7? 6 三要素法一、问题的提出当一阶电路的输入为直流电压或电流时，电路的分析有简单的方法 —— 三要素法。
任何一阶电路可化为图 (a)的形式，再简化为 (b)
的形式。当 uoc=U为直流时，
其完全解为：
C 0 S S( ) ( ) e
t
RCu t U U U
其中 uc(0)为电容电压的初值,uc(?）为电压的终值。
因此完全解 uc(t)取决于三个要素，即 初值 uc(0)，终值
uc(?）和时间常数?。
[ ( 0) ( ) ] ( )tc c cu u e u
当动态元件为电感时，典型一阶电路如 (b)，其完全响应如下式。可见电感电流的完全响应也取决于三个要素,初值 iL(0)，终值 iL(?)和时间常数?。
)()]()0([)(L LtLL ieiiti?
除状态变量的完全解有这样的形式外，其它变量的完全解是否也有这样的形式，即取决于三个要素？
二、三要素法：
对于 直流激励 下的一阶电路,各支路的电压或电流 的完全响应 x(t)取决于如下三个要素：
初始值 —— )(
0x
)(?x稳态值 ——
时间常数 ——?
)0()()]()0([)( txexxtx
t即：
Note here！
三、三个要素的求法
1,初始值 x(0+ )
1）求出电路的状态变量 uc(0＋ )和 iL(0＋ )；
2）用电压为 uc(0＋ )的电压源或电流为 iL(0＋ )
的电流源置换电路中的电容或电感，得到直流电阻电路，可求得 x(0+ )。
2,求稳态值 x(?)
画 t=∞ 时的等效电路,将 t>0时电路的电容开路，
或电感短路，作直流分析，求出 x(?)。
3,求时间常数先求输出电阻 R0,
= R0C
先求 R0,
0R
L
1) 若为含电容电路，
则为
R0N0 C
2) 若为含电感电路，
则为
R0N0 L
10V
+
_uC
t = 0
i2
i1
20?
30?
0.1F
例 1：已知 t < 0 时电路已处于稳态，
求 uC(0+ ),i1(0+ ),i2(0+ ) 。
2,再求 i1(0+ ),i2(0+ ),
A2.020 610)0(i 1
0)0(i 2
10V
20?
30?
i1(0+ )
i2(0+) +
_
uC(0+ )
= 6V
t = 0+
画 t = 0+等效电路解,1,先求 uC(0? )：
V6103020 30)0(u C
V6)0(u)0(u CC
画 t = 0?等效电路
10V
20?
30?
+
_uC(0? )
t = 0-
例 2 已知 t < 0 时电路已处于稳态，求 i1(0+ ),
iL(0+ ),uL(0+ ) 。
1? 4?
t = 0
iL
+
_uL
i1
+
_10V 0.1H
解,1,先求 iL(0? ),
A241 10)0(i L
推知 iL(0+ ) = iL(0? ) = 2A
2,再求 i1(0+),uL(0+)
A10110)0(i 1
V824)0(u L
10V
1? 4?
iL(0+)
= 2A
+
_
i1(0+ )
uL(0+)
+
_
t = 0+
1? 4?
iL(0?)10V+
_
t = 0?
