第八章 二阶电路
8-1 LC电路中的正弦振荡
8-2 RLC电路的零输入响应－过阻尼情况
8-3 RLC电路的零输入响应－临界阻尼情况
8-4 RLC电路的零输入响应－欠阻尼情况
8-5 直流 RLC电路的完全响应
8-6 GLC并联电路的分析
8-7 一般二阶电路
1,什么是二阶电路?
变量用二阶微分方程描述的电路；
从结构上看，含有两个独立 初始状态 动态元件的电路。
引言
2,二阶电路的分析方法：
根据两类约束，列写二阶电路微分方程；
求特征方程的根，即固有频率；
根据根的性质确定解答形式（公式）。
初始状态求解与一阶电路方法相同。
8?1 LC 电路中的正弦振荡
C L +
_uL
iL
uC
+
_
已知,uC(0) = U0,iL(0) = 0。
求,uC(t),iL(t),t? 0。
一、定量分析
iL
已知 uC(0) = 1V,iL(0) = 0
L = 1 H C = 1 F
dt
du
dt
du
Cii
dt
di
dt
di
Luu
CC
CL
LL
LC
02
2
CC udt ud得到二阶微分方程：
ttu C cos)(?解答形式：
JCuLitw 212121)( 22
储能：
tti L s in)(
C LuC
+
_ uL
+
_
二,LC 振荡电路波形 C L
+
_uL
iL
uC
+
_
已知 uC(0) = U0
iL(0) = 0
t1
t1
t2
t2
t3
t3 t4
t4
t5
t5
t6
t6
t7
t7
t8
t8
t9
t9
t10
t10
t11
t11
t12
t12
4
T
4
T
2
T
2
T
4T3
4T3
T
T
uC(t)
iL(t)
U0
U0
o
o
Im
Im
t
t
ttu C cos)(?
ttiL sin)(?
三,LC 电路振荡的物理过程：
1,[0,1/4T],C放电,L充电，电场能向磁场能转化；
2,[1/4T,1/2T],L放电,C反向充电，磁场能向电场能转化；
3,[1/2T,3/4T],C放电,L反向充电，电场能向磁场能转化；
4,[3/4T,T],L放电,C充电，磁场能向电场能转化。
四,结论,
纯 LC电路,储能在电场和磁场之间往返转移，
产生振荡的电压和电流。振荡是等幅的。
若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？
8?2 RLC串联电路的零输入响应 —— 过阻尼情况已知 uC(0) = U0
iL(0) = 0
求 uC(t),iL(t),t? 0
解：
0 CRL uuu由 KVL：
02
2
CCC udtduRCdt udLC得二阶微分方程：
由元件约束：
dt
duCii
dt
diLuRiu c
CL
L
LLR,,
t = 0
uR L
C
iL
+
_uC
＋ －
＋ uL－R
012
2
CCC uLCdtduLRdt ud
RLC串联电路的零输入响应求 uC(t),iL(t),t? 0
解：
0 CRL uuu由 KVL：
得二阶微分方程：
由元件约束：
dt
duCii
dt
diLuRiu c
CL
L
LLR,,
t = 0
uR L
C
iL
+
_uC
＋ －
＋ uL－R
012
2
CCC uLCdtduLRdt ud
特征方程
012 LCsLRs
令
,2LR,1 20
LC 01LC
2
0
2
2,1s
s — 固有频率（特征根）
— 衰减系数
0 — 谐振 (角 )频率
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根讨论：
1,当?2 >?02时,s1,s2为不相等的负实数 —
— 响应属于 过阻尼 (非振荡 )情况
2,当?2 =?02 时,s1 = s2 为相等的负实数 —
— 响应属于 临界阻尼 (非振荡 )情况
3,当?2 ＜?02 时,s1,s2为共轭复数 —
— 响应属于 欠阻尼 (衰减振荡 )情况
4,当?2 = 0 时,R=0,s1,s2为共轭虚数 —
— 响应属于 无阻尼 (等幅振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根齐次方程解,tstsC eKeKtu 21 21)(
1,当?2 >?02时,s1,s2为不相等的负实数 —
— 响应属于 过阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
1 1 2 2
0
( 0 ) CL
t
dui S K S K
C d t
21)0( KKu CK1,K2由初始条件确定
t = 0
uR L
C
iL
+
_uC
＋ －
＋ uL－R
齐次方程解,tsts
C eKeKtu 21 21)(
ttLttCC ee
C
ieeutu
2121
12
12
12
)0()0()(
C
ius
ssK
L
C
)0()0(1
2
12
1
C
ius
ssK
L
C
)0()0(1
1
21
2
解得：
令：
11s 22s
其中?2 >?1 > 0
ttCC eeutu 21 12
12
)0()(
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
2112
21
( 0 )() ttCC
L
d u u Ci t C e e
dt
to
U0
iL
uC
物义,iL(t) ＜ 0，电容始终放电,uC单调下降，属 非振荡。
O
f(t)
te 12
te 21
t
1?
