§ 12-4 图形互乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：

M x M x
E I
x
l
( ) ( )0
d
M x M x x
l
( ) ( )0 d?
对于等直杆,EI=const，可以提到积分号外，
故只需计算积分
CL12TU20
直杆的 M0(x)图必定是直线或折线。M x x0 ( ) tg?
M x M x x
x M x x
l
l
( ) ( )
( )
0
d
tg d

tg x C
M C0

M x M x
E I
x
M
E I
l
C
( ) ( )
0
0
d
顶点顶点
2
3
l h 1
3
l h
二次抛物线 CL12TU21
例：试用图乘法求 所 示悬臂梁自由端 B的挠度和转角。
CL12TU31
解：
v
M x M x
E I
x
M
E I
B
l
C
( ) ( )
0
0
d
1
2
2
3
2
E I
Pl l
Pl
E I
3
3
B
E I
Pl

1
2
1
2
Pl
E I
2
2
顺时针例：试用图乘法求 所 示简支梁的最大挠度和最大转角。
CL12TU32
解：
v
E I
l ql l
max
2 2
3 2 8
5
32
2
5
384
4ql
E I
ql 2 8/
l/4
m a x
1 2
3 8
1
2
2
E I
l
ql
ql
E I
3
24
ql 2 8/
例：试用图乘法求 所 示简支梁的最大挠度和最大转角。
CL12TU33
解：
v
E I
l Pl l
m a x


2 1
2 2 4 6
Pl
E I
3
48
Pl / 4
l/4
m ax


1 1
2 4
1
2E I
l Pl
Pl
E I
2
16
Pl / 4
例：试用图乘法求 所 示简支梁 C截面的挠度和 A,B截面的转角。
CL12TU34
解：
v
E I
l m
C
1
8 2
2
m l
E I
2
16
l/4
A
E I
m l



1
2
1
3
m l
E I6
顺时针
B
E I
m l



1
2
2
3
m l
E I3
逆时针例：试用图乘法求 所 示悬臂梁自由端 B的挠度和转角。
CL12TU35
解：
v
E I
l ql l
B
1
3 2
3
4
2
ql
E I
4
8
ql2
2
B
E I
l ql

1
3 2
1
2
ql
E I
3
6
顺时针
ql2
2
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点 C处的铅垂位移。
CL12TU36
解：
v
E I
l
mC
1
8
2
ml
E I
2
8
例：图示梁，抗弯刚度为 EI，承受均布载荷 q及集中力 X作用。用图乘法求：
(1)集中力作用端挠度为零时的 X值；
(2)集中力作用端转角为零时的 X值。
CL12TU37
解,(1)
v E I X a l a Xa a ql aC

1 2 2 3 2 2 3 12 2
2 3
0
ql 2 8/
X qla l a
3
8 ( )
(2)
C E I X a l Xa ql

1 2 23 2 1 12 12
2 3
0
ql 2 8/
X qla l a
3
4 2 3( )
例：图示梁的抗弯刚度为 EI，试求 D点的铅垂位移。
CL12TU38
解：
v
E I
Pa a
C
3
2
2
3
2
Pa
E I
3
例：图示开口刚架,EI=const。求 A,B两截面的相对角位移 θ AB 和沿 P力作用线方向的相对线位移 ΔAB 。
CL12TU39
解：
AB Pa
E I
2 1
8
1
3
2 1
2
1
2
3
2
3
3Pa
E I
AB? 0
例：用图乘法求图示阶梯状梁 A截面的转角及 E截面的挠度。
CL12TU40
解：
A
Pa
E I
Pa
E I


2
2
1
2
5
6
1
2
1
6
2
2
1
2
Pa
E I
2
v
Pa
E I
Pa
E I
E

3
3
1
2
1
3
2
2
3
2
1
13
12
3Pa
E I
例：图示刚架,EI=const。求 A截面的水平位移 ΔAH 和转角 θ A。
CL12TU41
解：
qa
2
qa/ 2
qa
qa2
2
AH qaE I qaE I
4 41
4
2
3
1
3
5
8
3
8