Wu Chong-shi Wu Chong-shi §1.1 a0a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12 a132a14 a15a16a17 a18a19a20a21 §1.1 a22a23a24a25a26a27a28a29a30a31a32a33a34 a35a36a37a38 a39a40a41a42a40a43a44a45(a,b) a46a47a48a49a50a51a52a53a54a55 a56a57 (a 1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), a58a57 (a, b)(c, d) = (ac?bd, ad + bc), a54a59a60 a41a42a40a43a44a45(a, b) a61a62a63 a41a64a65a45α a46a66a67 α = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), aa59a67αa68 a44a69 a46ba59a67αa68a70 a69 a46 a = Reα, b = Imα. star a35a36a71a72a55 a73a65a45a68a44a69a74a70a69a75a76a77a78a79 a65a45a80a81a82a83a84a85a86 star a87a88a89 a35a36 a55a90 a36 1 (1, 0)(1, 0) = (1,0), (1, 0)(a, b) = (a, b), a91a92(1, 0) a93 a40a94a44a451 a95a96a68a51a52a97a98a46 (1, 0) = 1. star a87a88a89 a35a36 a55a99a100a101i (0, 1)(0, 1) = (?1, 0) = ?1, a60a96a102a61a62a63a70a103a104i = (0, 1)a46 i2 = ?1. a105a106 a46 a65a45α a107 a91a106 a66a67 α = a + ib. star a87a88a89 a35a36 a55 0 (a, b) + (0, 0) = (a,b), (a, b)(0, 0) = (0, 0), a91a92(0, 0) a93 a40a94a44a450 a95a96a68a51a52a97a98a46 (0, 0) = 0. star a35a36a108a109 a65a45α? ≡ a?iba110α = a + iba111a67a112a113a79 (α?)? = α. a112a113 a65a45 a68 a58a114 a67 a44a45a79 (a + ib)(a?ib) = a2 + b2. star a35a36a115a116 a65a45a56a57a68a117a51a52a55 (a + ib)?(c + id) = (a?c) + i(b?d), star a35a36a118a116 a65a45a58a57a68a117a51a52a55 a + ib c + id = (a + ib)(c?id) (c + id)(c?id) = ac + bd c2 + d2 + i bc?ad c2 + d2 . Wu Chong-shi a119a120a121 a122a123a124a6 a133 a14 §1.2 a22a23a24a25a26a27a28a125a126a127a128a129 a41a64a65a45a91a106a130a65a131a132a133 a68 a41a64a134a135a136 (a92a1371.1)a79 a1381.1 a139a140αa141α? a65a45α = a + ib a142 a91a106a135a136a143a65a131a132a133 a68 a41a64a144a145 (a92a1371.2)a79 a1381.2 a146a147OP a141OprimePprimea148a149a150a151a152a139a140 a60a153a68 a144a145a154a155a156a157a158 a55a159 a41a64a144a145a131a160 ( a161a162a159 a144a145 a68 a41a64a163a134a160a164a165a134) a166a167 a135 a95 a41a64 a65a45a79 a35a36a168a116 a89a169a170a171 a38 a55 a172a173a174 a74a175 a173a174 a75a76a77a56a79 a65a45a56a57a176a177a131a178a179a180a181a57 a54 (a182a59a67a183a184 a181a57 a54)a79 a1381.3 a139a140a185a186a187a188a189a190a191a192a186a193a141a194a195a192a186a193 a1381.4 a139a140a196a186a187a188a189a190a191a192a186a193a141a194a195a192a186a193 a131a178a179a180a181a57 a54(a182a183a184 a181a57 a54)a197 a91a106a198a130a199a65a45a77a200α?β ≡ α+ (?β) a55 1. a159a167 a135β a68 a144a145a201a202( a203 a135a136?β) a46a204a205a206 a56a57a207 2. a208βa68a209 a134a210a202α a68a209 a134 a206 a41a144a145 a46a203a167 a135α?βa79 Wu Chong-shi §1.2 a0a1a2a3a4a5a6a211a212a213a214a215 a134a14 a35a36 a89a216a217a218a219a220a55 α = r(cosθ + i sinθ). r, θa59a67 a65a45α a68a221 a94a222 a184a46 r = |α|, θ = argα. a223 a204a46 a = rcosθ, b = rsinθ. a65a450 a68a221a670a46 a222 a184 a80 a61 a79 a1381.5 a139a140a187a224a141a225a195a226a225a195a187a227a228a229 star a35a36a230a231a89a232a233a234a55 a208 a199 a183a184a235 a45 a68a236a237a238a46 a105a106a41a64a65a45 a68 a222 a184 a80a154a239a41 a68a46 a240 a142 a91a106a56a1332pi a68a241a242a243 a45a244a79 a245a246a247(?pi,pi] a248a249a68 a222 a184a250a59a67 a222 a184a68a251a250 a79 a216a217a218a219a220a252a89 a35a36a253a254 a55 a65a45 a112a113 α? = r(cosθ?i sinθ). a65a45a58a57 α1 = r1 (cosθ1 + i sinθ1), α2 = r2 (cosθ2 + i sinθ2), a199a154 α1 ·α2 =r1r2bracketleftbig(cosθ1 cosθ2 ?sinθ1 sinθ2) + i (sinθ1 cosθ2 + cosθ1 sinθ2)bracketrightbig =r1r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]. a73 a64a65a45a77a58 a46a102 a154a240a255 a68a221 a77a58 a46 a222 a184 a77a56a79 a65a45a0a57 α1 α2 = α1 ·α?2 α2 ·α?2 = r1 r2 [cos(θ1 ?