2?
2 >?1 > 0
（ 2）当 uC(0) = 0 iL(0) = I0
ttLL eeiti 12 12
12
)0()(
to
uC iLI
0
iL
uC
物义,iL(0)= I0后,C充电,iL= 0后,C放电,电阻消耗大，
属 非振荡。
ttL
C eeC
itu 21
12
)0()(
O
f(t)
te 22
te 11
t
2?
1?
2 >?1 > 0
（ 3）当 uC(0) = U0 iL(0) = I0
例 8-2,C=1/4F,L=1/2H,R=3Ω,uC(0)=2V,iL(0)=1A
131)2(2 22,1 LCLRLRs 4
2
2
1
s
s
tttstsC eeeKeKtu 4221 46)( 21
2)0( 21 KKu C
4)0(2211
0
CiKSKSdtdu LC 4
6
2
1
K
K
ttC
L eedt
duCti 24 34)(
tO
uC(t)
2
te 44
te 26?
to
iL(t)
1
te 23
te 44?
tttstsC eeeKeKtu 4221 46)( 21
ttC
L eedt
duCti 24 34)(
当?2 >?0 2 时，根 s 为不相等的负实数，
t
2
t
1C
21 eKeK)t(u
或 解答形式为：
响应属于 过阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R 1
2
2
结论：
作业,P139,8-2
21 ss
8?3 RLC串联电路的零输入响应 —— 临界阻尼情况
01)0( UKu CK1,K2由初始条件确定
C
iKU
dt
du C
t
C )0(
20
0
t21C e)tKK()t(u齐次方程解：
2,当?2 =?02 时,s1 = s2 为相等的负实数 —
— 响应属于 临界阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
tc
C etC
itUUtu )0()(
00
0,0)1(
0
tte
C
ietU tct
8?3 RLC串联电路的零输入响应 —— 临界阻尼情况
t21C e)tKK()t(u齐次方程解：
C
iUK c 0
02
02 UK?
解得
0)( 00 tteUeUtu ttC
t
uC(t)
Uo
o
说明：电路是非振荡，处于临界状态，称为临界阻尼。
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
当?2 =?02 时，根 s 为相等的负实数，
tC etKKtu 21)(
或 解答形式为：
响应属于 临界阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R 1
2
2
结论：
作业,P141,8-3
8?4 RLC串联电路的零输入响应 —— 欠阻尼情况
djjs 2
2
0
2
022,1
220d式中
)ts i nKtc o sK(e)t(u d2d1tC
)KKa r c t gtc o s (KKe
1
2
d
2
2
2
1
t
齐次方程解：
3,当?2 ＜?02 时,s1,s2为共轭复数 —
— 响应属于 欠阻尼 (衰减振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
d
c
d C
iUKUK
0,0
201
t
C
iUtUetu
d
d
c
d
d
t
C
s i n0c o s)( 0
0
C
iKK
dt
du C
d
t
C )0(
12
0
01)0( UKu CK
1,K2由初始条件确定
)ts i nKtc o sK(e)t(u d2d1tC
)KKa r c t gtc o s (KKe
1
2
d
2
2
2
1
t
齐次方程解：
)ts i nUtc o sU(e)t(u d
d
0
d0
t
C
0t,)a r c t gtc o s (Ue
d
d
d
0
0
t?
说明：角频率?d,衰减系数 α 的衰减振荡。
to
uC(t)
d
2
d
arctg
U0
tKe
tKe 包络线
)c o s ( tKe dt
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
当?2 <?02 时，根 s 为共轭虚数，
或 解答形式为：
响应属于 欠阻尼 (衰减振荡 )情况
LCL
R 1
2
2
结论：
)s i nc o s()( 21 tKtKetu ddtC
例 1 电路如图所示。已知 R=6?,L=1H,
C=0.04F,uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，
求电容电压和电感电流的零输入响应。
j43533122 22
2
21
LCL
R
L
Rs
，
解,1）先算出固有频率
3）利用初始值计算 K1,K2
uC(0)=3V iL(0)=0.28A 得到两个方程
7
04.0
28.0)0(43
d
)(d
3)0(
L
210
C
1C
C
iKK
t
tu
Ku
t
4）电容电压和电感电流的 零输入响应,
)0(A )74.734c os (e)]4s i n (24)4c os (7[e04.0
d
d
)(
)0( V)1.534c os (e5)]4s i n (44c os3[e)(
33c
L
33
c
tttt
t
u
Cti
tttttu
tt
tt
2）代入欠阻尼解答形式
)0(])4s i n (4c o s[e)( 213C ttKtKtu t
)0(A )74.734c os (e)]4s i n (24)4c os (7[e04.0
d
d
)(
)0( V)1.534c os (e5)]4s i n (44c os3[e)(
33c
L
33
c
tttt
t
u
Cti
tttttu
tt
tt
2,重要特殊情况当? = 0 时,
0js LC
1
0
共轭虚数
C
iK
dt
du L
t
C )0(
02
0
01)0( UKu CK1,K2由初始条件确定
tKtKtu ddC s i nc o s)( 21
4,当?2 = 0 时,R=0,s1,s2为共轭虚数 —
— 响应属于 无阻尼 (等幅振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
uC(t)
t
U0
U0
0
2
o
说明,R=0,uC是不 衰减的等幅振荡，
LC
1
0
称为谐振角频率。
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
0c o s)( 00 ttUtu C?
