第十一章 组合变形
§ 11-1 组合变形的概念前面几章研究了构件的基本变形：
轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为 组合变形 。
所有由基本变形组合产生的杆件内力称为复合抗力。
CL11TU1,2
在复合抗力的计算中，通常都是由力作用的独立性原理出发的。在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计 。
实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。
§ 11-2 斜弯曲一、应力计算 中性轴的位置
CL11TU3
P P
P P
y
z
s in
c o s
P P
P P
y
z
s in
c o s
M P l x P l x M
M P l x P l x M
y z
z y
( ) c o s ( ) c o s
( ) s i n ( ) s i n
P My z P Mz y
M y
I
M y
I
z
z z
s i n
M z
I
M z
I
y
y y
c o s
CL11TU4
M
y
I
z
Iz y
sin c os
0 0 0
M
y
I
z
Iz y
sin c os
下面确定中性轴的位置：
故中性轴的方程为：
s i n c o s
I
y
I
z
z y
0 0 0
设中性轴上某一点的坐标为 y0,z0,则中性轴是一条通过截面形心的直线。
tg tg
z
y
I
I
y
z
0
0
中性轴?
CL11TU5
中性轴
CL11TU6
二、位移计算 斜弯曲概念为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法
f
P l
EI
P l
EIy
y
Z Z
3 3
3 3
s i n?
CL11TU7
f P l
EI
P l
EIz
z
y y
3 3
3 3
c o s?
f f fy z2 2
tg tg
f
f
I
I
y
z
y
z
中性轴?
总挠度 f与中性轴垂直
CL11TU8
tg tg
载荷平面挠曲线平面
CL11TU9
梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合，这种弯曲称为
§ 11-3 拉伸 (压缩 )与弯曲的组合变形例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径 d=100mm，试求圆杆的最大拉应力 σt和最大压应力 σc 。
CL11TU10
X
Y
A
A
3
4
kN
kN
解：
任意横截面 上的内力x,
N X
Q Y
M x Y x x
A
A
A
3
4
4
kN
kN
( )
1 1 3 8截面上危险截面，其上,,N MkN kN m
t
M Pa
c
N
A
M
W d d
3 10
4
8 10
32
81 1
81 9
3
2
3
3
.
.
M
W
N
A
M
W
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
N
A
P
c d
M
W
P a
d c
y
y
2
6
M
W
P b
c d
z
z
2
6
任意横截面上的内力：
N P M Pa M Pby z,,
N
A
M z
I
M y
I
P
c d
Pa z
d c
P b y
c d
y
y
z
z
3 3
12 12
c
t
y
y
z
z
N
A
M
W
M
W
P
c d
P a
d c
P b
c d
2 2
6 6
下面求截面核心：
t
y
y
z
z
N
A
M
W
M
W
P
cd
Pa
d c
P b
c d
2 2
6 6
0
a
c
b
d
1
6
若,则若,则
a b
d
b a
c
0
6
0
6
圆截面杆的截面核心
CL11TU12
N P M P a，
t
N
A
M
W
P
d
Pa
d
2 3
4 32
0
a d?
8
§ 11-4 扭转与弯曲的组合变形
CL11TU13
A截面为危险截面：
M Pl
T Pa
k1
k2
M
W
T
W
t
2 2
0
2
2?
1
3
2
2
2
2 2
0
r 3 1 32 24?
M
W
T
W t
2 2
4
M T
W
2 2
r 4 1 2 2 2 3 2 3 1 212( ) ( ) ( )
2 23M T
W
2 20 75.
1
3
2
2
2
2 2
0
M
W
T
W t
,W
d W d
t?
3 3
32 16
,
r
r
M T
W
M T
W
W
d
3
2 2
4
2 2
3
0 75
32
.
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
[ ]?
[ ]?
