§ 12-5 互等定理载荷作用点位移发生点
CL12TU50
i j
先作用,后作用,外力所作的功：P P1 2
U P P P1
2
1
21 11 2 22 1 12
先作用,后作用,外力所作的功：P P2 1
U P P P1
2
1
22 22 1 11 2 21
功的互等定理,
P P1 12 2 21
位移互等定理,
若,则得P P1 2?
12 21?
例：求图示简支梁 C截面的挠度。
CL12TU34
vC1
B2
解：由功的互等定理 P v mC B1 2?
得,P v m
P l
E IC
1
2
16
由此得,v
m l
E IC 1
2
16
例：求图示悬臂梁中点 C处的铅垂位移 ΔC。
CL12TU36
vC1?B2
解：由功的互等定理 P v mC B1 2?
得,P v m
P
l
E I
C
1
2
2
2
由此得,? C Cv
m l
E I
1
2
8
例：长为 l,直径为 d 的圆杆受一对横向压力
P 作用，求此杆长度的伸长量。已知 E和 μ 。
CL12TU51
解：由位移互等定理知,①杆的伸长量等于
②杆直径的减小量
l d d① ② d
P
AE
d?
4?
P
d E
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下,梁的中点挠度 。 求梁在中点集中力 P作用下 (见图 ),梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积?。
f
q l
E I
5
384
4
CL12TU52
q P
q l
E I
5
384
4
5
384
4P l
E I
§ 12-6 简单静不定系统本章应用 能量法 求解静不定系统。
应用能量法求解静不定系统，特别是对桁架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。
求解静不定问题的关键是建立 补充方程静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为 外力静不定 系统和 内力静不定 系统。
一、外力静不定系统由于外部的多余约束而构成的静不定系统,
一般称为外力静不定系统。
求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或 相当系统 。
例：作图示梁的弯矩图 。
CL12TU53
解：变形协调条件为
A? 0
即 M l Pl
A
2
2
3 8
1
2
0
2
解得
M PlA? 3
16
M PlA? 3
16
5
16
P
5 32Pl /
3
16
Pl
另解：变形协调条件为
v B? 0
即 R l l Pl l
B
2 2
2
2
3 8
5
6
0
解得
R PB? 5
16
M PlA? 3
16
5
16
P
5 32Pl /
3
16
Pl
例：作图示梁的弯矩图 。
CL12TU54
解：变形协调条件为
v A? 0
即
2 2 23 2
2
2R l l Pl lA
解得
R PA? 43
32
Pl l Pl l
2 2
2
2
3 8 2
0
R PA? 43
32
5
64
Pl
R PC? 5
32
11
32
Pl
Pl
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU56
解：变形协调条件为
BV? 0即
R a a R a PaB
B
2
3
3
2
2
3 2 0
解得
R PB? 3
8
3
8
P
3
8
Pa
5
8
Pa
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU57
解：变形协调条件为
BV? 0即
R a a R a qaB
B
2
3
4
2
2
3 6 0
解得
R qaB?
8
qa
8
qa2
8
3
8
2qa
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU58
解：变形协调条件为?
BH? 0
即
R a a R a a Pa aB B2
2 22
3 2
2
3 2 2 0
解之得
R PB? / 4
Pa
4
3
8
Pa
M图二、内力静不定系统有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，
这类结构称为内力静不定系统。
求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。
例：求 A,B两点间的相对线位移 ΔAB。
CL12TU60
由对称性知,
N
P
0
2
Q 0 0?
变形协调条件,
D? 0
M M P R( ) ( c o s )0 2 1
M 0 1( )
D
s
MM
E I
s
0
d?
M
P
R
E I
R
0
0
2
2
1( cos )?
d
R
E I M
P R
D
2 2 2 1
0
由此得 M PRD12 1?
M PR P R( ) ( c os )12 1 2 1
PR c o s2 1
M R0 1( ) ( c os )
D
M M
E I
R
( ) ( )
0
0
2
d
PR
E I
3
8
1?
