4-6 戴维南定理一、定理陈述对任意含源单口网络 N，都可以用一个电压源与一个电阻相串联来等效。
_
++
_ _
+
N
R0 i
uoc uu
即 i 等效电压源的电压等于该网络的 开路电压 uoc，
这个电阻等于从此单口网络两端看进去，当网络内部所有 独立源 均置零 (No)时的等效电阻 R0
_
+
N uoc
i =0
R0 戴维南等效电阻也称为输出电阻
No
二、证明
oco
"' uiRuuu
在单口外加电流源 i,用叠加定理计算端口电压
1、电流源单独作用 (单口内独立电源全部置零 )
产生的电压 u’=Ro i [图 (b)]
2、电流源置零 (i=0)，即单口网络开路时，
产生的电压 u〃 =uoc [图 (c)]。
例 1、求图 (a)所示单口网络的戴维南等效电路。
解：在端口标明开路电压 uoc参考方向，注意到 i=0，
V3A2)2(V1ocu
将单口网络内电压源短路，电流源开路，得图 (b)
6321oR
i
例 2,求图 (a)所示单口网络的戴维南等效电路。
解,标出开路电压 uoc的参考方向，
V)6 0 e( 3 0
A)e4()5(V10A)e4A2()10(oc
t
ttu
15510oR
例 3、求图 (a)单口网络的戴维南等效电路。
解,V12 V18
612
12
ocu
8
8)3(
126
)126(
o
i
u
R
iiiu
u
求 Ro：将电压源短路，保留受控源,在 ab端口外加电压源 u，计算端口电压 u的表达式，求看进去的等效电阻 Ro 。
解：一、选择分解点二、利用戴维南定理求最简等效电路
1,求 Uoc 2,求 Ro
三、用最简等效电路替代后求解
+ +
+
_ _
_
例 4 用戴维南定理求 I 。
6V 12V
4V
3? 6?
1?
1?
b
a
I
例 5：证明戴维南等效电阻 R0:
sc
oc
i
uR?
0
若含源单口网络的开路电压为 Uoc，短路电流为 Isc，则戴维南等效电路的串联电阻可用上式来求。
作业,P227,4-11
P229,4-14
4 - 7 诺顿定理一、定理陈述对任意含源单口网络 N，可以用一个电流源与一个电阻相并联来等效。 这个电流源等于该网络的 短路电流 isc，这个电阻等于从这个单口网络的端钮看进去，
当其内部所有 独立源 均置零时的等效电阻 Ro。
二、证明（略）
例 1,求图 (a)单口网络的诺顿等效电路。
解,1）求 isc； 将单口网络从外部短路，并标明短路电流 isc的参考方向，如图 (a)所示。
2S32sc iiii
321
321
o
)(
RRR
RRRR
2）求 R0; 3）得到 Norton等效电路。
R0
21
1S1
RR
iR?
3
S
R
u 2Si
例 2,用诺顿定理求 I 。
6V 12V
3? 6?
1?
1?
I+ +
+
_ _
_
b
a
解：一、选择分解点二、求最简等效电路 1,求 Isc 2,求 Ro
三、用等效电路替代后求解
4V
作业,P231,4-18
P254,50
本节介绍戴维南定理的一个重要应用。
4? 8 最大功率传递定理问题：电阻负载如何从电路获得最大功率？
这类问题可以抽象为图 (a)所示的电路模型来分析，网络 N 表示含源线性单口网络，供给负载能量，它可用戴维南等效电路来代替，如图 (b)。
负载 RL的吸收功率为：
2
Lo
2
ocL2
L )( RR
uRiRp
欲求 p 的最大值，应满足 dp/dRL=0，
即
0)( )()( )(2)(d d 3
Lo
2
ocLo
4
Lo
LLo
2
Lo
2
oc
L
RR uRRRR RRRRRuR p
求得 p为极大值条件是：
oL RR?
08|dd
o
2
oc
2
L
2
oL
RuR p RR
线性单口网络传递给可变负载 RL功率最大的条件是,负载电阻与单口网络的输出电阻相等,
最大功率传递定理陈述：
称为最大功率 匹配 。
o
2
oc
m a x 4 R
up?
