第三章 杆件横截面内的正应力
§ 3-1 应力、应变及其相关关系
1,正应力与切应力
GDGCTU30
dA
dP
p
P
A
d
d
dP
dP1
dP2
dA
d
d
P
A
1
d
d
P
A
2
GDGCTU30
2,正应变与切应变
x?x
dx
x?x
dx
d dx u?
x
u
x
d
d
GDGCTU31
3,线弹性材料的物性关系
x?x
dx
x?x
dx
d dx u?
x xE?
G
GDGCTU31
§ 3-2 杆件横截面上的正应力分析
x
y
z
Rx
Ry
Rz
Mx
My
Mz
考察杆横截面上只有轴 力,弯矩,作用的情形N M My z
N
GDGCTU32
1,平面假定与变形协调方程取 dx微段考虑
dx
GDGCTU33
平面假定,杆横截面位移后依然保持平面
x
y
z
N
My
Mz
设微段一侧截面不动，根据平面假定，
另一侧截面将发生三种位移：
dx
x
y
z
N
My
Mz
在 作用下沿 方向平行移动N x
在 作用下绕 轴转动M yy
在 作用下绕 轴转动M zz
横截面上任意点（ 的位移：y z,)
d d d du u z yy z0 ( ) ( )
变形协调方程
( c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n o f d e f o r m a t i o n )
2,应变分布与应力分布横截面上任意点（ 的位移：y z,)
d d d du u z yy z0 ( ) ( )
横截面上任意点（ 的正应变：y z,)
x
y z
u
x
u
x
z
x
y
x
=
d
d
d
d d
d
d
d
0
0
z y
y z
0 0=
d
d
u
x
轴向载荷引起的应变
dx
x
y
d?z
z
z z
x
d
d
梁轴线在 平面内弯曲时的曲率半径
xy
dx
横截面上任意点（ 的正应变：y z,)
x
y z
z y
0
横截面上任意点（ 的正应力：y z,)
x x
y z
E E
E
z
E
y0
在轴力和弯矩作用下,杆件横截面上的正应力 对于,都是线性分布的，即在 空间形成一应力平面。y z
3,静力学分析
x
y
z
N
My
Mz
x
y
z
y
z
dA
x Ad
x
A
Ad?
z Ax
A
d
y Ax
A
d
N
M y
M z
N A E
E
z
E
y Ax
A y zA
d d0
S z Ay
A
d S y Az
A
d
EA ES ESy
y
z
z
0
1 1
M z A z E
E
z
E
y Ay x
A y zA
d d0
S z Ay
A
d I yz Ayz
A
d
E S E I E Iy y
y
yz
z
0
1 1
I z Ay
A
2 d
M y A y E E z E y Az x
A y zA
d d0
S y Az
A
d I yz Ayz
A
d
E S E I E Iz yz
y
z
z
0
1 1
I y Az
A
2 d
EA ES ES N
E S E I E I M
E S E I E I M
y
y
z
z
y y
y
yz
z
y
z yz
y
z
z
z
0
0
0
1 1
1 1
1 1
S z A S y A
I z A I y A I yz A
y
A
z
A
y
A
z
A
yz
A
d d
d d d
,
,,
2 2
4,问题的简化 ----正应力的一般表达式若将 y,z轴取为形心主惯性轴，则
S z A S y A I yz Ay
A
z
A
yz
A
d d d0 0 0,,
EA ES ES N
E S E I E I M
E S E I E I M
y
y
z
z
y y
y
yz
z
y
z yz
y
z
z
z
0
0
0
1 1
1 1
1 1
EA N
E I M
E I M
y
y
y
z
z
z
0
1
1
EA N
E I M
E I M
y
y
y
z
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0
1
1
0
1
1
N
E A
M
E I
M
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y
y
y
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z
z
x y z
E
E
z
E
y0
N
A
M
I
z
M
I
y
y
y
z
z
5,不同变形形式下的正应力
（ 1）轴向拉伸或压缩时的正应力
x
N
A
x
P
P
P
GDGCTU36
（ 2）平面弯曲正应力
x
y
y
M
I
z x
z
z
M
I
y
或
GDGCTU37
（ 3）斜弯曲时的正应力
x
y
y
z
z
M
I
z
M
I
y
GDGCTU38
x
y
z
My
Mz
（ 4）中性轴的概念及其位置
x
y
y
z
z
M
I
z
M
I
y 0
GDGCTU38
x
y
z
My
Mz
（ 5）截面核心的概念
§ 3-1 应力、应变及其相关关系
1,正应力与切应力
GDGCTU30
dA
dP
p
P
A
d
d
dP
dP1
dP2
dA
d
d
P
A
1
d
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2
GDGCTU30
2,正应变与切应变
x?x
dx
x?x
dx
d dx u?
x
u
x
d
d
GDGCTU31
3,线弹性材料的物性关系
x?x
dx
x?x
dx
d dx u?
x xE?
G
GDGCTU31
§ 3-2 杆件横截面上的正应力分析
x
y
z
Rx
Ry
Rz
Mx
My
Mz
考察杆横截面上只有轴 力,弯矩,作用的情形N M My z
N
GDGCTU32
1,平面假定与变形协调方程取 dx微段考虑
dx
GDGCTU33
平面假定,杆横截面位移后依然保持平面
x
y
z
N
My
Mz
设微段一侧截面不动，根据平面假定，
另一侧截面将发生三种位移：
dx
x
y
z
N
My
Mz
在 作用下沿 方向平行移动N x
在 作用下绕 轴转动M yy
在 作用下绕 轴转动M zz
横截面上任意点（ 的位移：y z,)
d d d du u z yy z0 ( ) ( )
变形协调方程
( c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n o f d e f o r m a t i o n )
2,应变分布与应力分布横截面上任意点（ 的位移：y z,)
d d d du u z yy z0 ( ) ( )
横截面上任意点（ 的正应变：y z,)
x
y z
u
x
u
x
z
x
y
x
=
d
d
d
d d
d
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0
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z y
y z
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d
d
u
x
轴向载荷引起的应变
dx
x
y
d?z
z
z z
x
d
d
梁轴线在 平面内弯曲时的曲率半径
xy
dx
横截面上任意点（ 的正应变：y z,)
x
y z
z y
0
横截面上任意点（ 的正应力：y z,)
x x
y z
E E
E
z
E
y0
在轴力和弯矩作用下,杆件横截面上的正应力 对于,都是线性分布的，即在 空间形成一应力平面。y z
3,静力学分析
x
y
z
N
My
Mz
x
y
z
y
z
dA
x Ad
x
A
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A
d
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M z
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,,
2 2
4,问题的简化 ----正应力的一般表达式若将 y,z轴取为形心主惯性轴，则
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y0
N
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z
5,不同变形形式下的正应力
（ 1）轴向拉伸或压缩时的正应力
x
N
A
x
P
P
P
GDGCTU36
（ 2）平面弯曲正应力
x
y
y
M
I
z x
z
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M
I
y
或
GDGCTU37
（ 3）斜弯曲时的正应力
x
y
y
z
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M
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M
I
y
GDGCTU38
x
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Mz
（ 4）中性轴的概念及其位置
x
y
y
z
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GDGCTU38
x
y
z
My
Mz
（ 5）截面核心的概念
