第十四章 动载荷 交变应力的概念实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限，胡克定律仍然适用。
构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。
§ 14-1 概述静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时，构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。
在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。
§ 14-2 构件作等加速直线运动或匀速转动时的应力计算一、构件作等加速度直线运动时的应力计算以矿井升降机以等加速度 a起吊一吊笼为例。
吊笼重量为 Q；钢索横截面面积为 A，单位体积的重量为 。求吊索任意截面上的应力。
CL14TU1
Nst Nd
Ax
A x
A x
g
a?
Q
Q
g
a?
Q
N A x A x
g
a Q Q
g
ad
动荷系数
Q A x Q A x a
g
Q A x
a
g
1
N
a
gst
1
引入记号 K a
gd
1
则 N K Nd d st,d d stK
二、构件作等速转动时的应力计算薄壁圆环，平均直径为 D，横截面面积为
A，材料单位体积的重量为 γ,以匀角速度 ω
转动。
CL14TU2
q A
g
D A D
gd
2 2
2 2
N Nd d
N q Dd d? 2? d
dN
A A D
g
2 2
4
D
g
2 2
4
v
g
2
强度条件,?
d
v
g
2
[ ]
从上式可以看出，环内应力仅与 γ 和 v有关，而与 A无关。所以，要保证圆环的强度，
应限制圆环的速度。增加截面面积 A，并不能改善圆环的强度。
§ 14-3 冲击应力计算
CL14TU5
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，
其加速度 a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。
CL14TU6
现考虑重为 Q的重物从距弹簧顶端为 h 处自由下落，在计算时作如下假设,
1,冲击物视为刚体，不考虑其变形 ;
2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量，可忽略不计 ;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动 ;
4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与位能的转化。 CL14TU6
d
h
重物 Q从高度为 h 处自由落下，冲击到弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物
Q的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最大值 Δd，与之相应的冲击载荷即为 Pd。
T V U d
根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动能 T和位能 V，应全部转换为弹簧的变形能
Ud,即
T? 0 V Q h d( )?
U Pd d d? 1
2
Q h Pd d d( )1
2
P
Q
d d
st
P Qd d
st
Q h Qd d
st
d( )
1
2
d st d sth2 2 2 0
d
st st st
st
st
h h
2 4 8
2
1 1
22
d st
st
d st
h
K
1 1
2
其中 K
h
d
st
1 1
2
动荷系数因为 所以
P
Q
K P K Q
K
d d
st
d d d
d d st
当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时
K
h
d
st
1 1
2
由此可见,突加载荷的动荷系数是 2，这时所引起的应力和变形都是静荷应力和变形的 2倍。
2
若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v，
则
h
v
g
2
2
K
h
d
st
1 1
2
1 1
2v
g st?
若已知冲击物自高度 h 处以初速度 下落,则
v v gh2 0 2 2
K
v
g
d
st
1 1
2
v0
1 1
20 2v gh
g st?
当构件受水平方向冲击时
T Q
g
v? 1
2
2
V? 0
U Pd d d? 1
2
1
2 2
2 2Q
g
v Q
st
d CL14TU7
1
2
d
st
dQ?
Q
st
d2
2
P
Q
d d
st
d
st
st
v
g
2
动荷系数 K
v
g
d
st
2
例：容重为 γ，杆长为ｌ，横截面面积为
Ａ的等直杆，以匀加速度ａ上升，作杆的轴力图，并求杆内最大动应力。
Ax
Nd
CL14TU10 A x
g
a
N A l
a
gd m a x
1
N
A l
a
g
1?
解：
N x A x
A x
g
a A x
a
g
d ( )
1
d d
N
A
l
a
gm a x
m a x
1
例：图示均质杆 AB，长为ｌ，重量为 Q，
以等角速度 ω绕铅垂轴在水平面内旋转，求
AB杆内的最大轴力，并指明其作用位置。
CL14TU11
解：
d
N x
d
l g
Q
Q
l g
l x
x
l
( )?
2
2
2 2
2
N N x
Q
l g
l
Q l
g
N AB A
xmax
max
( )
0
2
2
2
2 2
作用在 杆的根部 截面例：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物 Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
CL14TU12
解：
st Q a
E I
4
3
3
K
h
E I h
Q a
d
st
1 1
2
1 1
3
2
3
d d stK
E I h
Q a
Q a
Wma x ma x
1 1 3
2 3
例：重量为 Q的物体以水平速度ｖ撞在等截面刚架的端点 C，刚架的 EI已知，试求动荷系数。
CL14TU13
解：
st Q a
E I
4
3
3
K
v
g
E I v
g Q a
d
st
2
2
3
3
4
例：重物 Q自由落下冲击在 AB梁的 B点处，
求 B点的挠度。
CL14TU14
解：
st Q l
E I
Q l
E bh
3 3
33
4
K
h E b h
Q l
d
st
1 1
2
1 1
2
4
3?
v K
E b h
Q l
Q l
E b h
B d d st
1 1 2
44
3
3
3
例：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。
弹簧在 1kN的静载荷作用下缩短 0.625mm。钢杆直径
d=40mm,l =4m，许用应力
[σ]=120MPa,E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下
，求其许可高度 h。
CL14TU15
解：
st Q lEA15 0 625 10 9 62 103 3.,m
K hd
st
1 1 2
st
Q
A d
15 10
4
12
3
2
M P a
d d st
st
K
h
h
1 1
2
12 120
0 385
[ ]
,m = 3 8 5 m m
构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。
§ 14-1 概述静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时，构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。
在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。
§ 14-2 构件作等加速直线运动或匀速转动时的应力计算一、构件作等加速度直线运动时的应力计算以矿井升降机以等加速度 a起吊一吊笼为例。
吊笼重量为 Q；钢索横截面面积为 A，单位体积的重量为 。求吊索任意截面上的应力。
CL14TU1
Nst Nd
Ax
A x
A x
g
a?