当?2 =0 时，根 s 为共轭虚数，
或 解答形式为：
响应属于 无阻尼 (等幅振荡 )情况
0?R
结论：
tKtKtu ddC s i nc o s)( 21
小结：
1,当?>?0时，是 过阻尼 (非振荡 )
2,当?=?0时，是 临界阻尼 (非振荡 )
3,当?<?0 时，是 欠阻尼 (衰减振荡 )
4,当?=0时，是 无阻尼 (等幅振荡 )
二阶电路零输入响应取决于 特征根 。
有四种解答形式：
t2t1C 21 eKeK)t(u
t21C e)tKK()t(u
)ts i nKtc o sK(e)t(u d2d1tC
tKtKtu 0201C s i nc o s)(
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根说明 1：能 量 解 释
R
L C
R L
C
+
_uC
iL
说明 2：
二阶电路中任一变量的固有频率都是相同的。
0 CLR uuu列方程：
由元件约束：
dt
duCii
dt
diLuRiu c
CL
L
LLR,,
012 LCsLRs
LCL
R
L
Rs 1)
2
(
2
2
2,1
发现,iL与 uC 的固有频率相同 。
02
2
LLL idtdiRCdt idLC
012
2
LLL i
LCdt
di
L
R
dt
id或：
解,1、列微分方程
SC
CC Uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
8? 5 直流 RLC 串联电路的完全响应已知 uC(0) = U0,
iL(0) = I0,
求 uC(t),t? 0
一、一般直流 RLC串联电路的完全响应
US
+
_uC
iL
t = 0 ＋ －
＋ －uR
uL
2、解微分方程
012 R C sL C s
CpChC uuu
SCp Uu?
与固有频率有关，有四种解答
Chu
全解：
特解：
通解：
012 LCsLRs
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
1,过阻尼
S
tt
C UeKeKtu
21
21)(
2,临界阻尼
3,欠阻尼
4,无阻尼
StC UetKKtu)()( 21
Sdd
t
C UtKtKetu
)s i nc o s()(
21
SC UtKtKtu 0201 s i nc o s)(
C
i
dt
du L
t
C )0(
0
)0(Cu
K1,K2由初始条件确定四种解答形式的 全响应：
例 1：已知 RLC串联电路,R=0,C=12F,L=3H,uC(0)=-5V,
iL(0)=0,US=10V,求,uC(t),t?0
解：
6
11
2,1 jLCjs 6
11
0 LC?
10s i nc o s)( 0201 tKtKtu C
US
+
_uC
iL
t = 0 ＋ －
＋ －uR
uL
SC
CC Uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
SC
C Uu
dt
udLC
2
2
510)0( 1 Ku C
0)0(02
0
C
iK
dt
du L
t
C? 0
15
2
1
K
K
10s i nc o s)( 0201 tKtKtu C
010
6
c o s15)(
tVttu
C
例 2：若?<?0，为欠阻尼
djs 220d
L2
R
LC
1
0
)ts i nKtc o sK(eu d2d1tCh
CpChC uuu
Sd2d1t U)ts i nKtc o sK(e
Sd2d1tC U)ts i nKtc o sK(e)t(u
定 K1,K2,01 UUK S
C
I
C
i
C
iKK LC
d
0
21
)0()0(
解得,S01 UUK
d
S00
2
)UU(CIK
)]s i n)(/c o s)[()( 000 tUUCItUUeUtu d
d
S
dS
t
SC
)]s i n)(c o s)[()( 000 tUUCItUUeUtu d
d
S
dS
t
SC
to
uC(t)
US
U0
二、欠阻尼直流 RLC电路的零状态响应令 U0＝ 0,I0＝ 0，得：
)]c o s (1[)( 0
teUtu
d
t
d
SC
t
d
d
dSSC ettUUtu
]s i n[ c o s)(
d
tg
1其中
t
US
0
uC(t)
1、峰值时间,
令 uc’(t)=0,有：
)]s i n ()co s ([)( 0' tteUtu dddt
d
sc
0)s i n ()c o s ( tt ddd
合并后有,0)s in (
0?td
)0(,.,,,3,2, nntd当：
uc’(t)有极值。即
)1(, nnt
d
m?
