第十章 应力状态分析 强度理论
§ 10-1 应力状态的概念
CL10TU1
P P
CL10TU2
m
m
CL10TU3
P
A
B
C
D
E
A B C
D E
主平面,剪应力为零的平面
主应力,主平面上的正应力
主方向,主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。
三个主应力用 σ1,σ2,σ3 表示，按代数值大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
单向应力状态,三个主应力中只有一个不等于零
二向应力状态 （平面应力状态）：两个主应力不等于零
三向应力状态 （空间应力状态）：三个主应力皆不等于零
单向应力状态也称为 简单应力状态
二向和三向应力状态统称为 复杂应力状态圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力 p作用
pD
t2
pD
t4
1
2
3
2
4
0
pD
t
pD
t
CL10TU4
p
p
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为 D，承受内压 p作用。
1 2
3
4
0
pD
t
N
A
p
D
D t
2
4
pD
t4
CL10TU5,6
p
圆杆受扭转和拉伸共同作用
N
A
P
d
4
2
T
W
m
dt
16
3CL10TU7
P P
m
m
§ 10-2 平面应力状态下的应力分析
x
y
xy
yx
x
x
y
y
y
y
x
x
CL10TU8
一、解析法
y
y
y
x
x
x?x
y
y
x
CL10TU9
n
y
y
x
x
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α,逆时针转动为正 CL10TU10
n
A
A s in?
A c o s?
x y x y
x
x y
x
2 2
2 2
2
2 2
c o s s i n
s i n c o s
d
d
2
2
2 2
x y
xs i n c o s
若 时，能使
0 0
d
d
x y x
2
2 2 00 0si n c os
x y x y
x
x y
x
2 2
2 2
2
2 2
c o s s i n
s i n c o s
和 都是 的函数。利用上式便可 确定正应力和剪应力的极 值
t an 2
2
0?
x
x y
0 0 90,它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最 大正应力所在平面，另一个是最小正 应力所在平面
,
max
m i n
x y x y
x
2 2
2
2
用完全相似的方法可确 定剪应力的极值
d
d
( ) c os sinx y x2 2 2
若 时，能使
1 0
d
d
( ) c o s s inx y x2 2 2 01 1
x y x y
x
x y
x
2 2
2 2
2
2 2
c o s s i n
s i n c o s
t a n 2
2
1?
x y
x
1 1 90,它们确定两个互相垂直 的平面，分别作用着最大 和最小剪应力
,
m a x
m i n
x y
x
2
2
2
ta n
ta n
2
1
2
1
0
c tg 2 0
2 2 901 0即1 0 45
即：最大和最小剪应力 所在平面与主平面的夹角为 45?
t an 2
2
0?
x
x y
t a n 2
2
1?
x y
x
二、图解法
x y x y x
2 2
2 2 1c o s s in ( )
x y x
2
2 2 2s in c o s ( )
( ) ( ),1 22 2? 得
x y x y
x2 2
2
2
2
2
x y
2
( ) ( )x x y y R0 2 0 2 2
圆心坐标为,
半径为
x y
x y
x
2
0
2
2
2
应力圆莫尔 (Mohr)圆
CL10TU20
x y x y
x2 2
2
2
2
2
y
y
y
x
x
x?x
y
y
x
下面根据已知单元体上的应力 σx,σy,τx画应力圆
(,)x x
(,)y y
CL10TU9,22
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力
(,)
2?
CL10TU21
y
y
y
x
x
x?x
y
y
x
n
(,)y y
(,)x x
(,)x x
(,)y y
§ 10-3 平面应力状态主应力及最大剪应力
CL10TU22
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的
(1)指定斜截面上的正应力和剪应力 ;
(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；
(3)最大剪应力值。
单位,MPa
CL10TU25
x y
x
x y x y
x
x y
x
80 40
60
2 2
2 2
102
2
2 2
22 0
MPa,MPa
MPa,= 30
MPa
MPa
c os sin
sin c os
.
解,(一 )使用解析法求解
x y
x
x y x y
x
x y
x
80 40
60
2 2
2 2
102
2
2 2
22 0
MPa,MPa
MPa,= 30
MPa
MPa
c os sin
sin c os
.
ma x
min
ta n
.,
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2
2
1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
m i n? 65
ma x
min
ta n
.,
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2 2 1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
ma x
min
ta n
.,
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2
2
1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
ma x
min
ta n
.,
x y x y
x
x
x y
2 2
105
65
105 0 65
2 2 1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
m a x? 105
0 22 5.
max
m i n
x y
x
2
85
2
2
M P a
(二 )使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：
102
22
105
65
22 5
85
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
0
ma x
min
ma x
.