例 3 图 (a)所示电路处于稳定状态。 t=0时开关闭合，
求,t?0的电容电压 uC(t)和电流 i(t)，并画波形图。
V8A24)0()0( CC uu
解,1,求 uC(0+)
7VV5V2V10
44
44
2
44
44
V2
2
1
4
1
4
1
1
)(C
u
2,求 uC(?)，电容开路，运用叠加定理求得
1
2
1
4
1
4
1
1
oR
s1.0F1.01τ o CR
3.求?,计算与电容相连接的电阻单口网络 ab
的输出电阻，它是三个电阻的并联：
a
b
4,代入三要素一般表达式
)0(V]e17[V]7e)78[()( 1010C ttu tt
求得电容电压后，电阻电流 i(t)可以利用欧姆定律求得
)0(A)0,5 e1,5(A 2 )e17(102 )(V10)( 10
10
c
ttuti tt
)(e)]()0([)( xxxtx
t
也可以用叠加定理分别计算 2A电流源,10V
电压源和电容电压 uC(t)单独作用引起响应之和
)0(A)0,5 e1,5(
)Ae5.05.35(
2
)(
2
V10
0)()()()(
10
10
C'''"'
t
tu
titititi
t
t
V]e17[)( 10C ttu
由于电路中每个响应具有相同的时间常数，
不必重新计算，用三要素公式得到
)0( A)e5.05.1(A]5.1e)5.11[()( 1010 tti tt
值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变,i(0+)=1A?i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是 t>0，而不是 t?0。
电阻电流 i(t)还可以利用三要素法直接求得
V8)0(Cu
A5.1A
2
710
2
)(V10
)(
A1A
2
810
2
)0(V10
)0(
C
C
u
i
u
i
例 4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态,t=0
时开关 S由 1端接至 2端，求,t>0时的电感电流
iL(t)，电阻电流 i2(t),i3(t)和电感电压 uL(t)。
解,1.求 iL(0+),开关转换前,电感相当于短路
mA102mA20)0()0( LL ii
2,求 iL(?),0)(
Li
3,求?：
s101s1010 10 k10k101020 )1010(20 73
3
o
R
4,计算 iL(t),uL(t),i2(t)和 i3(t)。
)0(mAe10A]0e)01010[()( 77 10103L tti tt
)0(mAe5
mAe5mAe10)()()(
)0(mAe5
1020
V1 0 0 e
k20
)(
)(
)0(V1 0 0 e
e10101010
d
d
)(
7
77
7
7
7
7
10
1010
3L2
10
3
10
L
3
10
10733L
L
t
tititi
t
tu
ti
t
t
i
Ltu
t
tt
t
t
t
t
例 5,图 (a)所示电路，在 t=0时闭合开关，
求：电容电压 uC(t)和电流 i2(t)的零状态响应。
解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图 (c)
所示的戴维南等效电路代替，其中
21
S2222oc )(
RR
URriRriU
用外施电源法求图 (b) 单口网络的输出电阻 Ro
21
12
21
1222
o
)()()(
RR
RRri
RR
R
i
Rr
i
iRr
i
uR
时间常数为
21
12 )
RR
CRR(r
代入三要素公式得到
)0()e1()()e1()( S
21
2
ocC
tU
RR
RrUtu tt
从图 (a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t)
)0()e1()()(
21
S
2
C
2
t
RR
U
Rr
tuti t?
)(e)]()0([)( xxxtx
t
作业,P98,7-15； 7-16
P121,28
本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，
它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算。
对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响应。 这就是所谓的子区间分析法。,
7-8 子区间分析法例 1 下图（ a）所示电路中，电感电流 iL(0-)=0,t=0时，
开关 S1闭合，经过 0.1s，再闭合开关 S2，同时断开 S1。
试求电感电流 iL(t)，并画波形图。
解,1.在 0?t?0.1s时间范围内响应的计算
S1闭合后,iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解
s1.020 H2A 5.0A20 V10)(
2
1
2
S
L R
L
R
Ui?
)0s1.0(A)e1(5.0)( 10L tti t
2,在 t?0.1s时间范围内响应的计算
0,316AA)e1(5.0
)1.0()1.0(
1.010
LL
ii
此后的电感电流属于零输入响应,iL(?)=0。
仍然用三要素法，先求
t=0.1s时刻的初始值。
2
12
2 s 0,0 6 6 7 s
30
L
RR
在此时间范围内电路的时间常数为根据三要素公式得到,
2
0,1
1 5 ( 0,1 s )
LL( ) ( 0,1 ) e 0,3 1 6 e A ( 0,1 )
t
ti t i t s?
电感电流 iL(t)的波形曲线如图 (b)所示。在 t=0时，它从零开始，以时间常数?1=0.1s确定的指数规律增加到最大值
0.316A后，就以时间常数?2=0.0667s确定的指数规律衰减到零。
2
10
L
0.1
15 ( 0,1 s )
LL
( ) 0.5 ( 1 e ) A ( 0.1 s 0)
( ) ( 0.1 ) e 0.31 6 A ( 0.1 )
t
t
t
i t t
i t i e t s?