θ2) + i sin(θ1 ?θ2)]. a73 a64a65a45a77a0 a46a102 a154a240a255 a68a221 a77a0 a46 a222 a184 a77a200a79 a35a36 a89a1 a36 a219a220a55 a61a62 a65a210a45 a235 a45 eiθ = cosθ + i sinθ, a2 a93 a40a94a44a210a45 a235 a45a77 a95a68a238a3a55 eiθ1 ·eiθ2 = ei(θ1+θ2), a54 a65a45α a107 a91a106a135a136a143 α = reiθ. a210a45a135a136a181a4 a49a68 a65a45a58a57a94a0a57 a55 α1 ·α2 = r1eiθ1 ·r2eiθ2 = r1r2ei(θ1+θ2), α1 α2 = r1e iθ1 · 1 r2e ?iθ2 = r1 r2e i(θ1?θ2). Wu Chong-shi a119a120a121 a122a123a124a6 a135 a14 §1.3 a27 a28 a5 a6 a7a8a41 a61a9 a43a10 a50a68 a65a45 zn = xn + iyn, n = 1,2,3,···, a59a67 a65a45a43 a50a46a66a67{zn}a79 a65a45a43 a50a68a238a3 a94a44a45a43 a50a11a12 a77 a95 a79 a41a64a65a45a43 a50a11a12 a78a13a199 a73 a64a44a45a43 a50 a79 a14a15 a16 a61 a43 a50 {zn} a46a17a18a19 a65a45 z a46 a42a199 a241a242 a16 a61a68 ε > 0 a46a20 a40a21a22a23a64 z n a176a177 |zn ?z| < εa46a54a59za67{zn}a68 a41a64a24a134( a182a25a26 a134)a79 a41a64a43 a50 a91a106a40a80a27a41a64a24a134 a46a161a162 a43 a50 1 2, ? 2 3, 3 4, ? 4 5, 5 6, ? 6 7, ··· a102 a40 a73 a64a24a134 a46±1a79 a28a76a154 a46 a42a199a44a45a43 a50xn a68 a24a134( a197a29a204 a154a44a45) a46a30a31 a45 a250a32 a84 a68a46a59a67{xn}a68 a133 a25a26a46a66a67 limn→∞xn a207 a45 a250a32 a85 a68a46a59a67{xn}a68a49a25a26a46a66a67 lim n→∞ xn a79 a133a132 a68 a43 a50a31a46±1a102 a75a76a154a240 a68 a133a74 a49a25a26 a79 a33a34a35a36a37a38a34a35a36 a16 a61 a43 a50 {zn} a46a162a98a18a19 a41a64a39a45 M a46a40 a42a199a105a40 a68 n a46a41 a40 |zn| < M a46a54 a43 a50a59a67 a40a42 a68 a207a43 a54a102 a154a21a42 a68 a79 Bolzano–Weierstrassa37a44 a41a64a40a42a68 a21a22a43 a50a45a46 a40a41a64a24a134a79 a216a47 a16 a61 a43 a50 {zn} a46a162a98a18a19 a65a45 z a46 a42a199 a241a242a68 ε > 0 a46a48 a81a49a164 N(ε) > 0 a46a40a50 n > N(ε)a51a46 a40 |z n ?z| < εa46a54a59{zn}a52a53 a199z a46a66a67 limn→∞zn = z. a41a64a43 a50a68a25a26a29a204 a154a43 a50a68 a24a134 a46a54 a2a154a239a41 a68 a24a134a79 a35a36 a216a47a55a56 ( a35a36a57a58) a89Cauchy a59a60a61a62 a241a242 a16 a61ε > 0a46a18a19 a39 a243 a45N(ε) > 0 a46a40 a42a199 a241a242 a39 a243 a45p a46 a40 |zN+p ?zN| < ε. a41a64a21a42a43 a50 a80a91a81a154 a52a53a68 a79 Wu Chong-shi §1.4 a5 a63 a124 a6 a136a14 §1.4 a27 a64 a65 a28 a66a67a68 a61a62a19 a65a45a131a132a133 a68 a41 a61a69a70a68 a65a71 a235 a45a79 a15a72 a89a73 a15 a106a74a41a134 a67a75a76a206 a41a64 a75a46 a66a77a78a79a177a80a85 a46a40a81a75a82a68 a105a40 a68 a134 a41a83 a199a84a134 a85 a46a54a59a86 a134 a67 a134a85 a68a82 a134a79 a87a88 a176a177 a49a50a73 a64a89a90 a68 a134a85 a55 (1)a12 a69 a41a208a82 a134a91a143a207(2) a93 a40a92a245 a238a46a203 a134a85 a31a241a242 a73 a134 a46a41 a91a106a130a41a89a93a94a92a95a96a97 a46 a93a94a133 a68 a134 a12a41a83 a199 a86 a134a85a79 a1371.6(a)a94(b) a31a68 a137a181 a41 a154 a69a70a46a98 (c)a80a99a143a69a70 a79 a1381.6 a100a101(a)a141(b)a102a103a100a101(c) a69a70 a246a130a80a78a4a135a136a79 a161a162a46 |z| < ra135a136a106a165a134a67a75a76 a74r a67 a78a79 a68a75a82a69a70 0 < argz < pi/2a135a136a104a41a105a26 Imz < 0a135a136a49a78a131a132 a78a78a79a1371.7 a31 a16a106 a63a107 a64a108a109 a68a69a70 a79 |z| < R |z| > r R1 < |z| < R2 θ1 < argz < θ2 Imz > 0 |z| < R, Imz > 0 a1381.7 a110 a152a111a112 a187a100a101 Wu Chong-shi a119a120a121 a122a123a124a6 a137 a14 a87a88 a89a113 a34a15a37 a113 a34 a105a114 a69a70a68 a180a42a134 a46 a115a80 a83 a199 a69a70a46a98 a154a106a240 a67a75a76a206a75a46 a80a116a78a79 a162a117 a85 a46a75a82a48a118 a40 a69a70a68 a134a79 a180a42a134 a68a12a119a102 a99a143a180a42a79 