第四章 杆件横截面上的剪应力
§ 4-1 圆轴扭转时横截面上的剪应力受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。
变形特征：横截面绕轴线转动。 CL5TU2
外力偶矩的计算,
设某轮所传递的功率是 N kW，轴的转速是 n rpm
CL5TU18
N kW 的功率相当于每分钟作 功：
W N= 1000 6 0 1)× × (
外力偶矩 所作的功：m
W m n = 2 2) (
( 1) = ( 2 )
1000 60 = 2
得
× ×N m n
m
N
n
N
n
m
9549
─
─
─
kW
r p m
N m
m
N
n
N
n
m
7024
─
─
─
PS
r p m
N m
{ }
{ }
{ }
m
N
nN m
kW
r / m i n
9549
{ }
{ }
{ }
m
N
nN m
PS
r / m i n
7024
GB3101-93中规定的数值方程式表示方法例,图示传动轴，主动轮 A输入功率
NA=50 马力，从动轮 B,C,D输出功率分别为 NB=NC=15马力,ND=20马力，轴的转速为 n=300转 /分。作轴的扭矩图。
CL5TU3
扭矩和扭矩图,
N N N N
n
A B C D50 15 20PS PS PS
= 300 r pm
解：
m N
nA
A7024 7024 50
300
1170 N m
m m
N
n
m
N
n
B C
B
D
C
7024 7024
15
300
351
7024 7024
20
300
468
N m
N m
T m B1 351N m
T 2 702N m
T m D3 468N m
m
m m
m
A
B C
D
1170
351
468
N m
N m
N m
T ( N m)?
T
T
T
1
2
3
351
702
468
N m
N m
N m
薄壁圆筒的扭转实验,
CL5TU4
m m
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
T T
根据精确的理论分析,当 t≤r/10时,上式的误差不超过 4.52%,是足够精确的。
r A T
A
d
d A
dA
r A T
A
d
r r t T2
T
r t2 2
r
剪应力互等定理,在相互垂直的两个平面上,
剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。
剪切胡克定律,
CL5TU8
薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限 τp时,剪应力与剪应变成正比
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为 剪切胡克定律
G
剪切弹性模量 G
材料常数：拉压弹性模量 E
泊松比 μ
G
E
2 1( )?
对于各向同性材料,可以证明,E,G,μ 三个弹性常数之间存在着如下关系,
圆轴扭转时的应力和变形,
一、圆轴扭转时横截面上的应力变形几何关系从三方面考虑：物理关系静力学关系 CL5TU5
观察到下列现象,
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化
(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度 γ
1.变形几何关系平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
CL5TU5
d?
CL5TU5
d dx
d
d x
在外表面上?
r
x
d
d
根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
2,物理关系
G
x
d
d
3.静力学关系
dA
dA
o
A
A Td
A
G
x
A T
d
d
d
G
x
A T
A
d
d
d
2
令 I Ap
A
2 d 则
d
d
x
T
G I p
I Ap
A
2 d 极惯性矩
d
d
x
T
G I p
G
x
d
d
ma x
ma x? T
I p
G
T
G I p
T
I p
T
Wt
W
I
t
p?
m a x
抗扭截面模量
T
I
T
W
p t
m a x
m a x
m a x
CL5TU9
极惯性矩：
实心圆,I d
p?
4
32
空心圆,I D d D
p?
( )
( )
4 4 4
4
32 32
1
抗扭截面模量：
实心圆,W d
t?
3
16
空心圆,W D
t
3
4
16
1( )
二、圆轴扭转时的变形
CL5TU5
d?
d
d
x
T
GI p
d d
T
GI
x
p
T
GI
x
pl
d
若,则T
T l
G I p
c onst?
l
N l
E A
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件强度条件,
m a x [ ]
T
W t
刚度条件：
d
d x
T
G I p
[ ]
T
GI p
180
[ ]
ra d m/
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？
圆轴的扭转角是原来的 倍？
ma x
T
W
T
dt
3
16
T l
G I
T l
G
dp
4
32
8
16
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿ 面上发生断裂，其破坏是由 应力引起的。
在图上画出破坏的截面。
CL5TU10
45?螺旋最大拉例：一直径为 D1的实心轴，另一内外径之比 α＝ d2／ D2＝ 0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比 D2/D1。
解：由 T
D
T
D1
3
2
3
4
16 16
1 0 8
(,)
D
D
2
1
4
3
1
1 0 8
1 192?
