第十三章 压杆稳定
§ 13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定一端自由
CL13TU2,3
称为临界压力
Pcr
CL13TU4
§ 13-2 细长压杆的临界压力欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M x P v( )
M x P v( )
E I v M x P v( )
即v
P
E I
v 0
令 k
P
E I
2?,则v k v
2 0
特征方程为 r k2 2 0
有两个共轭复根? ki
附：求二阶常系数齐次 微分方程的通解
y p y q 0
特征方程为 r pr q2 0
①两个不相等的实根,通解r r1 2
y C e C er x r x1 21 2
②两个相等的实根 通解r r1 2?
y C C x e r x（ ）1 2 1
③一对共轭复根 通解r i1 2,
y e C x C xx( c os sin )1 2
sin kl? 0
通解,v A kx B kxs i n c o s
边界条件,x v0 0时,B 0
x l v时,0A kls in 0
kl n n? (,,,)0 1 2?
k
n
l
P
n E I
l
2 2
2
k
P
E I
2
P
E I
P
E I
l
c r?
2
2
两端铰支细长压杆临界压力的 欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
P
E I
l
c r
2
2
( )
称为长度系数
P
E I
l
c r
2
2
1
P
E I
l
c r
2
2
2
2
( )
P
E I
l
c r
2
2
0 7
0 7
(,)
.
P
E I
l
c r
2
2
0 5
0 5
(,)
.
P
E I
l
c r?
2
2
2
22
E I
l( )
2
20 7
E I
l(,)
2
20 5
E I
l(,)
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 P1和 P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则
(A) P1=P2 (B) P1<P2
(C) P1>P2 (D) 不能断定 P1和 P2的关系
CL13TU10
解：图 中,杆受压( )a AD
N PAD? 2 1
2
2
2
E I
a
P E I
a1
2
2
1
2 2
图（ ）中,杆受压b AB
N PAB? 2
2
2
E I
a
P E I
a2
2
2
例：长方形截面细长压杆,b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力 Pcr是原来的多少倍？
CL13TU11
解：
P
P
cr b
cr a
2
2
2
2
E I
l
E I
l
b
a
( )
( )
I
I
b
a
h
hb
4
3
12
12
h
b
3?8
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解,( )1
P
E I
l
cr?
2
2( )
2
4
2
64
E
d
l( )
1
16
( )2
P
P
cr
cr
正圆
2
2
2
2
E I
l
E I
l
正圆
( )
( )
I
I
正圆
a
d
4
4
12
64
d
d
2
2
4
4
12
64
3
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。
正方形 等边角钢 槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系 ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为 E。求图 (a),(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解,( )a 杆 受压，其余杆受拉BD
BD 杆的临界压力,
P
E I
a
cr?
2
2
2
2
22
E I
a
故杆系所能承受的最大 载荷
P P crm a x?
2
22
E I
a
3 4
2128
E d
a
( )b 杆 受拉，其余杆受压BD
四根受压杆的临界压力,
P
E I
a
cr?
2
2
故杆系所能承受的最大 载荷：
P P crmax? 2? 2
64
3 4
2
E d
a
例：图示结构,①、②两杆 截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
θ角（设 0<θ<π /2）。
90?
②①
CL13TU16
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为,
N P N P1 2c o s s i n，
两杆的临界压力分别为,
P E I
l
P E I
lc r c r1
2
1
2 2
2
2
2
，
要使 最大，只有,都达到临界压力，即
P N N1 2
P
E I
l
P
E I
l
c o s
s in
2
1
2
2
2
2
1
2
（ ）
（ ）
90?
②①
将式 除以式 便得( ) ( ),2 1 1
2
2
tg
l
l
ctg 2?
由此得 a rc tg (c tg 2 )
90?
②①
§ 13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定一端自由
CL13TU2,3
称为临界压力
Pcr
CL13TU4
§ 13-2 细长压杆的临界压力欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M x P v( )
M x P v( )
E I v M x P v( )
即v
P
E I
v 0
令 k
P
E I
2?,则v k v
2 0
特征方程为 r k2 2 0
有两个共轭复根? ki
附：求二阶常系数齐次 微分方程的通解
y p y q 0
特征方程为 r pr q2 0
①两个不相等的实根,通解r r1 2
y C e C er x r x1 21 2
②两个相等的实根 通解r r1 2?
y C C x e r x（ ）1 2 1
③一对共轭复根 通解r i1 2,
y e C x C xx( c os sin )1 2
sin kl? 0
通解,v A kx B kxs i n c o s
边界条件,x v0 0时,B 0
x l v时,0A kls in 0
kl n n? (,,,)0 1 2?
k
n
l
P
n E I
l
2 2
2
k
P
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2
P
E I
P
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2
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两端铰支细长压杆临界压力的 欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
P
E I
l
c r
2
2
( )
称为长度系数
P
E I
l
c r
2
2
1
P
E I
l
c r
2
2
2
2
( )
P
E I
l
c r
2
2
0 7
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(,)
.
P
E I
l
c r
2
2
0 5
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(,)
.
P
E I
l
c r?
2
2
2
22
E I
l( )
2
20 7
E I
l(,)
2
20 5
E I
l(,)
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 P1和 P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则
(A) P1=P2 (B) P1<P2
(C) P1>P2 (D) 不能断定 P1和 P2的关系
CL13TU10
解：图 中,杆受压( )a AD
N PAD? 2 1
2
2
2
E I
a
P E I
a1
2
2
1
2 2
图（ ）中,杆受压b AB
N PAB? 2
2
2
E I
a
P E I
a2
2
2
例：长方形截面细长压杆,b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力 Pcr是原来的多少倍？
CL13TU11
解：
P
P
cr b
cr a
2
2
2
2
E I
l
E I
l
b
a
( )
( )
I
I
b
a
h
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4
3
12
12
h
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3?8
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解,( )1
P
E I
l
cr?
2
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2
4
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64
E
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l( )
1
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P
P
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2
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l
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正圆
a
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4
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12
64
3
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。
正方形 等边角钢 槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系 ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为 E。求图 (a),(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解,( )a 杆 受压，其余杆受拉BD
BD 杆的临界压力,
P
E I
a
cr?
2
2
2
2
22
E I
a
故杆系所能承受的最大 载荷
P P crm a x?
2
22
E I
a
3 4
2128
E d
a
( )b 杆 受拉，其余杆受压BD
四根受压杆的临界压力,
P
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a
cr?
2
2
故杆系所能承受的最大 载荷：
P P crmax? 2? 2
64
3 4
2
E d
a
例：图示结构,①、②两杆 截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
θ角（设 0<θ<π /2）。
90?
②①
CL13TU16
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为,
N P N P1 2c o s s i n，
两杆的临界压力分别为,
P E I
l
P E I
lc r c r1
2
1
2 2
2
2
2
，
要使 最大，只有,都达到临界压力，即
P N N1 2
P
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l
P
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2
1
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（ ）
（ ）
90?
②①
将式 除以式 便得( ) ( ),2 1 1
2
2
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l
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由此得 a rc tg (c tg 2 )
90?
②①