AB D PR
E I
2
4
23?
例：求图示圆环的最大弯矩 Mmax。 EI为常量。
CL12TU61
由对称性知：
A,B截面上剪力为零
M M
N N
P
A B
A B
3
变形协调条件,
A? 0
M M
PR
M
MM
E I
s
M
PR
E I
R
R
E I
M
PR
M PR PR
A
A
s
A
A
A
( ) ( c o s )
( )
( c o s )
.
3
1
1
3
1
3 3 3
3
2
0
3
3
3
2
0 100
0
0
0
3
d d
由弯矩方程：
知 最大弯矩发生在 即 截面 其值为
M M
PR
PR
PR
PR
C
M PR PR PR
A
( ) ( c os )
( c os )
c os
,,,
c os
.
m a x
3
1
3
3
3
2 3
1
3
3
2
0 60
60
3
3
2
3
2
3
6
0 189
60
对称性的利用：
对称结构,若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。 CL12TU65
正对称载荷,绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。
反对称载荷,绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。
对称结构在正对称载荷作用下：
结构的内力及变形是对称的位于对称轴上的截面 C的内力 QC=0
对称结构在反对称载荷作用下：
结构的内力及变形是反对称的位于对称轴上的截面 C的内力 NC=0,MC=0
例：图示小曲率杆在力偶 m与均匀分布剪流 q作用下处于平衡状态，已知 q,R与 EI=常数，试求 A截面的剪力、弯矩和轴力。
CL12TU66
Q qR M NA A A,,0 0
例：平面框架受切向分布载荷 q作用，求 A
截面的剪力、弯矩和轴力。
CL12TU67
Q qb M NA A A,,0 0
例：图示刚架 EI为常量，画出刚架的弯矩图。
CL12TU68
解：变形协调条件为
EV? 0
即,
Q a a Q a a Pa aE E2 2 2
8 3 2 2 2 2 0
解之得
Q PE? 6
7
作业 P234
17（ a,b)
19
CL12TU50
i j
先作用,后作用,外力所作的功：P P1 2
U P P P1
2
1
21 11 2 22 1 12
先作用,后作用,外力所作的功：P P2 1
U P P P1
2
1
22 22 1 11 2 21
功的互等定理,
P P1 12 2 21
位移互等定理,
若,则得P P1 2?
12 21?
例：求图示简支梁 C截面的挠度。
CL12TU34
vC1
B2
解：由功的互等定理 P v mC B1 2?
得,P v m
P l
E IC
1
2
16
由此得,v
m l
E IC 1
2
16
例：求图示悬臂梁中点 C处的铅垂位移 ΔC。
CL12TU36
vC1?B2
解：由功的互等定理 P v mC B1 2?
得,P v m
P
l
E I
C
1
2
2
2
由此得,? C Cv
m l
E I
1
2
8
例：长为 l,直径为 d 的圆杆受一对横向压力
P 作用，求此杆长度的伸长量。已知 E和 μ 。
CL12TU51
解：由位移互等定理知,①杆的伸长量等于
②杆直径的减小量
l d d① ② d
P
AE
d?
4?