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，
C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方向及位置如图所示，该梁变形有四种答案：
（ A）平面弯曲； （ B）斜弯曲；
（ C）纯弯曲； （ D）弯扭结合。
CL11TU20
√
例：图示 Z形截面杆，在自由端作用一集中力 P，该杆的变形设有四种答案：
（ A）平面弯曲变形； （ B）斜弯曲变形；
（ C）弯扭组合变形； （ D）压弯组合变形。
CL11TU21
√
例：具有切槽的正方形木杆，
受力如图。求：
（ 1） m-m截面上的最大拉应力 σt 和最大压应力 σc；
（ 2）此 σt是截面削弱前的 σt
值的几倍？
CL11TU22
解,(1)
t
c
N
A
M
W
P
a
P a
a
a
2
2
2
4
2
6
8
4
2
2
P
a
P
a
例：图示偏心受压杆。试求该杆中不出现拉应力时的最大偏心距。
CL11TU23
解：
N P M P e,
t NA MWP
bh
Pe
hb 2
6
0
e b? 6
例：偏心拉伸杆，
弹性模量为 E，尺寸
、受力如图所示。求
：
（ 1）最大拉应力和最大压应力的位置和数值；
（ 2） AB长度的改变量。
CL11TU24
解,(1)
N P M P h M P by z,,2 2
t
c
y
y
z
z
N
A
M
W
M
W
P
bh
Ph
bh
Pb
hb
2
6
2
6
2 2
7
5
P
bh
P
bh
最大拉应力发生在 AB线上各点最大压应力发生在 CD线上各点例：求图示杆在 P=100kN作用下的 σt数值，
并指明所在位置。
CL11TU25
解,(1)
t?
100 10
100 200 10
5000
0 2 0 1
6
20
3
6 2.,
M P a
最大拉应力发生在后背面上各点处例：空心圆轴的外径 D=200mm，内径 d=160mm
。在端部有集中力 P =60kN,作用点为切于圆周的 A点。 [σ]=80MPa，试用第三强度理论校核轴的强度。
CL11TU26
直径为 20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力 P=0.2kN，已知［ σ］ =170MPa。试用第三强度理论确定ａ的许可值。
CL11TU27
圆截面水平直角折杆，直径 d=60mm，垂直分布载荷 q=0.8kN/m;［ σ］ =80MPa。试用第三强度理论校核其强度。
CL11TU28
作业（ P200-203）
1,2,3,5,6,9,10,13,16
§ 11-1 组合变形的概念前面几章研究了构件的基本变形：
轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为 组合变形 。
所有由基本变形组合产生的杆件内力称为复合抗力。
CL11TU1,2
在复合抗力的计算中，通常都是由力作用的独立性原理出发的。在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计 。
实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。
§ 11-2 斜弯曲一、应力计算 中性轴的位置
CL11TU3
P P
P P
y
z
s in
c o s
P P
P P
y
z
s in
c o s
M P l x P l x M
M P l x P l x M
y z
z y
( ) c o s ( ) c o s
( ) s i n ( ) s i n
P My z P Mz y
M y
I
M y
I
z
z z
s i n
M z
I
M z
I
y
y y
c o s
CL11TU4
M
y
I
z
Iz y
sin c os
0 0 0
M
y
I
z
Iz y
sin c os
下面确定中性轴的位置：
故中性轴的方程为：
s i n c o s
I
y
I
z
z y
0 0 0
设中性轴上某一点的坐标为 y0,z0,则中性轴是一条通过截面形心的直线。
tg tg
z
y
I
I
y
z
0
0
中性轴?
CL11TU5
中性轴
CL11TU6
二、位移计算 斜弯曲概念为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法
f
P l
EI
P l
EIy
y
Z Z
3 3
3 3
s i n?
CL11TU7
f P l
EI
P l
EIz
z
y y
3 3
3 3
c o s?
f f fy z2 2
tg tg
f
f
I
I
y
z
y
z
中性轴?