.
.
得：
例：在强度相同的条件下，用 d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
解：设实心轴的直径为 d1,由
T
d
T
D1
3 3
4
16 16
1 0 5
(,)
D
d 1
1 022?,
得：
A
A
D
d
空实
2
2
1
2
4
1 0 5
4
0 783
(,)
.
0.8
0.8 1.192
0.8
0.512
例：一厚度为 30mm、内直径为 230mm 的空心圆管，承受扭矩 T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解,(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
ma x?
T
r t2 2
max
( )
T
D 3 4
16
1
(2) 利用精确的扭转理论可求得
180 10
0 29
16
1
230
290
3
3 4
,
62 2,M P a
180 10
2 0 13 0 03
3
2?,,
56 5,M P a
例：一空心圆轴，内外径之比为 α=0.5，
两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，
若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为 d,D，面积增大一倍后内外径分别变为 d1,D1,最大许可扭矩为Ｔ 1
由
T
D
T
D
1
1
3
4
3
4
16
1
16
1
( ) ( )
[ ]
由 得D D D
D
1
2
2
2
2 1
4
1 0 5 2
4
1 0 5 2(,) (,)
得
T
T
D
D
1 1
3
3/ 22 2 828
,
例：一空心轴 α=d/D=0.8，转速 n=250r/m,功率
N=60kW，［ τ］ =40MPa，求轴的外直径 D和内直径 d。
解：
m N
n
9549 9549 60
250
2291 76,N m
由
m
D D?
3 4 3 4
6
16
1
2291 76
16
1 0 8
40 10
( )
.
(,)?
得 D? 79 1,mm,.d? 63 3 mm
例：水平面上的直角拐,AB段为圆轴，
直径为 d，在端点 C受铅垂力 P作用，材料的剪切弹性模量为 G，不计 BC段变形。求 C点的铅垂位移。
CL5TU12
解：
CV AB aP a l
G I
a
p
32 2
4
Pa l
G d?
例：已知一直径 d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6° 时，轴内最大剪应力等于 90MPa，
G=80GPa。求该轴长度。
解：
T l
G I p
( )1? m a x ( )?
T
W t
2
( )
( )
1
2
得,l
G I
W
p
t
m ax
6
180
80 10 0 05
90 10 2
9
6
.
2 33,m
例：圆截面橡胶棒的直径 d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90° 变为
88° 。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量 G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。
CL5TU13
解：由
l
d
2
得 l
d
2
2 300
2
40
30
m a x? G2 7 2
180
.
0 09425,M P a
m W t m a x
0 09425 10
0 04
16
6
3
.
.?
1 18,N m
例：传动轴传递外力偶矩ｍ＝ 5kN·m,材料的 [τ]=30MPa,G=80GPa,[θ]=0.5° /m,试选择轴的直径ｄ。
解：
由
5000
16
30 10
3
6
d
得 d? 94 7,mm
由
5000
80 10
32
180
0 5
9
4
d
.