a87a88 a113 a34 a89a120a121 a162a98a122a123 a180a42a124 a46a69a70a125a126a19a127a128a46a54 a124a202 a59a67 a180a42 a68 a39a202a79 a161a162a46 a42a199 a129 a70a < |z| < ba46 a180a42a154 a75a236|z| = aa94|z| = ba79a42a199a82a75|z| = aa97a130a46a180a42a39a202a154a9a51a131a128a202a207 a42a199a132 a75|z| = b a97a130 a46 a180a42a39a202a154 a117a51a131a128 a202a79 a69a70Ga56a133a180a42 C a102 a99a143a133 a69a70 Ga79 G = G + C a79 a35a134a135a36 a39a40a65a45a131a132a133 a68 a41a64 a69a70Ga46a162a98 a42a199 G a82a68a136 a41a64z a250a46a41 a40a41a64 a182 a23a64 a65a45 a250wa110a248 a42a198 a46a54a59wa67 za68a235 a45 a65a71 a235 a45 a46a66a67 w = f(z), a61a62a70a67Ga79 a137 a67z = x + iya46 a105a106 w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y), a30a31u(x,y)a94v(x,y)a41 a154xa94y a68 a44 a235 a45a79 a41a64a65a71 a235 a45a66a80a138a154 a73 a64a139a140a44a71 a235 a45 a68 a40a43a91a141a79 §1.5 a27a64a65a28a125a142a143a144a145a146 a65a71 a235 a45 a197 a40 a25a26 a94a92a147 a68a148a149 a79a150 a103 a67a68a41 a49a60a73 a64 a148a149 a94a40a151a152a116a79 a35a134a135a36 a89a216a47a153a154 a39 a235 a45f(z) a19z0 a134a68a155a70a82 a40 a61a62a46a162a98a18a19 a65a45 A a46 a42a199 a241a242a68 ε > 0a46a48 a81a49a164a41a64δ(ε) > 0 a46a40a50 |z ?z0| < δ a51a46a20 a40|f(z)?A| < ε a46a54a59z → z0 a51f(z)a68 a25a26(= A)a18a19a46 a2a135a136 a67 limz→z 0 f(z) = A. a156a157( a89 a35a134)a135a36 a39 a235 a45f(z) a19z0a134a158a30a155a70a82 a40 a61a62a46 a2 lim z→z0 f(z) = f(z0)a46a203 a42a199 a241 a242a68ε > 0a46a18a19δ(ε) > 0a46a40a50|z?z0| < δa51a46a20 a40|f(z)?f(z 0)| < εa46a54a59f(z)a19z0 a134a92a147a79 a65a71 a235 a45 a31a25a26 a94a92a147 a148a149a68 a135a159 a46a19 a181a4a133a94a44a71 a235 a45 a31a11a12 a77 a95 a79 a98a208 a199a105a160a158 a68 a45 a68 a71a161a162a163a80 a95(a41a64a154a19 a65a45a131a132a133a71a161 a46 a41a64a66 a26 a199 a19 a44a164a133a71a161) a46 a137 a86a46 a44a165 a118a62 a115a80 a11a12 a77 a95 a79 a235 a45 a19a69a70 G a82a136 a41a134 a41 a92a147 a46a59a67a19 G a82 a92a147a79 a19 a133 a69a70G a31 a92a147 a68a235 a45 a93 a40 a73 a64a166a77 a238a3a55 1. |f(z)|a167G a168a169a170a46a171a172a173a174a175a176a177a170 a207 2. f(z)a167G a168a178a179a180a181a46a182a183a184a185a186a175 ε > 0a46a187a167a188z a189a190a175δ(ε) > 0a46a191G a168a175a185a192a193 a194a195z 1 a196 z2 a46a197a198a199a200|z1 ?z2| < δa46a201a169|f(z1)?f(z2)| < εa79 a92a147 a235 a45 a68 a94a74a202a74a114a74a203 ( a19 a75a204a80 a67a205a68 a134) a46 a106a158a92a147 a235 a45 a68 a65a141 a235 a45 a166 a154a92a147 a235 a45a79 Wu Chong-shi §1.6 a206 a207 a208 a209 a138 a14 §1.6 a210 a211 a212 a213 a42a199a21a42a43 a50{zn}a46 a16 a61a241a242 a39a45M a46 a80 a18a19 a41a64a39 a243 a45N a46a40a50 n > N a51a46|zn| < M a79 a214a215a216a130 a46a48 a40a21a22a23a64z n a176a177|z n| > M a79 a60a51 a91a106a217a8a43 a50a19 a40 a26a218a219a68 a24a134 a68a148a149a46a59 a21a22 a218 a134( a66a67∞a134)a67 a21a42a43 a50a68 a41a64a24a134a79 a161a162z = 1a94z = ∞a102 a154a43 a50 zn = 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, ··· a68a73 a64a24a134a79 a162a98 a41a64a21a42a43 a50a19 a40 a26a218a219 a21a24a134 a46 a220a221 a46∞a134a102a154a240a68a239a41a68a41a64a24a134a46a182a59a21a42a43a50 a52a53 a199∞a134a79 a21a22 a218 a134 a197 a154a41a64(a65)a45 a46a30a221 a84a199 a241a117 a39a45 a46 a222 a184 a80 a61 a79 a19 a65a45a131a132a133 a197a18a19 a77a198 a68 a41a134a79 a106 a241a242a128 a4a21 a26a222a218a223 a165a134 a46a203 a91a164a224a21a22 a218 a134a79 a225a226a40a21a22 a218 a134 a68 a65a45a131a132 a59a67a227a228a63a68 a65a45a131a132a79 a67a63a229a230a231a222 