求 uc’’(t)：
)c os ()( 22
2
0''
teUtu
dd
t
d
sc
当：
...6,4,2
ddd
mt?
uc
’’(tm)>0,uc’(t)有极小值。
...5,3,
ddd
mt?
uc
’’(tm)<0,uc’(t)有极大值。
当
,
d
mt?
]1[)]c o s (1[)( 0 mm t
smd
t
d
SmC eUteUtu
d
mt?
称为 峰值时间 ； ]1[)( mtsmC eUtu 称为 峰值
%100]1[
)(
)()(
mm t
s
s
t
s
c
cmC e
U
UeU
u
utu称为 超调量
t
US
uC(tm)
d?
d?
3
d?
2
d?
4
例 3 电路如图所示，已知 R=6?,L=1H,C=0.04F,
uS(t)=?(t)V。求,t>0时电容电压的零状态响应。
解,t>0时,?(t)=1V，可作为直流激励处理。
1）先计算电路的固有频率
j43533122 22
2
21
LCL
R
L
Rs
，
12
2
CCC udtduRCdt udLC
2）得到全响应的表达式
)0(V}1)]4s i n ()4co s ([e{)( 213C ttKtKtu t ＋
3）利用初始值确定 K1,K2 uC(0)=0,iL(0)=0
043
d
)(d
01)0(
210
C
1C
KKt
tu
Ku
t
4）零状态响应
)0(V]1)1.1434c o s (e25.1[
V}1)]4s i n (75.0)4c o s ([e{)(
3
3
C
tt
tttu
t
t
32 LR? 422
0 d st
d
m 7 8 5 4.0
0 9 4 8.1]1[)( mtsmC eUtu?超调量＝ 9.48％
例 4：已知 C,L的初值为 0,t=0时开关闭合，
R＝ 50Ω,L＝ 0.06H,C＝ 1μF 。计算加工器的：
1）加工频率； 2）电容的最高充电电压。
R
-
+
300 v
L
C
t = 0
所以电路处于欠阻尼状态。
uc(t)为欠阻尼状态的零状态响应。
解：
t>0时,u(t)=300V,直流。
LCL
R
L
Rs 1
22
2
21
，
1）先计算电路的固有频率
R2＝ 502＝ 2500，
4L/C＝ 4× 0.06/10-6=240000
R2< 4L/C
3 0 02
2
CCC udtduRCdt udLC
+
uc
-
R
-
+
300 v
L
C
t = 0
开关闭合时，电容开始充电；充电到最高电压，
空隙击穿放电,产生电火花，一般可达 104度高温，加工工件。
tm 2tm 3tm
uc(t)
t
2）求 tm:
sr a d
L
R
LCd
/4060)
2
(1 2
mst
d
m 4.774 0 6 0
4）求工作频率：
Hz
t
f
m
12921
3）求峰值：
V516]1[)( mtsmC eUtu?
4172 LR?
结论,二阶电路一般分析步骤：
1.列电路方程,根据两个约束，确定未知量。
2.由特征方程求特征根 ;
3.根据根的性质确定解答形式,有四种
4.由 初始条件 确定 K1,K2,
C
i
dt
du L
t
C )0(
0
,)0(Cu
若 uC(0) 和 iL(0) 未知，与一阶电路求法相同：
画 t = 0-,0+时的等效电路，求 uC(0+) 和 iL(0+)
5.全响应：
CpChC uuu
SLpSCp IiUu,特解与一阶电路求法相同,
直流,
阶跃,
作业,P178,4,5,7
8? 6 GCL 并联电路的分析
t = 0
IS
iG iL iC
G L
+
uL
uC
C
+
解,iG + iL + iC = IS
02
2
tIidtdiGLdt idLC SLLL
dt
diGLGui L
LG
2
2
dt
idLC
dt
duCi LC
C
根据对偶性质
RLC,uC L C R US RLC二阶方程解答
GCL,iL C L G IS GCL二阶方程解答
sC
CC Uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
GCL并联电路的分析方法完全同 RLC串联电路。
例,1、要求右图的 u0(t)为等幅振荡,A应取何值？
已知初始状态为零。
2、求这时的 u0(t)。
R
R
Au 1
-
+
-
+
Us C
L
u 1 u 0
t = 0
解,1）电路变换；
C LR / 2
Au 1 / R
Us / R
u 1
iR iC iL
由 KCL：
R
Au
R
Uiii s
LCR
1
2）布列微分方程：
C LR / 2
Au 1 / R
Us / R
u 1
iR iC iL
由 VAR：
duLidtduCiRui tLCR )(1,,2 111?