得 d? 92 4,mm
例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。
CL5TU14
解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为 T
m
m l
G I p 内
T l
G I
T l
G Ip p内 外例：两端固定的圆截面等直杆 AB，在截面
C受外力偶矩 m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
CL5TU15
解：
m m mA B静力平衡方程为：
AB AC CB 0变形协调条件为：
m a
G I
m b
G I
A
p
B
p
0即：
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在 平面假设 的基础上。
对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。
因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
§ 4-2 非圆截面杆扭转剪应力
CL5TU20
非圆截面杆在扭转时有两种情形,
CL5TU21
1.自由扭转或纯扭转在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应力。
2.约束扭转扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。
CL5TU21
对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，
但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是一、矩形截面杆的扭转在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且截面的四个角点上剪应力均为零。最大剪应力发生在长边中点处,
CL5TU22? max
1
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
γ 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
m a x m a x
T
h b
T
G h b
2 1
3
§ 4-1 圆轴扭转时横截面上的剪应力受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。
变形特征：横截面绕轴线转动。 CL5TU2
外力偶矩的计算,
设某轮所传递的功率是 N kW，轴的转速是 n rpm
CL5TU18
N kW 的功率相当于每分钟作 功：
W N= 1000 6 0 1)× × (
外力偶矩 所作的功：m
W m n = 2 2) (
( 1) = ( 2 )
1000 60 = 2
得
× ×N m n
m
N
n
N
n
m
9549
─
─
─
kW
r p m
N m
m
N
n
N
n
m
7024
─
─
─
PS
r p m
N m
{ }
{ }
{ }
m
N
nN m
kW
r / m i n
9549
{ }
{ }
{ }
m
N
nN m
PS
r / m i n
7024
GB3101-93中规定的数值方程式表示方法例,图示传动轴，主动轮 A输入功率
NA=50 马力，从动轮 B,C,D输出功率分别为 NB=NC=15马力,ND=20马力，轴的转速为 n=300转 /分。作轴的扭矩图。
CL5TU3
扭矩和扭矩图,
N N N N
n
A B C D50 15 20PS PS PS
= 300 r pm
解：
m N
nA
A7024 7024 50
300
1170 N m
m m
N
n
m
N
n
B C
B
D
C
7024 7024
15
300
351
7024 7024
20
300
468
N m
N m
T m B1 351N m
T 2 702N m
T m D3 468N m
m
m m
m
A
B C
D
1170
351
468
N m
N m
N m
T ( N m)?
T
T
T
1
2
3
351
702
468
N m
N m
N m
薄壁圆筒的扭转实验,
CL5TU4
m m
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
T T
根据精确的理论分析,当 t≤r/10时,上式的误差不超过 4.52%,是足够精确的。
r A T
A
d
d A
dA
r A T
A
d
r r t T2
T
r t2 2
r
剪应力互等定理,在相互垂直的两个平面上,
剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。
剪切胡克定律,
CL5TU8
薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限 τp时,剪应力与剪应变成正比
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为 剪切胡克定律
G
剪切弹性模量 G
材料常数：拉压弹性模量 E
泊松比 μ
G
E
2 1( )?
对于各向同性材料,可以证明,E,G,μ 三个弹性常数之间存在着如下关系,
圆轴扭转时的应力和变形,
一、圆轴扭转时横截面上的应力变形几何关系从三方面考虑：物理关系静力学关系 CL5TU5
观察到下列现象,
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化
(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度 γ
1.变形几何关系平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
CL5TU5
d?
CL5TU5
d dx
d
d x
在外表面上?
r
x
d
d
根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
2,物理关系
G
x
d
d
3.静力学关系
dA
dA
o
A
A Td
A
G
x
A T
d
d
d
G
x
A T
A
d
d
d
2
令 I Ap
A
2 d 则
d
d
x
T
G I p
I Ap
A
2 d 极惯性矩
d
d
x
T
G I p
G
x
d
d
ma x
ma x? T
I p
G
T
G I p
T
I p
T
Wt
W
I
t
p?
m a x
抗扭截面模量
T
I
T
W
p t
m a x
m a x
m a x
CL5TU9
极惯性矩：
实心圆,I d
p?
4
32
空心圆,I D d D
p?
( )
( )
4 4 4
4
32 32
1
抗扭截面模量：
实心圆,W d
t?
3
16
空心圆,W D
t
3
4
16
1( )
二、圆轴扭转时的变形
CL5TU5
d?
d
d
x
T
GI p
d d
T
GI
x
p
T
GI
x
pl
d
若,则T
T l
G I p
c onst?
l
N l
E A
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件强度条件,
m a x [ ]
T
W t
刚度条件：
d
d x
T
G I p
[ ]
T
GI p
180
[ ]
ra d m/
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？
圆轴的扭转角是原来的 倍？
ma x
T
W
T
dt
3
16
T l
G I
T l
G
dp
4
32
8
16
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿ 面上发生断裂，其破坏是由 应力引起的。
在图上画出破坏的截面。
CL5TU10
45?螺旋最大拉例：一直径为 D1的实心轴，另一内外径之比 α＝ d2／ D2＝ 0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比 D2/D1。
解：由 T
D
T
D1
3
2
3
4
16 16
1 0 8
(,)
D
D
2
1
4
3
1
1 0 8
1 192?