a135a232a21a22 a218 a134 a46a142 a91a106a233a234a65a45a235a132a79 a138a65a45a131a132a133 a68 a165a134(0,0) a206a230 a79 a671a68 a235a132 a46a40a110 a65a45a131a132a77a236 a46 a236a134 a59a67a237a25 a79a138 a237a25a68 a230 a79 a68a238 a41a163a134 a59a67a239a25N a79a240 a50a61a62 a235a132 a173a174(θ,φ)a46a161a162a40φ = 0 a94pi a68a73 a64a78a131a132 a110 a65a45 a131a132a77a241a199a39a242a44a164 a46a54 θ = 0 a94pi a54 a42a198a199 a239a25 a94 a237a25 a79 a60a96a61a62a68 a235a132 a102a59a67 a65a45a235a132 a46a162 a1371.8a79 a1381.8 a139a140a243a244 a42a199a65a45a131a132a133a41a134z a46a159 a240a94a65a45a235a132 a68a239a25N a77a92a46a86a92a94a94a235a132a29a40a41a241a134a46a60a102a154 a130 a46 a65a45a235a132a133 a68 a134a94a65a45a131a132a133 a68 a134 a197a18a19 a41a41a42a198 a68 a151a245a79a199a154 a46a102 a91a106a130a65a45a235a132a133 a68a60 a64a241a134a97a135a136a65a45za79 a161a162a237a25 a42a198a199a65a450 a46a246a247 a42a198a199a65a45a131a132a133 a68a103a104a75 a79a248a65a45a131a132a133 a68 a134a21 a26a222a218a223 a165a134 a46a102a81 a164a21a22 a218 a134 a19 a65a45a235a132a133 a68 a42a198a134 a239a25N a79 a42a199a21a22 a218 a134 a46a142 a91a106a130a71a214 ( a182a249a250)a68a251a252a61a62 a79 a161a162 a71a214 w = 1/z a102a253a254a63 a65a45za94a65 a45w a248a249a68 a41a41a42a198a151a245a79a65a45z = 0a42a198a199w = ∞ a46a54z = ∞a42a198a199w = 0a79 Wu Chong-shi a255 a0 a1 a2a3a4a5 a69 a7 ?§1.7 a8a9a27a28a125a10a11 1. a12a13a89a14a15 a16a17 a46 a18a19(16 a20a21)a22a23a24a25a26 a27 a25a28 a17a29a30a31a32a33a34a35 a36 a31a371545 a38a39Girolamo Cardano(a40 a41a42 a39 a43a44 a26 a45a46a47 a26 a48a49a50a47 a391501 ～ 1576)a23a51 a31 Ars Magna( a52 a41a50a53) a54a55 a34 a56a57a58a59a60a61a62 a45 a39 a63a64a65a66a62a45 a31a67a68a69a70a71a72a73 a39 a74a75a76a77a78a79a80a81 a70a71a31a82a72a83a37 a84a85 a39Rafael Bombelli(a40 a41a42 a39 a86 a30a87 a26a28 a45a46a47 a391526 ～ 1572)a88a89 a58 a70a90a62a45 a39 a91a92a61a27 a25 a29a30a31a93a94a95a96a97 ( a98a99a100 a101a62a45a102 a29) a76a103a104a27a105a106a107 ( a108 a52a28 a45a46a53 a39 1572a38 a64a109) a37 2. Johann Bernoulli a110 Leibniz a111a112a113 a23a114a115a116 a46a31a117a118a119a30a34 a39Johann Bernoulli(1667 ～ 1748)a69Gottfried Wilhelm Leibniz(1646 ～ 1716)a120 a90a121 a116a116 a95a72a32 a104a122a123a45 a31 a115a116 a76 a90a124 a61 a125a45a371702 a38a39Johann Bernoullia126 a64 a39a23a127a128 z = √?1bt?1t + 1 a129 t = √?1b?z √?1b + z a130a131 a39 a104 dz z2 + b2 = ? dt√ ?12bt. a98 a96a132a95a133a134a31a135 a123a45a136a137 a116 a94 a65a66 a96a138 a27a139a123 a45a140a141a45a123a45 a39a142 a137 Johann Bernoulli a143 a117a118 a61 a138 a27a139a123 a45a69a141a45a123a45a130a144a31a145a146a37a80 a105a147a148 a35a149 a61a104a150 a97a45a31a141a45a69a125a45a31a141a45a83a151a31 a59a60 a37 Leibniza54 a29a152 a23a115a116 integraldisplay dx cx + d (a153 a34a154a155da96a125a45) a76a156a157a158a159a58a160 a90a141a45 a123a45 a39 a56 a96a125a45a31 a64a161 a22a162a163 a31 a39a164a54 a29a152 a39a231712a38 a31a165a166(Acta Erud., 1712, 167 ～ 169a39 a140 a108Math. Schriften, 5, 387 ～ 389) a137a1011712 ～ 1713a38 a144 a69Johann Bernoullia31a167 a168a34 a39 a169a170a171a172a97a45a31a141a45 a22 a62a173a31a37 Leibniza31a60a174 a22a175 a41a1761a31a45a31a141a45a96a177 a390a1781a130a144a31 a45a31a141a45a96a97 a39a98 a84a157a136a179a104 a97a45a31a141a45a37 a51a180a54a181a182a39a183a184 ?1 a31a141a45a185 a23a39a186a187 √?1a31a141a45 a143a22a188 a31 a54a189a190a99 √?1 a191a192a22a193 a104a141a45 a31a37 a99 Johann Bernoulli a73a194a195 a91a92 a97a45a31a141a45 a22 a106 a45a37 a51 a31a196 a174 a22a175a98 a96 