例 2 下图 (a)所示电路中，开关断开已经很久,t=1s时开关 S闭合,t=2s时开关 S重新断开，试求 t?0电容电压 uC(t)和电阻电压 uo(t)。
解：本题要求计算电容电压和 1.6kΩ电阻电压，先将电路其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关 S断开和闭合时的等效电路如图 (b)和 (c)所示，再从时间上分段计算。
s9.0102 5 0103,6
V10)(V,6)1()1(
63
CCC
uuu
得到电容电压为
)s2s1(V 410)( 9.0
1
C
tetu
t
1,1s?t?2s区间内响应的计算
2,t?2s区间内响应的计算
s1102 50104
V6)(V,68.8e410)2()2(
63
C
9.0/1
CC
uuu
得到
)s2(V e68.26)( )2(C ttu t
用三要素法也可以求出电压 uo(t)，可以检验以下计算结果是否正确。
)s2(V e07.1
)s2s1(V e78.1)(
)2(
9.0
1
o
t
ttu
t
t
画出 uC(t)和 uo(t)的波形如图 (d)和 (e)所示。
1
0.9
C
( 2 )
6 V ( 1 s )
( ) 1 0 4 V ( 1 s 2 s )
6 2,6 8 e V ( 2 s )
t
t
t
u t e t
t
1
0.9
o
( 2 )
1,7 8 e V ( 1 s 2 s )()
1,0 7 e V ( 2 s )
t
t
tut
t
例 3 电路如图 (a)所示，独立电流源的波形如图 (b)
所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线。
解：按照波形的具体情况,从时间上分三段用三要素法求电感电流的响应 。
0 0)(L tti
1,t?0,iS(t)=0，由此得到
(2) 计算稳态值 iL(?)
mA10)(Li
(3) 计算时间常数?
ms1101.0 H1.0 3＝＝ RL?
(4) 利用三要素公式得到
mA32.6A)e1(1010)ms1(ms1
)ms10( mA)e1(10A)e1(1010)(
13
L
10 3
L
3
it
tti t
t
时，当
2,0?t?1ms,iS(t)=10mA
0)0()0( LL ii
(1) 计算初始值 iL(0+)
3,1ms?t<?,iS(t)=0
mA32.6)ms1()ms1( LL ii
(2) 计算稳态值 iL(?)
0)(Li
(3) 时间常数相同，即
1m sτ?
(4) 根据三要素公式得到
331 m s 1 0 ( 1 0 )
L ( ) 6,32 e m A 6,32 e m A ( 1 m s )
t
ti t t
(1) 计算初始值 iL(1ms+)
uC(t)
US
to
t
i(t)
R
US
解：
(一 ) 当? << T 时
R+
_uS(t) C uC
+
_
i例 4：已知 uC(0?)=0和 uS(t)
求 uC(t),t?0.
uS (t)
US
to T 3T2T 4T 5T 6T 7T …
(二 ) 当? > T 或 T 时
ST
T
1 U
e1
e
U
ST2 U
e1
1U
uC(t)
T 3T2T 4T 5T 6T
U2
U1
o
t
充得多放得少充多少放多少
0 T 2T
7? 7 阶跃函数和阶跃响应一、阶跃函数
1,阶跃函数
1
(t)
to
A
A?(t)
to
(t) = 1 t > 00 t < 0 A?(t) = A t > 00 t < 0
2,延时阶跃函数
t
(t?t0)
t0o
1
t
A?(t?t0)
t0o
A
(t? t0) = 1 t > t00 t < t
0 A?( t? t0) =
A t > t0
0 t < t0
二、阶跃函数的作用,1) 代替开关
N
+
_
US
t = 0
NUS(t)
+
_
N
+
_
US
t = t0
NUS(t?t0)
+
_
2) 分段常量信号 可表示为一系列阶跃信号之和
1
f( t)
t
t 0
1
f( t)
t
t 0 2 t 0
- 1
A 1
f( t)
t
t 1 t 2 t 3
A 2
)()()( 0ttttf
)2()(2)()( 00 ttttttf
1 1 2 1 2
23
( ) ( ) ( ) ( )
()
f t A t t A A t t
A t t
t
uC(t)
o
1
三、阶跃响应定义：电路在阶跃信号作用下的 零状态响应。
例如
(t)
+
_
R
+
_C uC
( ) ( 1 ) 0
t
Cu t e t?
t
(t)
1
o
)t()e1()t(u
t
C
= RC
四、阶跃响应的应用对于线性时不变系统（电路），具有以下性质：
1）比例性,
设系统的输入为 x(t)，输出为 y(t)，即：
x(t)y(t)，则,?x(t) y(t),?为常数；
2）叠加性,
若,x1(t)y1(t),x2(t)y2(t)，则：
x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)
3)时移不变性,
x(t-t0)y(t-t0)。
t
uC(t)
o
US
US(t)
+
_
R
+
_
C uC
)t()e1(U)t(u
t
SC
US?(t)
t
US
o
比例性的表现
R
+
_US?(t? t0) C
uC
+
_
US
US?(t? t0)
tt
0o
)()( 0
0
1 tteUu
tt
SC
uC(t)
t
US
t0o
时移不变性的表现 )t()e1(U)t(u tSC
对于线性时移不变电路，当其激励为直流或分段直流时，可以表示为：
i
ii ttAtx )()(?