.
.
得：
例：在强度相同的条件下，用 d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
解：设实心轴的直径为 d1,由
T
d
T
D1
3 3
4
16 16
1 0 5
(,)
D
d 1
1 022?,
得：
A
A
D
d
空实
2
2
1
2
4
1 0 5
4
0 783
(,)
.
0.8
0.8 1.192
0.8
0.512
例：一厚度为 30mm、内直径为 230mm 的空心圆管，承受扭矩 T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解,(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
ma x?
T
r t2 2
max
( )
T
D 3 4
16
1
(2) 利用精确的扭转理论可求得
180 10
0 29
16
1
230
290
3
3 4
,
62 2,M P a
180 10
2 0 13 0 03
3
2?,,
56 5,M P a
例：一空心圆轴，内外径之比为 α=0.5，
两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，
若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为 d,D，面积增大一倍后内外径分别变为 d1,D1,最大许可扭矩为Ｔ 1
由
T
D
T
D
1
1
3
4
3
4
16
1
16
1
( ) ( )
[ ]
由 得D D D
D
1
2
2
2
2 1
4
1 0 5 2
4
1 0 5 2(,) (,)
得
T
T
D
D
1 1
3
3/ 22 2 828
,
例：一空心轴 α=d/D=0.8，转速 n=250r/m,功率
N=60kW，［ τ］ =40MPa，求轴的外直径 D和内直径 d。
解：
m N
n
9549 9549 60
250
2291 76,N m
由
m
D D?
3 4 3 4
6
16
1
2291 76
16
1 0 8
40 10
( )
.
(,)?
得 D? 79 1,mm,.d? 63 3 mm
例：水平面上的直角拐,AB段为圆轴，
直径为 d，在端点 C受铅垂力 P作用，材料的剪切弹性模量为 G，不计 BC段变形。求 C点的铅垂位移。
CL5TU12
解：
CV AB aP a l
G I
a
p
32 2
4
Pa l
G d?
例：已知一直径 d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6° 时，轴内最大剪应力等于 90MPa，
G=80GPa。求该轴长度。
解：
T l
G I p
( )1? m a x ( )?
T
W t
2
( )
( )
1
2
得,l
G I
W
p
t
m ax
6
180
80 10 0 05
90 10 2
9
6
.
2 33,m
例：圆截面橡胶棒的直径 d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90° 变为
88° 。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量 G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。
CL5TU13
解：由
l
d
2
得 l
d
2
2 300
2
40
30
m a x? G2 7 2
180
.
0 09425,M P a
m W t m a x
0 09425 10
0 04
16
6
3
.
.?
1 18,N m
例：传动轴传递外力偶矩ｍ＝ 5kN·m,材料的 [τ]=30MPa,G=80GPa,[θ]=0.5° /m,试选择轴的直径ｄ。
解：
由
5000
16
30 10
3
6
d
得 d? 94 7,mm
由
5000
80 10
32
180
0 5
9
4
d
.
得 d? 92 4,mm
例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。
CL5TU14
解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为 T
m
m l
G I p 内
T l
G I
T l
G Ip p内 外例：两端固定的圆截面等直杆 AB，在截面
C受外力偶矩 m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
CL5TU15
解：
m m mA B静力平衡方程为：
AB AC CB 0变形协调条件为：
m a
G I
m b
G I
A
p
B
p
0即：
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在 平面假设 的基础上。
对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。
因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
§ 4-2 非圆截面杆扭转剪应力
CL5TU20
非圆截面杆在扭转时有两种情形,
CL5TU21
1.自由扭转或纯扭转在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应力。
2.约束扭转扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。
CL5TU21
对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，
但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是一、矩形截面杆的扭转在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且截面的四个角点上剪应力均为零。最大剪应力发生在长边中点处,
CL5TU22? max
1
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
γ 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
m a x m a x
T
h b
T
G h b
2 1
3