所以：
R
Au
R
Udu
Ldt
duC
R
u st 1
1
11 2)(12
两边微分并整理得：
0)(1)()(2 1''1'1 tuLtCutuR A
特征方程：
0122 LCsRC As
要使 u1(t)为等幅振荡，必须：
02RC A 2?A
即：
3）求 u0(t)：
02,1?js
tKtKtu 02011 s i nc o s)(
由初始条件：
0)0( 11 Ku
C
i
K
tKtKtu
C
tt
)0(
]c o ss i n[)(
02
00020010
'
1
C LR / 2 Au 1 / R = 0Us / R
u 1
iR ( 0 ) iC ( 0 + ) iL
如右图，
R
Ui s
C )0(
RC
UK s?
02?
所以：
C LR / 2
Au 1 / R
Us / R
u 1
iR iC iL
R
LU
RC
UK ss
0
2?
所以：
tRLUtu s 01 s i n)(
tRA L UtAutu s 010 s i n)()( LC
1
0
本题的要点,1）如何布列微分方程；
2）如何求初始条件 ic(0+)。
本 章 小 结
1 掌握二阶电路微分方程、特征方程的建立 ；
2 会求固有频率，判断电路响应的性质；
3 掌握 RLC串联电路的零输入响应；
4 了解全响应及 GCL并联电路 全响应。
作业,P182,21
8-1 LC电路中的正弦振荡
8-2 RLC电路的零输入响应－过阻尼情况
8-3 RLC电路的零输入响应－临界阻尼情况
8-4 RLC电路的零输入响应－欠阻尼情况
8-5 直流 RLC电路的完全响应
8-6 GLC并联电路的分析
8-7 一般二阶电路
1,什么是二阶电路?
变量用二阶微分方程描述的电路；
从结构上看，含有两个独立 初始状态 动态元件的电路。
引言
2,二阶电路的分析方法：
根据两类约束，列写二阶电路微分方程；
求特征方程的根，即固有频率；
根据根的性质确定解答形式（公式）。
初始状态求解与一阶电路方法相同。
8?1 LC 电路中的正弦振荡
C L +
_uL
iL
uC
+
_
已知,uC(0) = U0,iL(0) = 0。
求,uC(t),iL(t),t? 0。
一、定量分析
iL
已知 uC(0) = 1V,iL(0) = 0
L = 1 H C = 1 F
dt
du
dt
du
Cii
dt
di
dt
di
Luu
CC
CL
LL
LC
02
2
CC udt ud得到二阶微分方程：
ttu C cos)(?解答形式：
JCuLitw 212121)( 22
储能：
tti L s in)(
C LuC
+
_ uL
+
_
二,LC 振荡电路波形 C L
+
_uL
iL
uC
+
_
已知 uC(0) = U0
iL(0) = 0
t1
t1
t2
t2
t3
t3 t4
t4
t5
t5
t6
t6
t7
t7
t8
t8
t9
t9
t10
t10
t11
t11
t12
t12
4
T
4
T
2
T
2
T
4T3
4T3
T
T
uC(t)
iL(t)
U0
U0
o
o
Im
Im
t
t
ttu C cos)(?
ttiL sin)(?
三,LC 电路振荡的物理过程：
1,[0,1/4T],C放电,L充电，电场能向磁场能转化；
2,[1/4T,1/2T],L放电,C反向充电，磁场能向电场能转化；
3,[1/2T,3/4T],C放电,L反向充电，电场能向磁场能转化；
4,[3/4T,T],L放电,C充电，磁场能向电场能转化。
四,结论,
纯 LC电路,储能在电场和磁场之间往返转移，
产生振荡的电压和电流。振荡是等幅的。
若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？
8?2 RLC串联电路的零输入响应 —— 过阻尼情况已知 uC(0) = U0
iL(0) = 0
求 uC(t),iL(t),t? 0
解：
0 CRL uuu由 KVL：
02
2
CCC udtduRCdt udLC得二阶微分方程：
由元件约束：
dt
duCii
dt
diLuRiu c
CL
L
LLR,,
t = 0
uR L
C
iL
+
_uC
＋ －
＋ uL－R
012
2
CCC uLCdtduLRdt ud
RLC串联电路的零输入响应求 uC(t),iL(t),t? 0
解：
0 CRL uuu由 KVL：
得二阶微分方程：
由元件约束：
dt
duCii
dt
diLuRiu c
CL
L
LLR,,
t = 0
uR L
C
iL
+
_uC
＋ －
＋ uL－R
012
2
CCC uLCdtduLRdt ud
特征方程
012 LCsLRs
令
,2LR,1 20
LC 01LC
2
0
2
2,1s
s — 固有频率（特征根）
— 衰减系数
0 — 谐振 (角 )频率
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根讨论：
1,当?2 >?02时,s1,s2为不相等的负实数 —
— 响应属于 过阻尼 (非振荡 )情况
2,当?2 =?02 时,s1 = s2 为相等的负实数 —
— 响应属于 临界阻尼 (非振荡 )情况
3,当?2 ＜?02 时,s1,s2为共轭复数 —
— 响应属于 欠阻尼 (衰减振荡 )情况
4,当?2 = 0 时,R=0,s1,s2为共轭虚数 —