则电路的 零状态响应 为：
i
ii ttuBty )()(
其中 u(t)为电路的阶跃响应，即：
)()( tut
例 1：已知电路的激励波形 p(t),求响应 uC(t)。
R
C
+
_ uC
+
_p(t) V
解一,uC(0)=0
0 — t0 —— 充电
t＞ t0 —— 放电
p(t)
o t0 t
US
o
uC
US
tt
0
解二,
t
p(t)
t0o
t
p'(t)
t0o
t
p''(t) t
0
o
US
US
US
)()(
)()()(
0
'''
ttUtU
tptptp
SS
)()1()( tet t
)()1()( teUtU tss
0
00( ) ( 1 ) ( )
tt
ssU t t U e t t
)()1()()1(
)(
0
0
tteUteU
tp
tt
s
t
s
)()1()()1(
)(
0
0
tteUteU
tu
tt
s
t
s
c
2?
+
_uS(t) 1F uC
+
_
i
例 2 已知,uS(t) = 5?(t?2) V,uC(0) = 10V,t? 0
求,uC(t),i(t),
t? 0
解,)()()(
21 tututu ccc
零输入响应,?t
c etu
10)(
1
5
us(t)
t(s)
2
5
3.68
2 4 6 8
uC(V)
t(s)o
10
uC1
uC2
uC(t)
零状态响应：
)2()1(5)(
)()1()(
)2(5)(
2
2
2
tetu
tet
ttu
t
c
t
c
所以：
而完全响应：
)2()1(5)(10)( 2 tetetu ttc
作业,P123,33
P123,34
P124,40（选做）
小结与习题课：
1、一阶电路分析的根本方法－分解的方法：
把电路分解为动态元件＋纯电阻单口网络；
把纯电阻单口化为最简的形式；
布列化简后一阶电路的状态变量的微分方程，
并解出状态变量；
利用置换定理求其它变量。
本方法对输入输出无要求。
2、一阶电路分析的三要素法：
电路响应的形式均由三个要素决定：
初始值 —— )(
0x
)(?x稳态值 ——
时间常数 ——?
)0()()]()0([)( txexxtx
t即：
当电路的激励为直流时才可以用三要素法。
3、一阶电路分析的子区间分析法：
当电路的激励为分段直流时，可用子区间分析法；
按激励的情况分段处理，每段用三要素法处理。
4、利用阶跃响应求电路的零状态响应,
当电路的激励为分段直流时，可用本方法。
R
uR
C +_uC
(t)
NR
+ _
(t) V结果,
tC etu 1)(
t
R etu 4
11)(?(t) V
例 1 已知 NR 是只含电阻的电路，并知 uC的单位阶跃响应为,
Vtetu tR )()411()(
求：在同样的激励情况下，若
uC(0?)= 2V时的
uC(t)和 uR(t)。
,)()1()( Vtetu tC
例 2 图示 RC分压器电路模型，试求输出电压
uC2(t)的阶跃响应。
)(τ 21
21
21
oo CCRR
RRCR?
解：由于将图 (a)电路中的电压源用短路代替后，
电容 C1 和 C2并联等效于一个电容,
现在计算初始值 uC2(0+)。在 t<0时,?(t)=0，电路处于零状态,uC1(0-)=uC2(0-)=0。在 t=0+时刻，两个电容电压应该满足以下 KVL方程
V1)0()0( 2C1C uu
V1)0()0( 2C1C uu
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用 电荷守恒定律,即在跃变的瞬间一电容所失的电荷必为另一电容所得,
)]()([)]()([ 0000 2C2C21C1C1 uuCuuC
21
1
21
1
2C V1)0( CC
C
CC
Cu
在 t>0时,该电路是由 1V电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。 当 t电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为,
V1)(
21
2
2C RR
Ru
用三要素公式得到输出电压的表达式为
V )( e)(
21
2
21
1
21
2
2C tRR
R
CC
C
RR
Rtu t
21
12C )0(
CC
Cu
)(τ 21
21
21
oo CCRR
RRCR?