总挠度 f与中性轴垂直
CL11TU8
tg tg
载荷平面挠曲线平面
CL11TU9
梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合，这种弯曲称为
§ 11-3 拉伸 (压缩 )与弯曲的组合变形例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径 d=100mm，试求圆杆的最大拉应力 σt和最大压应力 σc 。
CL11TU10
X
Y
A
A
3
4
kN
kN
解：
任意横截面 上的内力x,
N X
Q Y
M x Y x x
A
A
A
3
4
4
kN
kN
( )
1 1 3 8截面上危险截面，其上,,N MkN kN m
t
M Pa
c
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A
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4
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32
81 1
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3
2
3
3
.
.
M
W
N
A
M
W
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
N
A
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M
W
P a
d c
y
y
2
6
M
W
P b
c d
z
z
2
6
任意横截面上的内力：
N P M Pa M Pby z,,
N
A
M z
I
M y
I
P
c d
Pa z
d c
P b y
c d
y
y
z
z
3 3
12 12
c
t
y
y
z
z
N
A
M
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M
W
P
c d
P a
d c
P b
c d
2 2
6 6
下面求截面核心：
t
y
y
z
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W
M
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P
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Pa
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P b
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6 6
0
a
c
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6
若,则若,则
a b
d
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6
圆截面杆的截面核心
CL11TU12
N P M P a，
t
N
A
M
W
P
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2 3
4 32
0
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8
§ 11-4 扭转与弯曲的组合变形
CL11TU13
A截面为危险截面：
M Pl
T Pa
k1
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M
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2 2
0
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1
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2 2
3
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32
.
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
[ ]?
[ ]?
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，
C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方向及位置如图所示，该梁变形有四种答案：
（ A）平面弯曲； （ B）斜弯曲；
（ C）纯弯曲； （ D）弯扭结合。
CL11TU20
√
例：图示 Z形截面杆，在自由端作用一集中力 P，该杆的变形设有四种答案：
（ A）平面弯曲变形； （ B）斜弯曲变形；
（ C）弯扭组合变形； （ D）压弯组合变形。
CL11TU21
√
例：具有切槽的正方形木杆，
受力如图。求：
（ 1） m-m截面上的最大拉应力 σt 和最大压应力 σc；
（ 2）此 σt是截面削弱前的 σt
值的几倍？
CL11TU22
解,(1)
t
c
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A
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例：图示偏心受压杆。试求该杆中不出现拉应力时的最大偏心距。
CL11TU23
解：
N P M P e,
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Pe
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6
0
e b? 6
例：偏心拉伸杆，
弹性模量为 E，尺寸
、受力如图所示。求
：
（ 1）最大拉应力和最大压应力的位置和数值；
（ 2） AB长度的改变量。
CL11TU24
解,(1)
N P M P h M P by z,,2 2
t
c
y
y
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z
N
A
M
W
M
W
P
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Ph
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2
6
2
6
2 2
7
5
P
bh
P
bh
最大拉应力发生在 AB线上各点最大压应力发生在 CD线上各点例：求图示杆在 P=100kN作用下的 σt数值，
并指明所在位置。
CL11TU25
解,(1)
t?
100 10
100 200 10
5000
0 2 0 1
6
20
3
6 2.,
M P a
最大拉应力发生在后背面上各点处例：空心圆轴的外径 D=200mm，内径 d=160mm
。在端部有集中力 P =60kN,作用点为切于圆周的 A点。 [σ]=80MPa，试用第三强度理论校核轴的强度。
CL11TU26
直径为 20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力 P=0.2kN，已知［ σ］ =170MPa。试用第三强度理论确定ａ的许可值。
CL11TU27
圆截面水平直角折杆，直径 d=60mm，垂直分布载荷 q=0.8kN/m;［ σ］ =80MPa。试用第三强度理论校核其强度。
CL11TU28
作业（ P200-203）
1,2,3,5,6,9,10,13,16