— 响应属于 无阻尼 (等幅振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根齐次方程解,tstsC eKeKtu 21 21)(
1,当?2 >?02时,s1,s2为不相等的负实数 —
— 响应属于 过阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
1 1 2 2
0
( 0 ) CL
t
dui S K S K
C d t
21)0( KKu CK1,K2由初始条件确定
t = 0
uR L
C
iL
+
_uC
＋ －
＋ uL－R
齐次方程解,tsts
C eKeKtu 21 21)(
ttLttCC ee
C
ieeutu
2121
12
12
12
)0()0()(
C
ius
ssK
L
C
)0()0(1
2
12
1
C
ius
ssK
L
C
)0()0(1
1
21
2
解得：
令：
11s 22s
其中?2 >?1 > 0
ttCC eeutu 21 12
12
)0()(
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
2112
21
( 0 )() ttCC
L
d u u Ci t C e e
dt
to
U0
iL
uC
物义,iL(t) ＜ 0，电容始终放电,uC单调下降，属 非振荡。
O
f(t)
te 12
te 21
t
1?
2?
2 >?1 > 0
（ 2）当 uC(0) = 0 iL(0) = I0
ttLL eeiti 12 12
12
)0()(
to
uC iLI
0
iL
uC
物义,iL(0)= I0后,C充电,iL= 0后,C放电,电阻消耗大，
属 非振荡。
ttL
C eeC
itu 21
12
)0()(
O
f(t)
te 22
te 11
t
2?
1?
2 >?1 > 0
（ 3）当 uC(0) = U0 iL(0) = I0
例 8-2,C=1/4F,L=1/2H,R=3Ω,uC(0)=2V,iL(0)=1A
131)2(2 22,1 LCLRLRs 4
2
2
1
s
s
tttstsC eeeKeKtu 4221 46)( 21
2)0( 21 KKu C
4)0(2211
0
CiKSKSdtdu LC 4
6
2
1
K
K
ttC
L eedt
duCti 24 34)(
tO
uC(t)
2
te 44
te 26?
to
iL(t)
1
te 23
te 44?
tttstsC eeeKeKtu 4221 46)( 21
ttC
L eedt
duCti 24 34)(
当?2 >?0 2 时，根 s 为不相等的负实数，
t
2
t
1C
21 eKeK)t(u
或 解答形式为：
响应属于 过阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R 1
2
2
结论：
作业,P139,8-2
21 ss
8?3 RLC串联电路的零输入响应 —— 临界阻尼情况
01)0( UKu CK1,K2由初始条件确定
C
iKU
dt
du C
t
C )0(
20
0
t21C e)tKK()t(u齐次方程解：
2,当?2 =?02 时,s1 = s2 为相等的负实数 —
— 响应属于 临界阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
tc
C etC
itUUtu )0()(
00
0,0)1(
0
tte
C
ietU tct
8?3 RLC串联电路的零输入响应 —— 临界阻尼情况
t21C e)tKK()t(u齐次方程解：
C
iUK c 0
02
02 UK?
解得
0)( 00 tteUeUtu ttC
t
uC(t)
Uo
o
说明：电路是非振荡，处于临界状态，称为临界阻尼。
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
当?2 =?02 时，根 s 为相等的负实数，
tC etKKtu 21)(
或 解答形式为：
响应属于 临界阻尼 (非振荡 )情况
LCL
R 1
2
2
结论：
作业,P141,8-3
8?4 RLC串联电路的零输入响应 —— 欠阻尼情况
djjs 2
2
0
2
022,1
220d式中
)ts i nKtc o sK(e)t(u d2d1tC
)KKa r c t gtc o s (KKe
1
2
d
2
2
2
1
t
齐次方程解：
3,当?2 ＜?02 时,s1,s2为共轭复数 —
— 响应属于 欠阻尼 (衰减振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
d
c
d C
iUKUK
0,0
201
t
C
iUtUetu
d
d
c
d
d
t
C
s i n0c o s)( 0
0
C
iKK
dt
du C
d
t
C )0(
12
0
01)0( UKu CK
1,K2由初始条件确定
)ts i nKtc o sK(e)t(u d2d1tC
)KKa r c t gtc o s (KKe
1
2
d
2
2
2
1
t
齐次方程解：
)ts i nUtc o sU(e)t(u d
d
0
d0
t
C
0t,)a r c t gtc o s (Ue
d
d
d
0
0
t?