d(?x) ?x = dx x , a142 a137ln(?x) = lnx a190 a170 a98 a96ln1 = 0 a39a142 a137ln(?1) = 0a37 Leibniza138a197 a182a39dlnx = dx/x a198 a141a177a45x a199a118a37 a200a201 a38 a85 a391727 ～ 1731a38 a144Leonhard Euler(1707 ～ 1783) a69 Johann Bernoullia170a149a44 a61 a202a203a37 Johann Bernoullia204a205a206a207a51 a31 a108 a33 a39a99 Eulera65a66a157a75a40 a37 3. Euler a208a209 1714a38Roger Cotes(a210a391682 ～ 1716)a149a65a61a54 a105a150 a176a125a45a31 a192 a122 a39 a90 a161 a23 a31a67a68 a65a66 a39a143a22√ ?1φ = lnparenleftbigcosφ+√?1sinφparenrightbig. 1740a3810 a21118 a212a39Eulera23 a63 Johann Bernoulli a31a168a34 a182 y = 2cosxa69 y = e √?1x + e? √?1x a22 a75 a54 a105 a114a116 a29a30a31a33 a39a98 a84a213a214a215 a132a37 1743 a38a39a51 a170a149a65a61(a161 a23a143a216 a96 Euler a217 a95) coss = 12 bracketleftBig e √?1s + e? √?1sbracketrightBig , sins = 12√?1 bracketleftBig e √?1s ?e? √?1sbracketrightBig . 1748a38a39a51 a149 a161a218Euler a217 a95 a143 a136a137a219a124 Cotesa31 a147a148 a37 Wu Chong-shi ?§1.7 a220 a221a222a223a224a225a226 ( a227 a228) a22910 a230 4. de Moivre a208a209 1722 a38a39 Abraham de Moivre(a72a39 1667 ～ 1754)a23a51 a31a231a232a34 a182a39a233 a96 1 : n a31a133 a105a139(α a69 nα)a31a177a234x(= vers α ≡ 1?cosα)a178t(= vers nα ≡ 1?cosnα)a130a144a31a150a146a136a137a218 1?2zn + z2n = ?2znt 1?2z + z2 = ?2zx a34a235a236z a99 a219a124a37a80 a105a147a148 a143a22 de Moivrea217 a95 a39 parenleftbigcosα±√?1sinαparenrightbign = cosnα±√?1sinnα. a74a136a237de Moivre a238a193 a104a92a239a58a219 a124 a80a105a240a241 a31 a65a242 a95 a39 a240a241 a31 a147a148 a22 Euler a63a64 a31a37 a23de Moivre a31 a147a148 a34 a39 na22 a177a243a45 a39 Eulera244a245na246a247 a96a248 a40 a106 a45a37 5. Euler a249a250a251a252a111a253a252a111a254a255a0a113 1747a38a1 a85 a39Eulera141a126 a45a123a45 a26 a141a45a123a45a69 a27a139a123 a45a130a144a31a145a146a2a104a61a3 a116 a31a4a5 a39a6 a137 a219a124a104a150a125a45a31a141a45a31a177a7 a147a60 a37 1749 a38a39a51a23 a8 a60Leibniz a9 a44 a178Bernoullia9 a44a150a176a97a45a69a62 a45a31a141a45a130a202a60a10 a54 a165a34 a39 a141a80a11a202a60a12a61a34 a191 a31 a116a13 a37a14a141a133a15 a218 d(?x) ?x = dx x a99 a35a149a31a202 a60 a39a51 a157a75 a40 Leibniz a31 a60a174( a129 dlnx = dxx a198 a141a177xa199a118) a39 a170 a126 a64 a39Johann Bernoullia16 a34a219 a64 a31a177a7 a147a60 a22 a213a214ln(?x) a69lnx a198a17a54 a105a18 a45 a39 a80a105a18a45 a143a22 ln(?1)a37 Eulera182a39Bernoulli a106a19a20a183a21a61ln(?1) = 0a39 a74a80 a22a22a23 a91a92 a31a37 a24a94 a22a39Johann Bernoullia25 a15 a23a164a54 a105a11 a82 a143 a91a92a61ln√?1 = √?1pi/2 a37 1777a38 a137a85 a39Eulera120 a90a67a68i a26a28 a65√?1 a37 6. Euler a111a251a252a27a28 a23a29a30 a61 a97a45a31a141a45a69a125a45a31a141a45a132a31a32 a85 a39 Eulera33 a195 a180a54a181 a33a34a125a45a124a35 a22a36a187 a45 a39a51 a245 a125a45 a216 a130 a96 a8 a37a38a34a31a45a10a140 a8 a157a136a179 a31a45 a10 a37 a51a23 a52 a141 a28 a45a31a39a243a31a40a41a53 (1768 ～ 1769 a38a23 a42a43a64a109 a39 1770a38a23a44 a43a64a109) a54a55 a34 a182a175 a98 a96 a142 a104a136a137a38a45 a31a45a46a140a47 a2330 a41 a39 a140a47 a2330a48a39 a140a47a132a1760 a39a142 a137a49 a30a50a39 a97a45a31 a51a29 a107a157 a179a52a53 a23 a136a179a31a45a34a37 a16a99a54a55 a103a56 a182a188a55a22 a157a136a179 a31a45a37 a205a99 a80a81a57a58a160 a54 a55 a242 a124 a54 a81a45 a31a31a32 a39a188a55a143a153a25 a83 a182a26a22 a157a136a179 a31a45 a39a98a99 a167 a18a59a60 a62a45a140a47a37a38a34 a31a45 a39a98 a96 a188a55a198 a185 a23a178 a38a45a130a34a37 Eulera23a55 a34 a244a61 a61 a54 a105a62a63a64 a26 a200 a116a65a66 a31a67a68a37 a51 a56 a96 √?1·√?4 = √4 = 2, a98 a96√a√b = √aba37 Eulera245 a125a45 a59a60a157 a136a179a31a45 a39 a74a170 a182a188a55a22 a104 a90a31a37a90a69 a143a22 a90 a26 a93a171a70a71 a22a72 a104 a33a37 a51a73 a74 a182a39a184 a148 a23a24512a116 a199a133a121 a116a39 a160 a188a55 a31a75 a115 a9640 a39 a80 a133a121 a116a143a226+√?4a696?