P
d E
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下,梁的中点挠度 。 求梁在中点集中力 P作用下 (见图 ),梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积?。
f
q l
E I
5
384
4
CL12TU52
q P
q l
E I
5
384
4
5
384
4P l
E I
§ 12-6 简单静不定系统本章应用 能量法 求解静不定系统。
应用能量法求解静不定系统，特别是对桁架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。
求解静不定问题的关键是建立 补充方程静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为 外力静不定 系统和 内力静不定 系统。
一、外力静不定系统由于外部的多余约束而构成的静不定系统,
一般称为外力静不定系统。
求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或 相当系统 。
例：作图示梁的弯矩图 。
CL12TU53
解：变形协调条件为
A? 0
即 M l Pl
A
2
2
3 8
1
2
0
2
解得
M PlA? 3
16
M PlA? 3
16
5
16
P
5 32Pl /
3
16
Pl
另解：变形协调条件为
v B? 0
即 R l l Pl l
B
2 2
2
2
3 8
5
6
0
解得
R PB? 5
16
M PlA? 3
16
5
16
P
5 32Pl /
3
16
Pl
例：作图示梁的弯矩图 。
CL12TU54
解：变形协调条件为
v A? 0
即
2 2 23 2
2
2R l l Pl lA
解得
R PA? 43
32
Pl l Pl l
2 2
2
2
3 8 2
0
R PA? 43
32
5
64
Pl
R PC? 5
32
11
32
Pl
Pl
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU56
解：变形协调条件为
BV? 0即
R a a R a PaB
B
2
3
3
2
2
3 2 0
解得
R PB? 3
8
3
8
P
3
8
Pa
5
8
Pa
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU57
解：变形协调条件为
BV? 0即
R a a R a qaB
B
2
3
4
2
2
3 6 0
解得
R qaB?
8
qa
8
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8
3
8
2qa
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU58
解：变形协调条件为?
BH? 0
即
R a a R a a Pa aB B2
2 22
3 2
2
3 2 2 0
解之得
R PB? / 4
Pa
4
3
8
Pa
M图二、内力静不定系统有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，
这类结构称为内力静不定系统。
求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。
例：求 A,B两点间的相对线位移 ΔAB。
CL12TU60
由对称性知,
N
P
0
2
Q 0 0?
变形协调条件,
D? 0
M M P R( ) ( c o s )0 2 1
M 0 1( )
D
s
MM
E I
s
0
d?
M
P
R
E I
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0
2
2
1( cos )?
d
R
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2 2 2 1
0
由此得 M PRD12 1?
M PR P R( ) ( c os )12 1 2 1
PR c o s2 1
M R0 1( ) ( c os )
D
M M
E I
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0
0
2
d
PR
E I
3
8
1?
AB D PR
E I
2
4
23?
例：求图示圆环的最大弯矩 Mmax。 EI为常量。
CL12TU61
由对称性知：
A,B截面上剪力为零
M M
N N
P
A B
A B
3
变形协调条件,
A? 0
M M
PR
M
MM
E I
s
M
PR
E I
R
R
E I
M
PR
M PR PR
A
A
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A
A
A
( ) ( c o s )
( )
( c o s )
.
3
1
1
3
1
3 3 3
3
2
0
3
3
3
2
0 100
0
0
0
3
d d
由弯矩方程：
知 最大弯矩发生在 即 截面 其值为
M M
PR
PR
PR
PR
C
M PR PR PR
A
( ) ( c os )
( c os )
c os
,,,
c os
.
m a x
3
1
3
3
3
2 3
1
3
3
2
0 60
60
3
3
2
3
2
3
6
0 189
60
对称性的利用：
对称结构,若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。 CL12TU65
正对称载荷,绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。
反对称载荷,绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。
对称结构在正对称载荷作用下：
结构的内力及变形是对称的位于对称轴上的截面 C的内力 QC=0
对称结构在反对称载荷作用下：
结构的内力及变形是反对称的位于对称轴上的截面 C的内力 NC=0,MC=0
例：图示小曲率杆在力偶 m与均匀分布剪流 q作用下处于平衡状态，已知 q,R与 EI=常数，试求 A截面的剪力、弯矩和轴力。
CL12TU66
Q qR M NA A A,,0 0
例：平面框架受切向分布载荷 q作用，求 A
截面的剪力、弯矩和轴力。
CL12TU67
Q qb M NA A A,,0 0
例：图示刚架 EI为常量，画出刚架的弯矩图。
CL12TU68
解：变形协调条件为
EV? 0
即,
Q a a Q a a Pa aE E2 2 2
8 3 2 2 2 2 0
解之得
Q PE? 6
7
作业 P234
17（ a,b)
19