说明：角频率?d,衰减系数 α 的衰减振荡。
to
uC(t)
d
2
d
arctg
U0
tKe
tKe 包络线
)c o s ( tKe dt
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
当?2 <?02 时，根 s 为共轭虚数，
或 解答形式为：
响应属于 欠阻尼 (衰减振荡 )情况
LCL
R 1
2
2
结论：
)s i nc o s()( 21 tKtKetu ddtC
例 1 电路如图所示。已知 R=6?,L=1H,
C=0.04F,uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，
求电容电压和电感电流的零输入响应。
j43533122 22
2
21
LCL
R
L
Rs
，
解,1）先算出固有频率
3）利用初始值计算 K1,K2
uC(0)=3V iL(0)=0.28A 得到两个方程
7
04.0
28.0)0(43
d
)(d
3)0(
L
210
C
1C
C
iKK
t
tu
Ku
t
4）电容电压和电感电流的 零输入响应,
)0(A )74.734c os (e)]4s i n (24)4c os (7[e04.0
d
d
)(
)0( V)1.534c os (e5)]4s i n (44c os3[e)(
33c
L
33
c
tttt
t
u
Cti
tttttu
tt
tt
2）代入欠阻尼解答形式
)0(])4s i n (4c o s[e)( 213C ttKtKtu t
)0(A )74.734c os (e)]4s i n (24)4c os (7[e04.0
d
d
)(
)0( V)1.534c os (e5)]4s i n (44c os3[e)(
33c
L
33
c
tttt
t
u
Cti
tttttu
tt
tt
2,重要特殊情况当? = 0 时,
0js LC
1
0
共轭虚数
C
iK
dt
du L
t
C )0(
02
0
01)0( UKu CK1,K2由初始条件确定
tKtKtu ddC s i nc o s)( 21
4,当?2 = 0 时,R=0,s1,s2为共轭虚数 —
— 响应属于 无阻尼 (等幅振荡 )情况
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根
uC(t)
t
U0
U0
0
2
o
说明,R=0,uC是不 衰减的等幅振荡，
LC
1
0
称为谐振角频率。
（ 1）当 uC(0) = U0 iL(0) = 0
0c o s)( 00 ttUtu C?
当?2 =0 时，根 s 为共轭虚数，
或 解答形式为：
响应属于 无阻尼 (等幅振荡 )情况
0?R
结论：
tKtKtu ddC s i nc o s)( 21
小结：
1,当?>?0时，是 过阻尼 (非振荡 )
2,当?=?0时，是 临界阻尼 (非振荡 )
3,当?<?0 时，是 欠阻尼 (衰减振荡 )
4,当?=0时，是 无阻尼 (等幅振荡 )
二阶电路零输入响应取决于 特征根 。
有四种解答形式：
t2t1C 21 eKeK)t(u
t21C e)tKK()t(u
)ts i nKtc o sK(e)t(u d2d1tC
tKtKtu 0201C s i nc o s)(
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
特征根说明 1：能 量 解 释
R
L C
R L
C
+
_uC
iL
说明 2：
二阶电路中任一变量的固有频率都是相同的。
0 CLR uuu列方程：
由元件约束：
dt
duCii
dt
diLuRiu c
CL
L
LLR,,
012 LCsLRs
LCL
R
L
Rs 1)
2
(
2
2
2,1
发现,iL与 uC 的固有频率相同 。
02
2
LLL idtdiRCdt idLC
012
2
LLL i
LCdt
di
L
R
dt
id或：
解,1、列微分方程
SC
CC Uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
8? 5 直流 RLC 串联电路的完全响应已知 uC(0) = U0,
iL(0) = I0,
求 uC(t),t? 0
一、一般直流 RLC串联电路的完全响应
US
+
_uC
iL
t = 0 ＋ －
＋ －uR
uL
2、解微分方程
012 R C sL C s
CpChC uuu
SCp Uu?
