CL8TU3
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
1
M
E I z
M y
I z
中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
中性轴过截面形心横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
t c m a x
M
W Z
m ax m ax?
M y
I Z
C z
y
y1
y2
W
I
y
z
z?
m ax
抗弯截面模量
CL8TU5
z
M? 0 M? 0
横截面上的应力分布图：
z
I
b h
Z?
3
12
I
d
Z?
4
64
I
D d D
Z?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z?
2
6
,W
d
Z?
3
32
W
D
Z
3
4
32
1( )
横力弯曲时的正应力,
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
l h? 5
梁的正应力强度条件,
利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
ma x ma x [ ]
M
W Z
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图 (a),(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
CL8TU7
l
解：
m a x
m a x
1
1
1
1
2
6
M
W
P l
bhz
m a x
m a x
2
2
2
2
2
6
M
W
P l
hbz
由 得max max [ ],1 2
P
P
h
b
1
2
例,矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，
宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？
解,由公式
m a x
m a x m a x
M
W
M
bhz
2
6
可以看出,该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
例：主 梁 AB，跨度为 l，采用加副梁 CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？
CL8TU8
a
2
a
2
l
2
l
2
P
A B
C D
解：
主梁 AB的最大弯矩
P l a P a
4 4
( )
副梁 CD的最大弯矩
M
P a
CDm ax? 4
由
M MAB CDm ax m ax?
即得
a l?
2
M P l aABm ax ( )
4
例：图示梁的截面为 T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［ σt］和［ σc］，则 y1
和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）
CL8TU9
P
C
y1
y2
z
解：
( )
( )
[ ]
[ ]
1
2
1
2
得：
y
y
t
c
t
z
t
M y
I
m ax [ ]1
c
z
c
M y
I
m a x [ ]2
( )1
( )2
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［ σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
CL8TU10
10 kN / m
2m 4m
100
200
解：由弯矩图可见
M m a x20 kN m
10 kN / m
2m 4m
100
200
45 kN
15kN
Q( )kN
20
25
15
M ( )kN m?
20
1125.
t
z
M
W
m a x?
20 10
0 1 0 2
6
3
2.,
30 M Pa < [ ]?
该梁满足强度条件，安全例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍ max、
σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
CL8TU11
A1 A2 A32b
b
a
a d
解：由题意可知
W W Wz z z1 2 3
A1 A2 A32b
b
a
a d
即 b b a d( )2
6 6 32
2 3 3
A A A1 2 3:,? 2
4
2 2
2
b a d:,?
b a
d a
0 6300
1 193
.
.
0 794 1 1 12.,,,
例：图示铸铁梁，许用拉应力 [σt ]=30MPa，
许用压应力 [σc ]=60MPa,Ｉ z=7.63× 10-6m4，试校核此梁的强度。
CL8TU12
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
A B
C D
t
zI
2 5 88.
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
M ( kN m)?
2 5,kN 10 5,kN
25.
4
A B
C D
c
zI
2 5 52.
t
zI
4 52
c
zI
4 88
C截面,
B截面,
28 8,MP a
17 0,MP a
27 3,MP a
46 1,MP a
例：简支梁 AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变 ε= 6× 10-4，材料的弹性模量
E=200GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU13
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
解：
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
C点的应力C E200 10 6 103 4
120 M P a
C截面的弯矩 M W
C C z
M RC A? 0 5.由得 P? 3 2,kN
0 5 0 4.,P? 0 2,P640 N m
640 N m
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？
CL8TU14
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
解：
C截面下边缘 的应力
C C
z
M
W
C截面的弯矩
M q lC
2
8
45 kN m
C
E
应变值
15 M P a
15 10
200 10
6
9
7 5 10 5.
例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10
mm,E=10GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU15
P
2m
A B
C 200
300
2m
P
2m
A B
C 200
300
2m
解：
AC
l
x x ( ) d
0
/ 2
x dx
( )x
E
x
l
d
0
/ 2
M x
W E
x
z
l ( )
d
0
/ 2
P x
W E
x
z
l
2
d
0
/ 2
P l
W Ez
2
16
P W E
l
z AC? 16
2
16
4
0 2 0 3
6
10 5 102
2
10 3.,
150 kN
例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：
从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
解,b h d2 2 2
CL8TU15
b
hd
W bhz?
2
6
b d b( )
2 2
6
W
b
d bz2 2
6 2
0
由此得
b d?
3
h d b d2 2 2
3
h
d? 2
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
1
M
E I z
M y
I z
中性层的曲率公式：
正应力计算公式：
中性轴过截面形心横截面上的最大正应力,
t
Z
M y
I
1
y y y1 2 m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时：
,? c
Z
M y
I
2
t c m a x
M
W Z
m ax m ax?