由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容 C1可以得到 三种情况,
当 R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为 完全补偿 ；
当 R1C1<R2C2或 R1C1>R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为 欠补偿,后者称为 过补偿 。
V )( e)(
21
2
21
1
21
2
2C tRR
R
CC
C
RR
Rtu t
V )( e)(
21
2
21
1
21
2
2C tRR
R
CC
C
RR
Rtu t
补偿分压器
任何一阶电路可化为图 (a)的形式，再简化为 (b)
的形式。当 uoc=U为直流时，
其完全解为：
C 0 S S( ) ( ) e
t
RCu t U U U
其中 uc(0)为电容电压的初值,uc(?）为电压的终值。
因此完全解 uc(t)取决于三个要素，即 初值 uc(0)，终值
uc(?）和时间常数?。
[ ( 0) ( ) ] ( )tc c cu u e u
当动态元件为电感时，典型一阶电路如 (b)，其完全响应如下式。可见电感电流的完全响应也取决于三个要素,初值 iL(0)，终值 iL(?)和时间常数?。
)()]()0([)(L LtLL ieiiti?
除状态变量的完全解有这样的形式外，其它变量的完全解是否也有这样的形式，即取决于三个要素？
二、三要素法：
对于 直流激励 下的一阶电路,各支路的电压或电流 的完全响应 x(t)取决于如下三个要素：
初始值 —— )(
0x
)(?x稳态值 ——
时间常数 ——?
)0()()]()0([)( txexxtx
t即：
Note here！
三、三个要素的求法
1,初始值 x(0+ )
1）求出电路的状态变量 uc(0＋ )和 iL(0＋ )；
2）用电压为 uc(0＋ )的电压源或电流为 iL(0＋ )
的电流源置换电路中的电容或电感，得到直流电阻电路，可求得 x(0+ )。
2,求稳态值 x(?)
画 t=∞ 时的等效电路,将 t>0时电路的电容开路，
或电感短路，作直流分析，求出 x(?)。
3,求时间常数先求输出电阻 R0,
= R0C
先求 R0,
0R
L
1) 若为含电容电路，
则为
R0N0 C
2) 若为含电感电路，
则为
R0N0 L
10V
+
_uC
t = 0
i2
i1
20?
30?
0.1F
例 1：已知 t < 0 时电路已处于稳态，
求 uC(0+ ),i1(0+ ),i2(0+ ) 。
2,再求 i1(0+ ),i2(0+ ),
A2.020 610)0(i 1
0)0(i 2
10V
20?
30?
i1(0+ )
i2(0+) +
_
uC(0+ )
= 6V
t = 0+
画 t = 0+等效电路解,1,先求 uC(0? )：
V6103020 30)0(u C
V6)0(u)0(u CC
画 t = 0?等效电路
10V
20?
30?
+
_uC(0? )
t = 0-
例 2 已知 t < 0 时电路已处于稳态，求 i1(0+ ),
iL(0+ ),uL(0+ ) 。
1? 4?
t = 0
iL
+
_uL
i1
+
_10V 0.1H
解,1,先求 iL(0? ),
A241 10)0(i L
推知 iL(0+ ) = iL(0? ) = 2A
2,再求 i1(0+),uL(0+)
A10110)0(i 1
V824)0(u L
10V
1? 4?
iL(0+)
= 2A
+
_
i1(0+ )
uL(0+)
+
_
t = 0+
1? 4?
iL(0?)10V+
_
t = 0?
例 3 图 (a)所示电路处于稳定状态。 t=0时开关闭合，
求,t?0的电容电压 uC(t)和电流 i(t)，并画波形图。
V8A24)0()0( CC uu
解,1,求 uC(0+)
7VV5V2V10
44
44
2
44
44
V2
2
1
4
1
4
1
1
)(C
u
2,求 uC(?)，电容开路，运用叠加定理求得
1
2
1
4
1
4
1
1
oR
s1.0F1.01τ o CR
3.求?,计算与电容相连接的电阻单口网络 ab
的输出电阻，它是三个电阻的并联：
a
b
4,代入三要素一般表达式
)0(V]e17[V]7e)78[()( 1010C ttu tt
求得电容电压后，电阻电流 i(t)可以利用欧姆定律求得
)0(A)0,5 e1,5(A 2 )e17(102 )(V10)( 10
10
c
ttuti tt
)(e)]()0([)( xxxtx
t
也可以用叠加定理分别计算 2A电流源,10V
电压源和电容电压 uC(t)单独作用引起响应之和
)0(A)0,5 e1,5(
)Ae5.05.35(
2
)(
2
V10
0)()()()(
10
10
C'''"'
t
tu
titititi
t
t
V]e17[)( 10C ttu