最大功率为
2
Lo
2
ocL2
L )( RR
uRiRp
此时,10v电压源产生的功率传递给负载的百分数为多少？
例,电路如图 (a)所示。
试求,(l) RL为何值时获得最大功率；
(2) RL获得的最大功率。
解,(l)分解电路，求 N1的戴维南等效电路参数为：
122 22 V5V1022 2 ooc Ru
(2)当 RL=Ro=1?时可获得最大功率。 W25.6W14 254
o
2
oc
m a x R
up
注意：
单口网络和它的等效电路就其 内部功率而言是不等效的。
等效电阻 R0算得的功率一般并不等于网络内部消耗的功率
所以，当负载得到最大功率时，其功率传递效率未必是 50%
作业,P256,54
4? 9 T—? 变换 (Y— △ 变换 )（不考）
一、引例
+
_
50?
30?20?
8? 3?
15?
30V
I ①
② ③
④
①
② ③ ③②
①
_
+
8?
①
④
② ③
I
R2
R1
R3
3?
30V
15?
u12
u13 u23
i1 i2
i3
二、无源三端网络的等效
+
++
_
__
① ②
③
① ②
③
i1 i2
u1 u2
+ +
_ _
如上图所示，
当 u13=u1,u23=u2时，上述两个三端网络等效。
三,T 形电阻和? 形电阻的等效（ T—? 变换）
R1 R2
R3
i1 i2
+
_
u1 u2
_
+① ②
③
T形联接，又称为星形（ Y）联接
形又称为三角形（ Δ ）联接
+
_
i1 i2
u1
+
_
u2
R12
R13 R
23
③
I1 I2I3
① ②
R1 R2
R3
i1 i2
+
_
u1 u2
_
+① ②
③
)(
)(
213222
213111
iiRiRu
iiRiRu
232132
231311
iRRiRu
iRiRRu
)(
)(
整理得到：
2231223122232
1231131121311
312312
223131
12 )(
)(
iRiRiiRu
iRiRiiRu
RRR
iRiRi
2
312312
311223
1
312312
3123
2
2
312312
3123
1
312312
231231
1
i
RRR
RRR
i
RRR
RR
u
i
RRR
RR
i
RRR
RRR
u
)(
)(得：
四,? — T 变换
① ②
③
R12
R13 R23
① ②
③
R1 R2
R3
312312
311223
32
312312
3123
3
312312
231231
31
RRR
RRR
RR
RRR
RR
R
RRR
RRR
RR
)(
)(
由此解得
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
— T 变换 公式为形三电阻之和端两电阻之乘积接于
iR
i
当 R12= R23= R31= RΠ时，有
RR 3
1
① ②
③
R12
R13 R23
① ②
③
R1 R2
R3
① ②
③
R12
R13 R23
五,T—? 变换
① ②
③
R1 R2
R3
312312
311223
32
312312
3123
3
312312
231231
31
RRR
RRR
RR
RRR
RR
R
RRR
RRR
RR
)(
)(
由此解得
2
133221
31
1
133221
23
3
133221
12
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
第三端电阻形电阻两两乘积之和
mnR
T —?变换 公式
_
+
+
_
50?
30?20?
8? 3?
15?
30V
I ①
② ③
④
①
② ③
④
I
8? 3?
六、例题：求 I 。
30V
15?
6?
10? 15?
本章要点一、分解的方法和单口网络
1、完整的分解方法；
2、分解点的选择；
3、单口 VAR的求取；
1）外接元件法；
2）戴维南定理，诺顿定理法；
3）等效规律化简法；
4、置换定理的运用；
二、等效和化简三、最大功率传递定理四,T 变换例 1 求图 (a)所示单口的诺顿等效电路。
解：求 isc,将单口网络短路,并设 isc的参考方向 。
A25 V101i 得 A42 1sc ii
求 Ro,在端口外加电压源 u,图 (b) i1= 0
02 1 ii＝ 得
o
o
1
GR
可知，该单口等效为一个 4A电流源，图 (c)。 该单口求不出确定的 uoc，它不存在戴维南等效电路 。
例 2 已知 r =2?，试求该单口的戴维南等效电路。
解：标出 uoc的参考方向。先求受控源控制变量 i1
A2
5
V10
1i
V4A221oc riu
将 10V电压源短路,保留受控源,得图 (b) 。
由于 5?电阻被短路,其电流 i1=0,u=(2?)i1=0
00o iiuR
该单口无诺顿等效电路。
说明：
并非任何含源线性电阻单口网络都能找到戴维南等效电路或诺顿等效电路 。
当 R0=0时,没有 诺顿等效电路；
当 R0=,没有 戴维南等效电路 。?