M y
I Z
C z
y
y1
y2
W
I
y
z
z?
m ax
抗弯截面模量
CL8TU5
z
M? 0 M? 0
横截面上的应力分布图：
z
I
b h
Z?
3
12
I
d
Z?
4
64
I
D d D
Z?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z?
2
6
,W
d
Z?
3
32
W
D
Z
3
4
32
1( )
横力弯曲时的正应力,
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
M y
I z
l h? 5
梁的正应力强度条件,
利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
ma x ma x [ ]
M
W Z
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图 (a),(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
CL8TU7
l
解：
m a x
m a x
1
1
1
1
2
6
M
W
P l
bhz
m a x
m a x
2
2
2
2
2
6
M
W
P l
hbz
由 得max max [ ],1 2
P
P
h
b
1
2
例,矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，
宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？
解,由公式
m a x
m a x m a x
M
W
M
bhz
2
6
可以看出,该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
例：主 梁 AB，跨度为 l，采用加副梁 CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？
CL8TU8
a
2
a
2
l
2
l
2
P
A B
C D
解：
主梁 AB的最大弯矩
P l a P a
4 4
( )
副梁 CD的最大弯矩
M
P a
CDm ax? 4
由
M MAB CDm ax m ax?
即得
a l?
2
M P l aABm ax ( )
4
例：图示梁的截面为 T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［ σt］和［ σc］，则 y1
和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）
CL8TU9
P
C
y1
y2
z
解：
( )
( )
[ ]
[ ]
1
2
1
2
得：
y
y
t
c
t
z
t
M y
I
m ax [ ]1
c
z
c
M y
I
m a x [ ]2
( )1
( )2
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［ σ］ =160MPa，校核该梁的强度。
CL8TU10
10 kN / m
2m 4m
100
200
解：由弯矩图可见
M m a x20 kN m
10 kN / m
2m 4m
100
200
45 kN
15kN
Q( )kN
20
25
15
M ( )kN m?
20
1125.
t
z
M
W
m a x?
20 10
0 1 0 2
6
3
2.,
30 M Pa < [ ]?
该梁满足强度条件，安全例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍ max、
σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
CL8TU11
A1 A2 A32b
b
a
a d
解：由题意可知
W W Wz z z1 2 3
A1 A2 A32b
b
a
a d
即 b b a d( )2
6 6 32
2 3 3
A A A1 2 3:,? 2
4
2 2
2
b a d:,?
b a
d a
0 6300
1 193
.
.
0 794 1 1 12.,,,
例：图示铸铁梁，许用拉应力 [σt ]=30MPa，
许用压应力 [σc ]=60MPa,Ｉ z=7.63× 10-6m4，试校核此梁的强度。
CL8TU12
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
A B
C D
t
zI
2 5 88.
9kN 4kN
C z
52
881m 1m 1m
M ( kN m)?
2 5,kN 10 5,kN
25.
4
A B
C D
c
zI
2 5 52.
t
zI
4 52
c
zI
4 88
C截面,
B截面,
28 8,MP a
17 0,MP a
27 3,MP a
46 1,MP a
例：简支梁 AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变 ε= 6× 10-4，材料的弹性模量
E=200GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU13
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
解：
04,m05,m
1m
P
A B
C D
40
20
C点的应力C E200 10 6 103 4
120 M P a
C截面的弯矩 M W
C C z
M RC A? 0 5.由得 P? 3 2,kN
0 5 0 4.,P? 0 2,P640 N m
640 N m
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？
CL8TU14
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
q? 40 kN / m
15,m
A B
C 200
300
15,m
解：
C截面下边缘 的应力
C C
z
M
W
C截面的弯矩
M q lC
2
8
45 kN m
C
E
应变值
15 M P a
15 10
200 10
6
9
7 5 10 5.
例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10
mm,E=10GPa，求载荷 P的大小。
CL8TU15
P
2m
A B
C 200
300
2m
P
2m
A B
C 200
300
2m
解：
AC
l
x x ( ) d
0
/ 2
x dx
( )x
E
x
l
d
0
/ 2
M x
W E
x
z
l ( )
d
0
/ 2
P x
W E
x
z
l
2
d
0
/ 2
P l
W Ez
2
16
P W E
l
z AC? 16
2
16
4
0 2 0 3
6
10 5 102
2
10 3.,
150 kN
例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：
从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
解,b h d2 2 2
CL8TU15
b
hd
W bhz?
2
6
b d b( )
2 2
6
W
b
d bz2 2
6 2
0
由此得
b d?
3
h d b d2 2 2
3
h
d? 2
