第十二章 能量法
§ 12-1 概 述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，
简称变形能。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即
U=W
§ 12-2 杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩
U W?
P
P
l?l
CL12TU1
1
2
P l
1
2
P P l
EA
P l
EA
N l
EA
2 2
2 2
U
N x
EA x
x
l

2
2
( )
( )
d
二、扭转
U W?



m
m
CL12TU2
1
2
m1
2 2 2
2 2
m
m l
G I
m l
G I
T l
G Ip p p
U
T x
G I x
x
pl

2
2
( )
( )
d
三、弯曲
U W?纯弯曲：
横力弯曲：
CL12TU3U M xE I x x
l

2
2
( )
( )
d
12 m 12 m
m l
E I
m l
E I
M l
E I
2 2
2 2
四、组合变形
U
N x
E A x
x
T x
G I x
x
M x
E I x
x
l pl l

2 2 2
2 2 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d d d
截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端 B的挠度。
CL12TU4
解：
M x P x( )
U
M x
E I
x
l

2
2
( )
d
( )Px
E I
x
l 2
0 2
d? P l
EI
2 3
6
W P v B12
由,得U W? v Pl
EIB
3
3
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求 C截面的挠度。
CL12TU5
解：
U
M x
E I
x
l

2
2
( )
d
P b
EI l
a P a
EI l
b2 2
2
3 2 2
2
3
2 3 2 3
W P v C12

Pb
l
x
E I
x
Pa
l
x
E I
x
a b1
2
1
0
2
2
2
0
2 2
d d
P a b
EI l
2 2 2
6
由,得：U W?
v Pa b
EI lC
2 2
3
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，
并利用功能原理求 B截面的垂直位移。已知 EI
为常量。
CL12TU6
解,M PR( ) s in
W P BV12?
由,得：U W?
BV PR
EI

3
4
R
U
M
E I
R
l

2
2
( )?
d
( sin )PR
E I
R
2
0
2
2
d P R
EI
2 3
8
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于 A端的集中力 P垂直于轴线所在的平面。试求 A点的垂直位移。已知 GIp,EI为常量。
CL12TU7
解：,( ) s i nM PR
W P AV12?
由,得：U W?
AV
p
PR
GI
PR
EI

3
2 2
3 3
R
U
T
G I
R
M
E I
R
pl l

2 2
2 2
( ) ( )?
d d
T PR( ) ( c o s )1

3
4 4
2 3 2 3P R
G I
P R
E Ip
§ 12-3 单位载荷法
CL12TU10
P1 P2
C
M x( )
M x0 ( )
M x M x( ) ( )? 0
P1 P2
C
C
P0 1?
U M x
E I
x
l

2
2
( ) d
U M x
E I
x
l
0
0 2
2
[ ( )] d
U M x M x
E I
x
l
1
0 2
2
[( ( ) ( )] d
P1 P2
C
P0
C
P0 1?
P1 P2
P 0 作功,U0
P P1 2,作功,U
P 0 在 上又作功：? 1

共做功
W U U
1 0
1?
W U1 1?
U U M x M x
E I
x
l
0
0 2
1
2
[( ( ) ( )] d
M x
E I
x M x
E I
x
M x M x
E I
x
l l l
2 0 2 0
2 2
( ) [ ( )] ( ) ( )d d d
1
0

M x M x
E I
x
l
( ) ( )
d

M x M x
E I
x
l
( ) ( )
0
d

M x M x
E I
x
l
( ) ( )0
d
莫尔定理
（莫尔积分）

M x M x
E I
x
l
( ) ( )0
d
对于组合变形：

N x N x
E A
x
T x T x
G I
x
M x M x
E I
x
l pl l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
d d d
注意：上式中 应看成广义位移，把单 位力看成与广义位移对应的广义力
例：试用莫尔定理计算图 (a)所 示悬臂梁自由端 B
的挠度和转角。
CL12TU11
P
A
B
A
B
A
B
l
x
x
x
1
1
解,在 截面作用一单位力 如图 所示( ),( )
( ),( )
1
0
B b
M x Px M x x
v
M x M x
E I
xB
l

( ) ( )0
d Px
E I
x
l 2
0
dPl
EI
3
3
( ),( )
( ),( )
2
10
在 截面作用一单位力偶 如图 所示B c
M x Px M x
B
l
M x M x
E I
x
( ) ( )0
d
Px
E I
x
l
d
0
Pl
EI
2
2
例：计算图（ a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 Δ AB 。 EI=常数。
CL12TU12
解,M PR
M R
( ) ( c o s )
( ) ( c o s )




1
10
d?
AB
M M
E I
R2
0
0
( ) ( )
d2 1
2 2
0
PR
E I
R( c o s )
d
3
3? PR
EI
例：半圆形小曲率曲杆的 A端固定，在自由端作用扭转力偶矩 m，曲杆横截面为圆形，其直径为 d。试求 B端的扭转角。已知 E,μ 。
CL12TU13
解：
R
T m M m
T M
( ) c o s,( ) s i n
( ) c o s,( ) s i n



0 0



B
p
T T
G I
R
M M
E I
R
( ) ( ) ( ) ( )0
0
0
0
d d
m
G I
R m
E I
R
p
c o s s in2
0
2
0
d d
mR
G I
mR
E Ip

2 2

Rm
G I E Ip2
1 132 2
4
( )? Rm
E d
G E2 1( )?
例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,
在自由端受垂直力 P作用。试求自由端 A的垂直位移、绕 x轴的转角和绕 y轴的转角。已知 GIp、
EI为常量
CL12TU7,14
解,(1),( ) s i nM PR

3
2 2
3 3PR
GI
PR
EIp
R
AV
pl l
T T
G I
R
M M
E I
R
( ) ( ) ( ) ( )

0 0
d d
T PR( ) ( c o s )1
T R0 1( ) ( c os ),( ) s inM R0

PR
G I
R
PR
E I
R
p
2 2
0
2 2
0
1( c o s ) s i n?

d d
(2)
,( ) s i nM PR
R


A x
pl l
T T
G I
R
M M
E I
R
( ) ( ) ( ) ( )0 0
d d
T PR( ) ( c o s )1
T 0 ( ) co s,( ) sinM 0
(3)
,( ) s i nM PR
R


A y
pl l
T T
G I
R
M M
E I
R
( ) ( ) ( ) ( )0 0
d d
T PR( ) ( c o s )1
T 0 ( ) s in,( ) c osM 0