由于电路中每个响应具有相同的时间常数，
不必重新计算，用三要素公式得到
)0( A)e5.05.1(A]5.1e)5.11[()( 1010 tti tt
值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变,i(0+)=1A?i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是 t>0，而不是 t?0。
电阻电流 i(t)还可以利用三要素法直接求得
V8)0(Cu
A5.1A
2
710
2
)(V10
)(
A1A
2
810
2
)0(V10
)0(
C
C
u
i
u
i
例 4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态,t=0
时开关 S由 1端接至 2端，求,t>0时的电感电流
iL(t)，电阻电流 i2(t),i3(t)和电感电压 uL(t)。
解,1.求 iL(0+),开关转换前,电感相当于短路
mA102mA20)0()0( LL ii
2,求 iL(?),0)(
Li
3,求?：
s101s1010 10 k10k101020 )1010(20 73
3
o
R
4,计算 iL(t),uL(t),i2(t)和 i3(t)。
)0(mAe10A]0e)01010[()( 77 10103L tti tt
)0(mAe5
mAe5mAe10)()()(
)0(mAe5
1020
V1 0 0 e
k20
)(
)(
)0(V1 0 0 e
e10101010
d
d
)(
7
77
7
7
7
7
10
1010
3L2
10
3
10
L
3
10
10733L
L
t
tititi
t
tu
ti
t
t
i
Ltu
t
tt
t
t
t
t
例 5,图 (a)所示电路，在 t=0时闭合开关，
求：电容电压 uC(t)和电流 i2(t)的零状态响应。
解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图 (c)
所示的戴维南等效电路代替，其中
21
S2222oc )(
RR
URriRriU
用外施电源法求图 (b) 单口网络的输出电阻 Ro
21
12
21
1222
o
)()()(
RR
RRri
RR
R
i
Rr
i
iRr
i
uR
时间常数为
21
12 )
RR
CRR(r
代入三要素公式得到
)0()e1()()e1()( S
21
2
ocC
tU
RR
RrUtu tt
从图 (a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t)
)0()e1()()(
21
S
2
C
2
t
RR
U
Rr
tuti t?
)(e)]()0([)( xxxtx
t
作业,P98,7-15； 7-16
P121,28
本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，
它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算。
对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响应。 这就是所谓的子区间分析法。,
7-8 子区间分析法例 1 下图（ a）所示电路中，电感电流 iL(0-)=0,t=0时，
开关 S1闭合，经过 0.1s，再闭合开关 S2，同时断开 S1。
试求电感电流 iL(t)，并画波形图。
解,1.在 0?t?0.1s时间范围内响应的计算
S1闭合后,iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解
s1.020 H2A 5.0A20 V10)(
2
1
2
S
L R
L
R
Ui?
)0s1.0(A)e1(5.0)( 10L tti t
2,在 t?0.1s时间范围内响应的计算
0,316AA)e1(5.0
)1.0()1.0(
1.010
LL
ii
此后的电感电流属于零输入响应,iL(?)=0。
仍然用三要素法，先求
t=0.1s时刻的初始值。
2
12
2 s 0,0 6 6 7 s
30
L
RR
在此时间范围内电路的时间常数为根据三要素公式得到,
2
0,1
1 5 ( 0,1 s )
LL( ) ( 0,1 ) e 0,3 1 6 e A ( 0,1 )
t
ti t i t s?
电感电流 iL(t)的波形曲线如图 (b)所示。在 t=0时，它从零开始，以时间常数?1=0.1s确定的指数规律增加到最大值
0.316A后，就以时间常数?2=0.0667s确定的指数规律衰减到零。
2
10
L
0.1
15 ( 0,1 s )
LL
( ) 0.5 ( 1 e ) A ( 0.1 s 0)
( ) ( 0.1 ) e 0.31 6 A ( 0.1 )
t
t
t
i t t
i t i e t s?