Q
Q
g
a?
Q
N A x A x
g
a Q Q
g
ad
动荷系数
Q A x Q A x a
g
Q A x
a
g
1
N
a
gst
1
引入记号 K a
gd
1
则 N K Nd d st,d d stK
二、构件作等速转动时的应力计算薄壁圆环，平均直径为 D，横截面面积为
A，材料单位体积的重量为 γ,以匀角速度 ω
转动。
CL14TU2
q A
g
D A D
gd
2 2
2 2
N Nd d
N q Dd d? 2? d
dN
A A D
g
2 2
4
D
g
2 2
4
v
g
2
强度条件,?
d
v
g
2
[ ]
从上式可以看出，环内应力仅与 γ 和 v有关，而与 A无关。所以，要保证圆环的强度，
应限制圆环的速度。增加截面面积 A，并不能改善圆环的强度。
§ 14-3 冲击应力计算
CL14TU5
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，
其加速度 a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。
CL14TU6
现考虑重为 Q的重物从距弹簧顶端为 h 处自由下落，在计算时作如下假设,
1,冲击物视为刚体，不考虑其变形 ;
2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量，可忽略不计 ;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动 ;
4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与位能的转化。 CL14TU6
d
h
重物 Q从高度为 h 处自由落下，冲击到弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物
Q的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最大值 Δd，与之相应的冲击载荷即为 Pd。
T V U d
根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动能 T和位能 V，应全部转换为弹簧的变形能
Ud,即
T? 0 V Q h d( )?
U Pd d d? 1
2
Q h Pd d d( )1
2
P
Q
d d
st
P Qd d
st
Q h Qd d
st
d( )
1
2
d st d sth2 2 2 0
d
st st st
st
st
h h
2 4 8
2
1 1
22
d st
st
d st
h
K
1 1
2
其中 K
h
d
st
1 1
2
动荷系数因为 所以
P
Q
K P K Q
K
d d
st
d d d
d d st
当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时
K
h
d
st
1 1
2
由此可见,突加载荷的动荷系数是 2，这时所引起的应力和变形都是静荷应力和变形的 2倍。
2
若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v，
则
h
v
g
2
2
K
h
d
st
1 1
2
1 1
2v
g st?
若已知冲击物自高度 h 处以初速度 下落,则
v v gh2 0 2 2
K
v
g
d
st
1 1
2
v0
1 1
20 2v gh
g st?
当构件受水平方向冲击时
T Q
g
v? 1
2
2
V? 0
U Pd d d? 1
2
1
2 2
2 2Q
g
v Q
st
d CL14TU7
1
2
d
st
dQ?
Q
st
d2
2
P
Q
d d
st
d
st
st
v
g
2
动荷系数 K
v
g
d
st
2
例：容重为 γ，杆长为ｌ，横截面面积为
Ａ的等直杆，以匀加速度ａ上升，作杆的轴力图，并求杆内最大动应力。
Ax
Nd
CL14TU10 A x
g
a
N A l
a
gd m a x
1
N
A l
a
g
1?
解：
N x A x
A x
g
a A x
a
g
d ( )
1
d d
N
A
l
a
gm a x
m a x
1
例：图示均质杆 AB，长为ｌ，重量为 Q，
以等角速度 ω绕铅垂轴在水平面内旋转，求
AB杆内的最大轴力，并指明其作用位置。
CL14TU11
解：
d
N x
d
l g
Q
Q
l g
l x
x
l
( )?
2
2
2 2
2
N N x
Q
l g
l
Q l
g
N AB A
xmax
max
( )
0
2
2
2
2 2
作用在 杆的根部 截面例：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物 Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
CL14TU12
解：
st Q a
E I
4
3
3
K
h
E I h
Q a
d
st
1 1
2
1 1
3
2
3
d d stK
E I h
Q a
Q a
Wma x ma x
1 1 3
2 3
例：重量为 Q的物体以水平速度ｖ撞在等截面刚架的端点 C，刚架的 EI已知，试求动荷系数。
CL14TU13
解：
st Q a
E I
4
3
3
K
v
g
E I v
g Q a
d
st
2
2
3
3
4
例：重物 Q自由落下冲击在 AB梁的 B点处，
求 B点的挠度。
CL14TU14
解：
st Q l
E I
Q l
E bh
3 3
33
4
K
h E b h
Q l
d
st
1 1
2
1 1
2
4
3?
v K
E b h
Q l
Q l
E b h
B d d st
1 1 2
44
3
3
3
例：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。
弹簧在 1kN的静载荷作用下缩短 0.625mm。钢杆直径
d=40mm,l =4m，许用应力
[σ]=120MPa,E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下
，求其许可高度 h。
CL14TU15
解：
st Q lEA15 0 625 10 9 62 103 3.,m
K hd
st
1 1 2
st
Q
A d
15 10
4
12
3
2
M P a
d d st
st
K
h
h
1 1
2
12 120
0 385
[ ]
,m = 3 8 5 m m