例 3,求图 (a)所示单口网络向外传输的最大功率。
解：求 uoc，按图 (b)网孔电流参考方向，
列网孔方程：
121
21
31283
12310
iii
ii
V6)4(
A5.1
2oc
2
iu
i
求 isc,按图 (c)所示网孔电流参考方向，
列网孔方程：
1sc1
sc1
31243
12310
iii
ii
解得 isc=3A
236
sc
oc
o i
uR
W5.4W5.04 34 W 5.4W24 64
2
o
2
c
m a x
2
o
2
oc
m a x G
ip
R
up s或思考：本题还有没有其它解法？
5?0 5,?5?
2?
3? 2?
6 V
10 V
I
2?
4 V
2 A
例 4
试用节点分析法求 I。
本 章 小 结
1、掌握 分解方法 的概念、步骤，会运用分解方法来解题；
2、掌握 单口网络 VAR的各种求法,1）外接元件法； 2）利用戴维南或诺顿定理； 3）利用等效规律化简单口网络。
3、树立 等效 的概念，牢固掌握无源网络、有源网络、实际电源、理想电源的等效电路。
4、掌握 置换、戴维南、诺顿、最大功率传递定理 。
5,熟练应用等效化简法、戴维南定理分析电路 。
6、学会含受控源单口网络的等效化简（难点）。
7、了解三端网络 T形和?形的 等效 变换。
作业,P251,41
P255,52,53
章节 练习题 习题四 周
4-2 1,4 7
4-3 （ 4-2） 6 7
4-4 （ 4-4） 8 7
4-5 18 7
4-6 4-11,4-14 8
4-7 4-18 50 8
4-8 54 8
4-9 57 8
31 8
53,41,52 练习
_
++
_ _
+
N
R0 i
uoc uu
即 i 等效电压源的电压等于该网络的 开路电压 uoc，
这个电阻等于从此单口网络两端看进去，当网络内部所有 独立源 均置零 (No)时的等效电阻 R0
_
+
N uoc
i =0
R0 戴维南等效电阻也称为输出电阻
No
二、证明
oco
"' uiRuuu
在单口外加电流源 i,用叠加定理计算端口电压
1、电流源单独作用 (单口内独立电源全部置零 )
产生的电压 u’=Ro i [图 (b)]
2、电流源置零 (i=0)，即单口网络开路时，
产生的电压 u〃 =uoc [图 (c)]。
例 1、求图 (a)所示单口网络的戴维南等效电路。
解：在端口标明开路电压 uoc参考方向，注意到 i=0，
V3A2)2(V1ocu
将单口网络内电压源短路，电流源开路，得图 (b)
6321oR
i
例 2,求图 (a)所示单口网络的戴维南等效电路。
解,标出开路电压 uoc的参考方向，
V)6 0 e( 3 0
A)e4()5(V10A)e4A2()10(oc
t
ttu
15510oR
例 3、求图 (a)单口网络的戴维南等效电路。
解,V12 V18
612
12
ocu
8
8)3(
126
)126(
o
i
u
R
iiiu
u
求 Ro：将电压源短路，保留受控源,在 ab端口外加电压源 u，计算端口电压 u的表达式，求看进去的等效电阻 Ro 。
解：一、选择分解点二、利用戴维南定理求最简等效电路
1,求 Uoc 2,求 Ro
三、用最简等效电路替代后求解
+ +
+
_ _
_
例 4 用戴维南定理求 I 。
6V 12V
4V
3? 6?
1?
1?
b
a
I
例 5：证明戴维南等效电阻 R0:
sc
oc
i
uR?