例 2 下图 (a)所示电路中，开关断开已经很久,t=1s时开关 S闭合,t=2s时开关 S重新断开，试求 t?0电容电压 uC(t)和电阻电压 uo(t)。
解：本题要求计算电容电压和 1.6kΩ电阻电压，先将电路其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关 S断开和闭合时的等效电路如图 (b)和 (c)所示，再从时间上分段计算。
s9.0102 5 0103,6
V10)(V,6)1()1(
63
CCC
uuu
得到电容电压为
)s2s1(V 410)( 9.0
1
C
tetu
t
1,1s?t?2s区间内响应的计算
2,t?2s区间内响应的计算
s1102 50104
V6)(V,68.8e410)2()2(
63
C
9.0/1
CC
uuu
得到
)s2(V e68.26)( )2(C ttu t
用三要素法也可以求出电压 uo(t)，可以检验以下计算结果是否正确。
)s2(V e07.1
)s2s1(V e78.1)(
)2(
9.0
1
o
t
ttu
t
t
画出 uC(t)和 uo(t)的波形如图 (d)和 (e)所示。
1
0.9
C
( 2 )
6 V ( 1 s )
( ) 1 0 4 V ( 1 s 2 s )
6 2,6 8 e V ( 2 s )
t
t
t
u t e t
t
1
0.9
o
( 2 )
1,7 8 e V ( 1 s 2 s )()
1,0 7 e V ( 2 s )
t
t
tut
t
例 3 电路如图 (a)所示，独立电流源的波形如图 (b)
所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线。
解：按照波形的具体情况,从时间上分三段用三要素法求电感电流的响应 。
0 0)(L tti
1,t?0,iS(t)=0，由此得到
(2) 计算稳态值 iL(?)
mA10)(Li
(3) 计算时间常数?
ms1101.0 H1.0 3＝＝ RL?
(4) 利用三要素公式得到
mA32.6A)e1(1010)ms1(ms1
)ms10( mA)e1(10A)e1(1010)(
13
L
10 3
L
3
it
tti t
t
时，当
2,0?t?1ms,iS(t)=10mA
0)0()0( LL ii
(1) 计算初始值 iL(0+)
3,1ms?t<?,iS(t)=0
mA32.6)ms1()ms1( LL ii
(2) 计算稳态值 iL(?)
0)(Li
(3) 时间常数相同，即
1m sτ?
(4) 根据三要素公式得到
331 m s 1 0 ( 1 0 )
L ( ) 6,32 e m A 6,32 e m A ( 1 m s )
t
ti t t
(1) 计算初始值 iL(1ms+)
uC(t)
US
to
t
i(t)
R
US
解：
(一 ) 当? << T 时
R+
_uS(t) C uC
+
_
i例 4：已知 uC(0?)=0和 uS(t)
求 uC(t),t?0.
uS (t)
US
to T 3T2T 4T 5T 6T 7T …
(二 ) 当? > T 或 T 时
ST
T
1 U
e1
e
U
ST2 U
e1
1U
uC(t)
T 3T2T 4T 5T 6T
U2
U1
o
t
充得多放得少充多少放多少
0 T 2T
7? 7 阶跃函数和阶跃响应一、阶跃函数
1,阶跃函数
1
(t)
to
A
A?(t)
to
(t) = 1 t > 00 t < 0 A?(t) = A t > 00 t < 0
2,延时阶跃函数
t
(t?t0)
t0o
1
t
A?(t?t0)
t0o
A
(t? t0) = 1 t > t00 t < t
0 A?( t? t0) =
A t > t0
0 t < t0
二、阶跃函数的作用,1) 代替开关
N
+
_
US
t = 0
NUS(t)
+
_
N
+
_
US
t = t0
NUS(t?t0)
+
_
2) 分段常量信号 可表示为一系列阶跃信号之和
1
f( t)
t
t 0
1
f( t)
t
t 0 2 t 0
- 1
A 1
f( t)
t
t 1 t 2 t 3
A 2
)()()( 0ttttf
)2()(2)()( 00 ttttttf
1 1 2 1 2
23
( ) ( ) ( ) ( )
()
f t A t t A A t t
A t t
t
uC(t)
o
1
三、阶跃响应定义：电路在阶跃信号作用下的 零状态响应。
例如
(t)
+
_
R
+
_C uC
( ) ( 1 ) 0
t
Cu t e t?
t
(t)
1
o
)t()e1()t(u
t
C
= RC
四、阶跃响应的应用对于线性时不变系统（电路），具有以下性质：
1）比例性,
设系统的输入为 x(t)，输出为 y(t)，即：
x(t)y(t)，则,?x(t) y(t),?为常数；
2）叠加性,
若,x1(t)y1(t),x2(t)y2(t)，则：
x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)
3)时移不变性,
x(t-t0)y(t-t0)。
t
uC(t)
o
US
US(t)
+
_
R
+
_
C uC
)t()e1(U)t(u
t
SC
US?(t)
t
US
o
比例性的表现
R
+
_US?(t? t0) C
uC
+
_
US
US?(t? t0)
tt
0o
)()( 0
0
1 tteUu
tt
SC
uC(t)
t
US
t0o
时移不变性的表现 )t()e1(U)t(u tSC
对于线性时移不变电路，当其激励为直流或分段直流时，可以表示为：
i
ii ttAtx )()(?