√?4a39a16a99 a136 a137a93a171a80 a105 a70a71 a22 a157a136 a33a31a37 7. a76a252a77a78a79a80 1702a38a39Johann Bernoullia171a172a39 a248a81 a104a122a123a45 a31 a115a116a162a22 a52a82 a27a139a123 a45 a178 a141a45a123a45a130a83a31a248 a81a84a85 a123a45 a37 Johann Bernoullia171a172a31a177a7a83a86a87a176a179 a72a88 a248a81 a54 a105a106 a146a45a89a90a95 a116 a33a96 a106 a146a45 Wu Chong-shi a91a92a93 a94a95a96a97 a9811 a99 a100a101a102a103a104a102a105a106a100a107a108a37 Leibniza56a96a80 a22 a157a136a179 a31a37 1742 a3810 a2111 a212a39Eulera23 a63Nicholas Bernoulli(1687 ～ 1759a39Johann Bernoullia130a109)a31a168a34a110a111a91a92a58a171a172a175 a248 a40a25 a45a31 a106 a146a45a89a90a95 a54a192 a179a112 a116 a33a96 a106 a146a45a31 a54a25 a69 a24a25a98 a95a31a75 a115 a37 Nicholas Bernoulli a157a215a168a80a105a147a60 a31a177a7a83a37 a51a182 a89a90a95 x4 ?4x3 + 2x2 + 4x + 4a31a113a174 a22 1 + radicalBig 2 +√?3,1? radicalBig 2 +√?3,1 + radicalBig 2?√?3 a69 1? radicalBig 2?√?3, a98a99 a69Eulera31 a147a60a114 a115a371742 a3812 a21115 a212a39Euler a116 a63Goldbach a31a168a34 a126 a64 a39 a125 a107 a22 a137a117a118a119a95 a64a161 a31 a39a142 a137x?parenleftbiga+b√?1parenrightbiga69x?parenleftbiga?b√?1parenrightbiga31a75 a115a54 a105a106 a146a45a31 a24a25 a89a90a95a37Goldbacha77a120a121a122 a123a80a81a124a38 a39 a157a56 a96a125 a54 a105a106 a146a45a89a90a95a179 a116 a33a96 a106 a146a45 a98 a95a31a75 a115a39a238 a63a64a74a126 x4 +72x?20 a37 Eulera91a92Goldbacha60a67a61a39a238a182a92a127a128a31a192 a122a141a176a129 a154a130 a25 a89a90a95a46a199a118a37a74 a22 Goldbacha204 a157 a215a168 a39a98 a96 Euler a238a193 a104a63a64a104a150 a51 a31 a192 a122 a31a131a132 a91a92 a37 a150a133 a22a23 a91a92 a125 a54 a105a106 a146a45a89a90a95a154a155 a104 a54 a105a106a107 a140 a54 a105 a125 a107 ( a28 a45a134 a25a192 a122) a37 a84a85 a39d’Alemberta69Lagrangea77a135a33 a195 a91a92Euler a31 a147 a60 a39 a74 a51a55 a31 a91a92a46 a22 a157 a39a136a31a37Lagrange a137a137a138a138a245(a106)a45a31a83a151a213a90a176a38a45a96a29a30a31a107a20a39 a99a193 a104a91a92a89a90 a95a31 a107 a23 a240a139 a31 a57a58a131 a22 a125a45a37 a150a176 a28 a45a134 a25a192 a122 a31a140 a54 a105a106 a151a83 a91a92 a22 Gauss a63a64 a31a37 1799 a38a51a23 Helmst¨adt a116 a31a141a142 a60 a165a34a143a144 a61d’Alembert, Euler a69Lagrangea31 a86 a12 a39a205 a85a12a64a61a127a128 a31 a91a92 a37 a23 a75 a54a145 a60 a165a34 a39 Gaussa91a92a61na25 a89a90a95a179a65a66a199 a54a25 a69 a24a25 a106 a146a45 a98 a95a31a75 a115 a37 Gaussa31 a91a92 a86a87a176a141a125a45a31 a146a56 a39a98a99 a77 a143a147a148 a61 a125a45a31 a58a149 a37 Wu Chong-shi §1.8 a150a151a152a150a153 a9812 a99 §1.8 a154a155a156a154a157 a158 a252 a159w = f(z)a160a161a162G a163 a100a164a165a166a167 a39a168a169a170 G a163 a100a171a172 z a39 lim ?z→0 ?w ?z = lim?z→0 f(z + ?z)?f(z) ?z a173 a170a39a174a175 a166a167 f(z) a170z a172a176a177a37 a178a179a180a165 a39a181a182 f prime(z) a39a183a175a182f(z)a170z a172a100a177a167a37 a168a169 a166a167w = f(z) a170z a172a100a184a185a186 ?w = f(z + ?z)?f(z)a176a187a188a189 ?w = A(z)?z + ρ(?z), a190a191 lim ?z→0 ρ(?z) ?z = 0, a174a175w = f(z)a170z a172a192a193a39?wa100a194a195a196a197 A(z)?z a175a182 a166a167w a170z a172a100a193a198a39a181a199 dw = A(z)dz, a190a191a200a201dz = ?z a37 a202a203a204a205 a39a168a169 a166a167w = f(z) a170za172a176a177a39a174 a101a201 a170a206 a172a176a207 a39 a208a209a210a211a37a212a213A(z) = fprime(z) a39 a183 dw = fprime(z)dz a214 dw dz = f prime(z). a105a178a177a167a215 a175a199 a193a216a37 a142a217 lim ?z→0 (?w/?z)a185a23a39a143a40a218a219?z a137a248a40 a29a95a220a1760 a76 a39?w/?z a46a220a176a75a221a31a104a222a223a37 a138a119 a26a182a39a184 a148a214?z a137a157a75a29a95a220a1760 a39 ?w/?z a220a176a157a75a31a223a31a224a39 a73 lim ?z→0 (?w/?z)a225 a157a185 a23 a31a37 a226a227 a160a39a228a229 ?z → 0a100a230a231a226a232a233a106a39a234 a176a187a235a236 a237 a252 a192a158 a111a238a239a240a241 a37 ? ?x → 0a39?y = 0a39 fprime(z) = lim ?z→0 ?w ?z = lim?x→0 ?u + i?v ?x = ?u ?x + i ?v ?x; ? ?x = 0a39?y → 0a39 fprime(z) = lim ?z→0 ?w ?z = lim?y→0 ?u + i?v i?y = ?v ?y ?i ?u ?y. a105a178 ?u ?x = ?v ?y, ?u ?y = ? ?v ?x. a242a230a243a233a244 a175a182 Cauchy-Riemann a233a244a37 Cauchy-Riemanna233a244a39a160 a166a167a176a177a100a245a246a247a248 a39a249a250a160a251 a197a247a248a37 a249a160a39 a176a187a204a205 a39 a184 a148 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) a31 a106 a121 u(x,y) a69a62a121 v(x,y) a252 a136 a114a253 a39a254a255a6 Cauchy- Riemanna29a30a39a73a123a45 f(z)a136a0a37 a253a1a2a3a4a5a6 ?u/?x, ?u/?y, ?v/?xa7?v/?ya8a9a10a11a12a13 Wu Chong-shi a91a92a93 a94a95a96a97 a9813 a99 a103a14a167a15a16a101a17 a39 ? a168a169 a166a167f(z) a170z a172a176a177a39a174a170z a172a245a18a19a190 ? a249a160 a166a167 a170 a171a172a18a19 a39 a212 a250a20a21a22 a166a167 a170a206 a172a176a177a37 ? a23a24a25 a242a17a100a15a26 a175 a166a167 a170 a171 a161a162a163a27a27 a18a19 a39a28a27a27a250 a176a177a37 a177a167a100a201a29 a170 a16a106a30a103a14a167a191a101a17 a39a31a160a32a33 a185a186 x a34 a189a35z a37a105a178 a39a170a36a37 a167a38a191a100a39a231a40a177 a167a100a41a106a42a176a187a43a44a236a45a167a191a46a37a47 a168 (zn)prime = nzn?1, n = 0, 1, 2, ···. Wu Chong-shi §1.9 a94 a95 a96 a97 a9814a99 §1.9 a48 a49 a50 a51 a52a53a237 a252 a170a161a162G a163a54 a101a172a42a176a177a100a166a167 a39a175a182 G a163 a100a55a56a166a167a57 a58a45a46 a55a59a60 a18 a245a61a13(analytic) a216 a12 a8 a136a62 a10(holomorphic) a57a63a64a65a66a67 a60a68a69a70 a65a71a72a73 a74a75 “homodromic”( a76a77) a78 “monogenic” (a76a79) a78 “regular”(a80a81) a82 “synetic” a83 a57a84a85a86a73a87a88 a89a90 a69 a88a91a92a93a94a95a96a97a98a65a99a100a101a102a103a104a88a105a106a107a108a109a110a90a111a112 a83a113 a65a103a114a115a116a117a118 a69a119 a120a121w = f(z) a122Ga123a124a125a126a127a128a129a130 a131G a132a133a133a134a135 Cauchy-Riemanna136a137a119 1814a138 a103Cauchy a139a140a141(a142 a65) a143a144a145 a91a146a147a148a149a108a150Cauchy-Riemann a151a152 a103a153a115a154a155a156a75 a157a84a85 a151a152a158a159 a90( a160)a97a98a141 a65a161a162 a119 Riemanna90a163a164a100a165a166dw/dz a65a167a139 a102a90a168?w/?z a65a169 a170a171a172a173a174z + ?z a175a176 a174z a65a177a164a178a179a180a89a112a71a65a181 a119 a154a106a107a108a97a98 f(z) = u+ iv a139 a164a182a183a184a185 a186a95a96a103a187a188a109a189a190a191a192a155a193a194a195 Cauchy-Riemann a151a152a119 a184 a142 a196a197a65Cauchy-Riemann a151a152 a103a198a199a200a201a202a203a204 a139d’Alembert a205 a174a206a207a208 a141 a65a209a210a211(1752 a138)a119a139Euler(1777a138)a82Lagrangea65a209a210a211a212a203a204a70a119 a213a214a215a216a217a218a219a220a221a219a222a223a224a225a217 a119 Cauchy-Riemanna136a137a226a227a228 a213a214a215a216a217a218a219a229a221a219a230 a231a217a232a233 a119a234a235 a103a236a237 dv = ?v?xdx + ?v?ydy = ??u?ydx + ?u?xdy a223a238a239a240a103a236a241a103a242a213a214a215a216a217a218a219 u(x,y)a103a243a244a245a240 integraldisplay (x,y) parenleftbigg ??u?ydx + ?u?xdy parenrightbigg , a246a247a248a249a250 (a246a251a249a252a246a253a254a216) a255a0 a221a219 v(x,y) a119 a1a2a103a3a4a213a214a215a216a217a221a219 v(x,y) a103a5a246a247a248a249a250 (a5a223a246a251a249a252a246a253a254a216) a255a0a6 a218a219 u(x,y)a119 a7 1.1 a3a4u(x,y) = x2 ?y2 a103a8f(z) a119 a124 dv = ? ?u ?ydx + ?u ?xdy = 2(ydx + xdy) a103a9a247v = 2xy + C a103 f(z) = parenleftbigx2 ?y2parenrightbig+ i(2xy + C) = z2 + iC. a10 a124 a131u(x,y) a11a12a13a14a15 x = z + z ? 2 , y = z ?z? 2i , a16a17a18u(x,y) a19a20[f(z) + f?(z)]/2a217a21a22a103 u(x,y) = parenleftbiggz + z? 2 parenrightbigg2 ? parenleftbiggz ?z? 2i parenrightbigg2 = 12bracketleftbigz2 +parenleftbigz2parenrightbig?bracketrightbig, a1a2a5a23a8a24 f(z) = z2 + iC a119 (a164a25a26a27a28a29a30a31a32a33a81 a103a34a35a30a31a36a37a32) a213a214a215a216a217a218a219 a78 a221a219a230a231a217a38a39a40a41a42a43a44a233a103a45a246a247a21a46 a19a47a48 a24a49 a119a235a50a131a51a52a53a54 a249 Wu Chong-shi a55a56a57 a58a59a60a61 a6215 a63 a64a65a66a103u(x,y) =a254a216a103a67a68a103a38a249a64a65a66a217a69a66a217 a136a70 a71a72a73a223(?u/?y, ??u/?x) a119 a1a2a103a74 a54 a249 a64a65a66a103v(x,y) =a254a216a103a75a76a217a69a66a217 a136a70 a71a72a77a78a5a79a223(?v/?y, ??v/?x) a119 a242Cauchy-Riemann a136a137 a103a246a247a8a80a38a81a64 a136a70 a71a72a230a231a217a82a245 parenleftbigg?u ?y, ? ?u ?x parenrightbigg? ? ?v/?y ??v/?x ? ? = ?u ?y ?v ?y + ?u ?x ?v ?x = 0. a38 a47a83 a103a38a81a64a65a66a223a40a41a84a85a217 a119a86 1.9 a11a87 a24 a228 a81a252a38a2a217 a234a88a119 a75a76a240a89a223a215a216 w = z2 a220 w = 1/z2 a119a86a11 a217a90a218a66 a47a91 a218a219 u(x,y) =a254a216a103a92a66 a47a91 a221a219 v(x,y) =a254a216 a119 a931.9 star a94a95a96a97a98a99 a120a121a103a100a101a102a103a104a105a106a107 a124a125 a120a121 a126a108a109a110a111a109a112 a32 a113a114a223a115 a0 a217 a119 a247a17a18a116 a83 a103 a54 a237a213a214a215a216a217a218a219a220a221a219a103 u(x,y)a220v(x,y)a103a75a76a217a117a118a119 a120a216a249 a0a121a131a122a123a124a125 a103a236a241a103a126a127 Cauchy-Riemann a136a137 a103a128 ?2u ?x2 = ? ?x ?v ?y = ?2v ?x?y, ?2u ?y2 = ? ?y parenleftbigg ??v?x parenrightbigg = ? ? 2v ?x?y, ?2v ?x2 = ? ?x parenleftbigg ??u?y parenrightbigg = ? ? 2u ?x?y, ?2v ?y2 = ? ?y ?u ?x = ?2u ?x?y. a38a129 a83 a103u(x,y)a220v(x,y) a130a131a132a134a135 a117a133 Laplace a136a137 ?2u ?x2 + ?2u ?y2 = 0, ?2v ?x2 + ?2v ?y2 = 0. a134a213a214a215a216a217a218a219a220a221a219 a130a131a132 a223a135a220a215a216 a119 a215a216a217a213a214a136a103a223a249a252a137a138a217a139a8a103a38 a47a48 a237a213a214a215a216a140a128a249a233a141a217a142a139a136a143 a119a144a145 a213a214a215 a216a217a146a39a147a148a136a143a103a79a223a149a150a215a216 a145 a217 a11a151a152a153a119 a215a216a217a213a214a136a103a154a223a220a249 a0 a217a155a156a232a233 a131 a249a157a217 a119 a158 a215a216 a131a159a160 a213a214a161a103a162a163a213a237a215a216 a131a164a160a165a6a166 a156 a132a133a133 a246a120 a119 a235a50 Wu Chong-shi §1.9 a58 a59 a60 a61 a6216a63 ? a249a252a215a216a131a159a160 z0 a167 a0a168 a103 ? a169a170a131z0 a171 a128 a0a168a172 a222a246a120a103 ? a169a170a131z0 a171 a246a120 a172 a222a213a214a103 a173z 0 a174 a237a215a216a217a175 a160a119a234a235 a103 z = 0a79a223a215a216 w = 1/z a217a175 a160a119 a235a50 a139 a144a145 a215a216 f(z) a131 z = ∞ a160 a223a115a213a214a103a173a176 a54 a150a177 t = 1/z a103a78a17 a144a145 a215a216 f(1/t) a131 t = 0a160 a223a115a213a214a134a246 a119