 a22 a47