则电路的 零状态响应 为：
i
ii ttuBty )()(
其中 u(t)为电路的阶跃响应，即：
)()( tut
例 1：已知电路的激励波形 p(t),求响应 uC(t)。
R
C
+
_ uC
+
_p(t) V
解一,uC(0)=0
0 — t0 —— 充电
t＞ t0 —— 放电
p(t)
o t0 t
US
o
uC
US
tt
0
解二,
t
p(t)
t0o
t
p'(t)
t0o
t
p''(t) t
0
o
US
US
US
)()(
)()()(
0
'''
ttUtU
tptptp
SS
)()1()( tet t
)()1()( teUtU tss
0
00( ) ( 1 ) ( )
tt
ssU t t U e t t
)()1()()1(
)(
0
0
tteUteU
tp
tt
s
t
s
)()1()()1(
)(
0
0
tteUteU
tu
tt
s
t
s
c
2?
+
_uS(t) 1F uC
+
_
i
例 2 已知,uS(t) = 5?(t?2) V,uC(0) = 10V,t? 0
求,uC(t),i(t),
t? 0
解,)()()(
21 tututu ccc
零输入响应,?t
c etu
10)(
1
5
us(t)
t(s)
2
5
3.68
2 4 6 8
uC(V)
t(s)o
10
uC1
uC2
uC(t)
零状态响应：
)2()1(5)(
)()1()(
)2(5)(
2
2
2
tetu
tet
ttu
t
c
t
c
所以：
而完全响应：
)2()1(5)(10)( 2 tetetu ttc
作业,P123,33
P123,34
P124,40（选做）
小结与习题课：
1、一阶电路分析的根本方法－分解的方法：
把电路分解为动态元件＋纯电阻单口网络；
把纯电阻单口化为最简的形式；
布列化简后一阶电路的状态变量的微分方程，
并解出状态变量；
利用置换定理求其它变量。
本方法对输入输出无要求。
2、一阶电路分析的三要素法：
电路响应的形式均由三个要素决定：
初始值 —— )(
0x
)(?x稳态值 ——
时间常数 ——?
)0()()]()0([)( txexxtx
t即：
当电路的激励为直流时才可以用三要素法。
3、一阶电路分析的子区间分析法：
当电路的激励为分段直流时，可用子区间分析法；
按激励的情况分段处理，每段用三要素法处理。
4、利用阶跃响应求电路的零状态响应,
当电路的激励为分段直流时，可用本方法。
R
uR
C +_uC
(t)
NR
+ _
(t) V结果,
tC etu 1)(
t
R etu 4
11)(?(t) V
例 1 已知 NR 是只含电阻的电路，并知 uC的单位阶跃响应为,
Vtetu tR )()411()(
求：在同样的激励情况下，若
uC(0?)= 2V时的
uC(t)和 uR(t)。
,)()1()( Vtetu tC
例 2 图示 RC分压器电路模型，试求输出电压
uC2(t)的阶跃响应。
)(τ 21
21
21
oo CCRR
RRCR?
解：由于将图 (a)电路中的电压源用短路代替后，
电容 C1 和 C2并联等效于一个电容,
现在计算初始值 uC2(0+)。在 t<0时,?(t)=0，电路处于零状态,uC1(0-)=uC2(0-)=0。在 t=0+时刻，两个电容电压应该满足以下 KVL方程
V1)0()0( 2C1C uu
V1)0()0( 2C1C uu
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用 电荷守恒定律,即在跃变的瞬间一电容所失的电荷必为另一电容所得,
)]()([)]()([ 0000 2C2C21C1C1 uuCuuC
21
1
21
1
2C V1)0( CC
C
CC
Cu
在 t>0时,该电路是由 1V电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。 当 t电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为,
V1)(
21
2
2C RR
Ru
用三要素公式得到输出电压的表达式为
V )( e)(
21
2
21
1
21
2
2C tRR
R
CC
C
RR
Rtu t
21
12C )0(
CC
Cu
)(τ 21
21
21
oo CCRR
RRCR?
由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容 C1可以得到 三种情况,
当 R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为 完全补偿 ；
当 R1C1<R2C2或 R1C1>R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为 欠补偿,后者称为 过补偿 。
V )( e)(
21
2
21
1
21
2
2C tRR
R
CC
C
RR
Rtu t
V )( e)(
21
2
21
1
21
2
2C tRR
R
CC
C
RR
Rtu t
补偿分压器
