n人合作对策模型设I={1,2,…,n},,i,代表第i个可能参加的合作者.
定义1：对于每一个子集SI,对应一个确定的实数V(S),V(S)满足：
(1) V(S)≥0,对所有的SI；
(2) V(φ)= 0；
(3) V(S1∪S2)≥V(S1)+V(S2),对一切满足S1∩S2=φ的S1、S2成立.
称V(S)为I上的特征函数.
特征函数V(S)的实际意义是若S中的人参加一种合作,这一合作的总获利数.
例,将三个城市记为I={1,2,3},则{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3}都是I的子集,分别对应有城市1参加的各种合作方式.
用V(S)表示以单干为基准的合作获利值,有
V({1})= 0；
V({1,2})=(2300+1600)－(5800－2300)=400(万元)；
V({1,3})=0 (因为(2300＋2300)－(6230－1600)=－30(万元))；
V({1,2,3})=(2300+1600+2300)－5560=640(万元).
方案
总投资
城1投资
城2投资
城3投资
（1）
6200
2300
1600
2300
（2）
5800
？
？
2300
（3）
5950
2300
？
？
（4）
6230
？
1600
？
（5）
5560
？
？
？
三城市合作能产生效益640万元，如何分配？
定义2,定义合作V(S)（SI）的分配为
Ψ(V)=（ψ1(v),ψ2(v)，…，ψn(v)）
其中ψi (v)表示第i个人在这种合作下分配到的获利,称Ψ(V)为合作对策.
不同的合作应有不同的分配,问题归结为寻求一个合理的分配原则.
Shapley 公理：
公理1,合作获利者对每个人的分配与此人的标号无关；
公理2,,即每人分配数的总和等于总获利数：
公理3,若对所有包含i的子集S，有V（S－｛i｝）=V(S),则ψi (v)=0；
公理4,若n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响.
Shapley证明了满足公理1～4的Ψ(V)存在并且唯一，由下式给出：
（1）
Ti是I中包含i的一切子集构成的集族。表示集合S中的元素个数，
（2）
注：（1）式中的：
* V(S)－V(S－{I})可视为第 i人在合作S中所做的贡献；
* 可看成第i人的贡献在总贡献中所占的权重.
定义1：对于每一个子集SI,对应一个确定的实数V(S),V(S)满足：
(1) V(S)≥0,对所有的SI；
(2) V(φ)= 0；
(3) V(S1∪S2)≥V(S1)+V(S2),对一切满足S1∩S2=φ的S1、S2成立.
称V(S)为I上的特征函数.
特征函数V(S)的实际意义是若S中的人参加一种合作,这一合作的总获利数.
例,将三个城市记为I={1,2,3},则{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3}都是I的子集,分别对应有城市1参加的各种合作方式.
用V(S)表示以单干为基准的合作获利值,有
V({1})= 0；
V({1,2})=(2300+1600)－(5800－2300)=400(万元)；
V({1,3})=0 (因为(2300＋2300)－(6230－1600)=－30(万元))；
V({1,2,3})=(2300+1600+2300)－5560=640(万元).
方案
总投资
城1投资
城2投资
城3投资
（1）
6200
2300
1600
2300
（2）
5800
？
？
2300
（3）
5950
2300
？
？
（4）
6230
？
1600
？
（5）
5560
？
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？
三城市合作能产生效益640万元，如何分配？
定义2,定义合作V(S)（SI）的分配为
Ψ(V)=（ψ1(v),ψ2(v)，…，ψn(v)）
其中ψi (v)表示第i个人在这种合作下分配到的获利,称Ψ(V)为合作对策.
不同的合作应有不同的分配,问题归结为寻求一个合理的分配原则.
Shapley 公理：
公理1,合作获利者对每个人的分配与此人的标号无关；
公理2,,即每人分配数的总和等于总获利数：
公理3,若对所有包含i的子集S，有V（S－｛i｝）=V(S),则ψi (v)=0；
公理4,若n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响.
Shapley证明了满足公理1～4的Ψ(V)存在并且唯一，由下式给出：
（1）
Ti是I中包含i的一切子集构成的集族。表示集合S中的元素个数，
（2）
注：（1）式中的：
* V(S)－V(S－{I})可视为第 i人在合作S中所做的贡献；
* 可看成第i人的贡献在总贡献中所占的权重.