0
若含源单口网络的开路电压为 Uoc，短路电流为 Isc，则戴维南等效电路的串联电阻可用上式来求。
作业,P227,4-11
P229,4-14
4 - 7 诺顿定理一、定理陈述对任意含源单口网络 N，可以用一个电流源与一个电阻相并联来等效。 这个电流源等于该网络的 短路电流 isc，这个电阻等于从这个单口网络的端钮看进去，
当其内部所有 独立源 均置零时的等效电阻 Ro。
二、证明（略）
例 1,求图 (a)单口网络的诺顿等效电路。
解,1）求 isc； 将单口网络从外部短路，并标明短路电流 isc的参考方向，如图 (a)所示。
2S32sc iiii
321
321
o
)(
RRR
RRRR
2）求 R0; 3）得到 Norton等效电路。
R0
21
1S1
RR
iR?
3
S
R
u 2Si
例 2,用诺顿定理求 I 。
6V 12V
3? 6?
1?
1?
I+ +
+
_ _
_
b
a
解：一、选择分解点二、求最简等效电路 1,求 Isc 2,求 Ro
三、用等效电路替代后求解
4V
作业,P231,4-18
P254,50
本节介绍戴维南定理的一个重要应用。
4? 8 最大功率传递定理问题：电阻负载如何从电路获得最大功率？
这类问题可以抽象为图 (a)所示的电路模型来分析，网络 N 表示含源线性单口网络，供给负载能量，它可用戴维南等效电路来代替，如图 (b)。
负载 RL的吸收功率为：
2
Lo
2
ocL2
L )( RR
uRiRp
欲求 p 的最大值，应满足 dp/dRL=0，
即
0)( )()( )(2)(d d 3
Lo
2
ocLo
4
Lo
LLo
2
Lo
2
oc
L
RR uRRRR RRRRRuR p
求得 p为极大值条件是：
oL RR?
08|dd
o
2
oc
2
L
2
oL
RuR p RR
线性单口网络传递给可变负载 RL功率最大的条件是,负载电阻与单口网络的输出电阻相等,
最大功率传递定理陈述：
称为最大功率 匹配 。
o
2
oc
m a x 4 R
up?
最大功率为
2
Lo
2
ocL2
L )( RR
uRiRp
此时,10v电压源产生的功率传递给负载的百分数为多少？
例,电路如图 (a)所示。
试求,(l) RL为何值时获得最大功率；
(2) RL获得的最大功率。
解,(l)分解电路，求 N1的戴维南等效电路参数为：
122 22 V5V1022 2 ooc Ru
(2)当 RL=Ro=1?时可获得最大功率。 W25.6W14 254
o
2
oc
m a x R
up
注意：
单口网络和它的等效电路就其 内部功率而言是不等效的。
等效电阻 R0算得的功率一般并不等于网络内部消耗的功率
所以，当负载得到最大功率时，其功率传递效率未必是 50%
作业,P256,54
4? 9 T—? 变换 (Y— △ 变换 )（不考）
一、引例
+
_
50?
30?20?
8? 3?
15?
30V
I ①
② ③
④
①
② ③ ③②
①
_
+
8?
①
④
② ③
I
R2
R1
R3
3?
30V
15?
u12
u13 u23
i1 i2
i3
二、无源三端网络的等效
+
++
_
__
① ②
③
① ②
③
i1 i2
u1 u2
+ +
_ _
如上图所示，
当 u13=u1,u23=u2时，上述两个三端网络等效。
三,T 形电阻和? 形电阻的等效（ T—? 变换）
R1 R2
R3
i1 i2
+
_
u1 u2
_
+① ②
③
T形联接，又称为星形（ Y）联接
形又称为三角形（ Δ ）联接
+
_
i1 i2
u1
+
_
u2
R12
R13 R
23
③
I1 I2I3
① ②
R1 R2
R3
i1 i2
+
_
u1 u2
_
+① ②
③
)(
)(
213222
213111
iiRiRu
iiRiRu
232132
231311
iRRiRu
iRiRRu
)(
)(
整理得到：
2231223122232
1231131121311
312312
223131
12 )(
)(
iRiRiiRu
iRiRiiRu
RRR
iRiRi
2
312312
311223
1
312312
3123
2
2
312312
3123
1
312312
231231
1
i
RRR
RRR
i
RRR
RR
u
i
RRR
RR
i
RRR
RRR
u
)(
)(得：
四,? — T 变换
① ②
③
R12
R13 R23
① ②
③
R1 R2
R3
312312
311223
32
312312
3123
3
312312
231231
31
RRR
RRR
RR
RRR
RR
R
RRR
RRR
RR
)(
)(
由此解得
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
— T 变换 公式为形三电阻之和端两电阻之乘积接于
iR
i
当 R12= R23= R31= RΠ时，有
RR 3
1
① ②
③
R12
R13 R23
① ②
③
R1 R2
R3
① ②
③
R12
R13 R23
五,T—? 变换
① ②
③
R1 R2
R3
312312
311223
32
312312
3123
3
312312
231231
31
RRR
RRR
RR
RRR
RR
R
RRR
RRR
RR
)(
)(
由此解得
2
133221
31
1
133221
23
3
133221
12
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
第三端电阻形电阻两两乘积之和
mnR
T —?变换 公式
_
+
+
_
50?