低碳钢铸铁例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
解：
CL10TU26
m a x m in 0
1 2 3
m a x
,
,
,,
45
0
max? min
(,)0?
(,)0
§ 10-1 应力状态的概念
CL10TU1
P P
CL10TU2
m
m
CL10TU3
P
A
B
C
D
E
A B C
D E
主平面,剪应力为零的平面
主应力,主平面上的正应力
主方向,主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。
三个主应力用 σ1,σ2,σ3 表示，按代数值大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
单向应力状态,三个主应力中只有一个不等于零
二向应力状态 （平面应力状态）：两个主应力不等于零
三向应力状态 （空间应力状态）：三个主应力皆不等于零
单向应力状态也称为 简单应力状态
二向和三向应力状态统称为 复杂应力状态圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力 p作用
pD
t2
pD
t4
1
2
3
2
4
0
pD
t
pD
t
CL10TU4
p
p
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为 D，承受内压 p作用。
1 2
3
4
0
pD
t
N
A
p
D
D t
2
4
pD
t4
CL10TU5,6
p
圆杆受扭转和拉伸共同作用
N
A
P
d
4
2
T
W
m
dt
16
3CL10TU7
P P
m
m
§ 10-2 平面应力状态下的应力分析
x
y
xy
yx
x
x
y
y
y
y
x
x
CL10TU8
一、解析法
y
y
y
x
x
x?x
y
y
x
CL10TU9
n
y
y
x
x
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α,逆时针转动为正 CL10TU10
n
A
A s in?
A c o s?
x y x y
x
x y
x
2 2
2 2
2
2 2
c o s s i n
s i n c o s
d
d
2
2
2 2
x y
xs i n c o s
若 时，能使
0 0
d
d
x y x
2
2 2 00 0si n c os
x y x y
x
x y
x
2 2
2 2
2
2 2
c o s s i n
s i n c o s
和 都是 的函数。利用上式便可 确定正应力和剪应力的极 值
t an 2
2
0?
x
x y
0 0 90,它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最 大正应力所在平面，另一个是最小正 应力所在平面
,
max
m i n
x y x y
x
2 2
2
2
用完全相似的方法可确 定剪应力的极值
d
d
( ) c os sinx y x2 2 2
若 时，能使
1 0
d
d
( ) c o s s inx y x2 2 2 01 1
x y x y
x
x y
x
2 2
2 2
2
2 2
c o s s i n
s i n c o s
t a n 2
2
1?
x y
x
1 1 90,它们确定两个互相垂直 的平面，分别作用着最大 和最小剪应力
,
m a x
m i n
x y
x
2
2
2
ta n
ta n
2
1
2
1
0
c tg 2 0
2 2 901 0即1 0 45
即：最大和最小剪应力 所在平面与主平面的夹角为 45?
t an 2
2
0?
x
x y
t a n 2
2
1?
x y
x
二、图解法
x y x y x
2 2
2 2 1c o s s in ( )
x y x
2
2 2 2s in c o s ( )
( ) ( ),1 22 2? 得
x y x y
x2 2
2
2
2
2
x y
2
( ) ( )x x y y R0 2 0 2 2
圆心坐标为,
半径为
x y
x y
x
2
0
2
2
2
应力圆莫尔 (Mohr)圆
CL10TU20
x y x y
x2 2
2
2
2
2
y
y
y
x
x
x?x
y
y
x
下面根据已知单元体上的应力 σx,σy,τx画应力圆
(,)x x
(,)y y
CL10TU9,22
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力
(,)
2?
CL10TU21
y
y
y
x
x
x?x
y
y
x
n
(,)y y
(,)x x
(,)x x
(,)y y
§ 10-3 平面应力状态主应力及最大剪应力
CL10TU22
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的
(1)指定斜截面上的正应力和剪应力 ;
(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；
(3)最大剪应力值。
单位,MPa
CL10TU25
x y
x
x y x y
x
x y
x
80 40
60
2 2
2 2
102
2
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22 0
MPa,MPa
MPa,= 30
MPa
MPa
c os sin
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.
解,(一 )使用解析法求解
x y
x
x y x y
x
x y
x
80 40
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2 2
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MPa,= 30
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.
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min
ta n
.,
x y x y
x
x
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2 2
105
65
105 0 65
2
2
1
22 5 112 5
2
2
0
0
M Pa
M Pa,,M Pa1 2 3
或
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.,
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2 2 1
22 5 112 5
2
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M Pa,,M Pa1 2 3
或
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2
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2
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或
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22 5 112 5
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x y
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85
2
2
M P a
(二 )使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：
102
22
105
65
22 5
85
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
0
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.
低碳钢铸铁例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
解：
CL10TU26
m a x m in 0
1 2 3
m a x
,
,
,,
45
0
max? min
(,)0?
(,)0