30?20?
8? 3?
15?
30V
I ①
② ③
④
①
② ③
④
I
8? 3?
六、例题：求 I 。
30V
15?
6?
10? 15?
本章要点一、分解的方法和单口网络
1、完整的分解方法；
2、分解点的选择；
3、单口 VAR的求取；
1）外接元件法；
2）戴维南定理，诺顿定理法；
3）等效规律化简法；
4、置换定理的运用；
二、等效和化简三、最大功率传递定理四,T 变换例 1 求图 (a)所示单口的诺顿等效电路。
解：求 isc,将单口网络短路,并设 isc的参考方向 。
A25 V101i 得 A42 1sc ii
求 Ro,在端口外加电压源 u,图 (b) i1= 0
02 1 ii＝ 得
o
o
1
GR
可知，该单口等效为一个 4A电流源，图 (c)。 该单口求不出确定的 uoc，它不存在戴维南等效电路 。
例 2 已知 r =2?，试求该单口的戴维南等效电路。
解：标出 uoc的参考方向。先求受控源控制变量 i1
A2
5
V10
1i
V4A221oc riu
将 10V电压源短路,保留受控源,得图 (b) 。
由于 5?电阻被短路,其电流 i1=0,u=(2?)i1=0
00o iiuR
该单口无诺顿等效电路。
说明：
并非任何含源线性电阻单口网络都能找到戴维南等效电路或诺顿等效电路 。
当 R0=0时,没有 诺顿等效电路；
当 R0=,没有 戴维南等效电路 。?
例 3,求图 (a)所示单口网络向外传输的最大功率。
解：求 uoc，按图 (b)网孔电流参考方向，
列网孔方程：
121
21
31283
12310
iii
ii
V6)4(
A5.1
2oc
2
iu
i
求 isc,按图 (c)所示网孔电流参考方向，
列网孔方程：
1sc1
sc1
31243
12310
iii
ii
解得 isc=3A
236
sc
oc
o i
uR
W5.4W5.04 34 W 5.4W24 64
2
o
2
c
m a x
2
o
2
oc
m a x G
ip
R
up s或思考：本题还有没有其它解法？
5?0 5,?5?
2?
3? 2?
6 V
10 V
I
2?
4 V
2 A
例 4
试用节点分析法求 I。
本 章 小 结
1、掌握 分解方法 的概念、步骤，会运用分解方法来解题；
2、掌握 单口网络 VAR的各种求法,1）外接元件法； 2）利用戴维南或诺顿定理； 3）利用等效规律化简单口网络。
3、树立 等效 的概念，牢固掌握无源网络、有源网络、实际电源、理想电源的等效电路。
4、掌握 置换、戴维南、诺顿、最大功率传递定理 。
5,熟练应用等效化简法、戴维南定理分析电路 。
6、学会含受控源单口网络的等效化简（难点）。
7、了解三端网络 T形和?形的 等效 变换。
作业,P251,41
P255,52,53
章节 练习题 习题四 周
4-2 1,4 7
4-3 （ 4-2） 6 7
4-4 （ 4-4） 8 7
4-5 18 7
4-6 4-11,4-14 8
4-7 4-18 50 8
4-8 54 8
4-9 57 8
31 8
53,41,52 练习