与固有频率有关，有四种解答
Chu
全解：
特解：
通解：
012 LCsLRs
LCL
R
L
Rs 1)
2(2
2
2,1
1,过阻尼
S
tt
C UeKeKtu
21
21)(
2,临界阻尼
3,欠阻尼
4,无阻尼
StC UetKKtu)()( 21
Sdd
t
C UtKtKetu
)s i nc o s()(
21
SC UtKtKtu 0201 s i nc o s)(
C
i
dt
du L
t
C )0(
0
)0(Cu
K1,K2由初始条件确定四种解答形式的 全响应：
例 1：已知 RLC串联电路,R=0,C=12F,L=3H,uC(0)=-5V,
iL(0)=0,US=10V,求,uC(t),t?0
解：
6
11
2,1 jLCjs 6
11
0 LC?
10s i nc o s)( 0201 tKtKtu C
US
+
_uC
iL
t = 0 ＋ －
＋ －uR
uL
SC
CC Uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
SC
C Uu
dt
udLC
2
2
510)0( 1 Ku C
0)0(02
0
C
iK
dt
du L
t
C? 0
15
2
1
K
K
10s i nc o s)( 0201 tKtKtu C
010
6
c o s15)(
tVttu
C
例 2：若?<?0，为欠阻尼
djs 220d
L2
R
LC
1
0
)ts i nKtc o sK(eu d2d1tCh
CpChC uuu
Sd2d1t U)ts i nKtc o sK(e
Sd2d1tC U)ts i nKtc o sK(e)t(u
定 K1,K2,01 UUK S
C
I
C
i
C
iKK LC
d
0
21
)0()0(
解得,S01 UUK
d
S00
2
)UU(CIK
)]s i n)(/c o s)[()( 000 tUUCItUUeUtu d
d
S
dS
t
SC
)]s i n)(c o s)[()( 000 tUUCItUUeUtu d
d
S
dS
t
SC
to
uC(t)
US
U0
二、欠阻尼直流 RLC电路的零状态响应令 U0＝ 0,I0＝ 0，得：
)]c o s (1[)( 0
teUtu
d
t
d
SC
t
d
d
dSSC ettUUtu
]s i n[ c o s)(
d
tg
1其中
t
US
0
uC(t)
1、峰值时间,
令 uc’(t)=0,有：
)]s i n ()co s ([)( 0' tteUtu dddt
d
sc
0)s i n ()c o s ( tt ddd
合并后有,0)s in (
0?td
)0(,.,,,3,2, nntd当：
uc’(t)有极值。即
)1(, nnt
d
m?
求 uc’’(t)：
)c os ()( 22
2
0''
teUtu
dd
t
d
sc
当：
...6,4,2
ddd
mt?
uc
’’(tm)>0,uc’(t)有极小值。
...5,3,
ddd
mt?
uc
’’(tm)<0,uc’(t)有极大值。
当
,
d
mt?
]1[)]c o s (1[)( 0 mm t
smd
t
d
SmC eUteUtu
d
mt?
称为 峰值时间 ； ]1[)( mtsmC eUtu 称为 峰值
%100]1[
)(
)()(
mm t
s
s
t
s
c
cmC e
U
UeU
u
utu称为 超调量
t
US
uC(tm)
d?
d?
3
d?
2
d?
4
例 3 电路如图所示，已知 R=6?,L=1H,C=0.04F,
uS(t)=?(t)V。求,t>0时电容电压的零状态响应。
解,t>0时,?(t)=1V，可作为直流激励处理。
1）先计算电路的固有频率
j43533122 22
2
21
LCL
R
L
Rs
，
12
2
CCC udtduRCdt udLC
2）得到全响应的表达式
)0(V}1)]4s i n ()4co s ([e{)( 213C ttKtKtu t ＋
3）利用初始值确定 K1,K2 uC(0)=0,iL(0)=0
043
d
)(d
01)0(
210
C
1C
KKt
tu
Ku
t
4）零状态响应
)0(V]1)1.1434c o s (e25.1[
V}1)]4s i n (75.0)4c o s ([e{)(
3
3
C
tt
tttu
t
t
32 LR? 422
0 d st
d
m 7 8 5 4.0
0 9 4 8.1]1[)( mtsmC eUtu?超调量＝ 9.48％
例 4：已知 C,L的初值为 0,t=0时开关闭合，
R＝ 50Ω,L＝ 0.06H,C＝ 1μF 。计算加工器的：
1）加工频率； 2）电容的最高充电电压。
R
-
+
300 v
L
C
t = 0
所以电路处于欠阻尼状态。
uc(t)为欠阻尼状态的零状态响应。
解：
t>0时,u(t)=300V,直流。
LCL
R
L
Rs 1
22
2
21
，
1）先计算电路的固有频率
R2＝ 502＝ 2500，
4L/C＝ 4× 0.06/10-6=240000
R2< 4L/C
3 0 02
2
CCC udtduRCdt udLC
+
uc
-
R
-
+
300 v
L
C
t = 0
开关闭合时，电容开始充电；充电到最高电压，
空隙击穿放电,产生电火花，一般可达 104度高温，加工工件。
tm 2tm 3tm
uc(t)
t
2）求 tm:
sr a d
L
R
LCd
/4060)
2
(1 2
mst
d
m 4.774 0 6 0
4）求工作频率：
Hz
t
f
m
12921
3）求峰值：
V516]1[)( mtsmC eUtu?
4172 LR?
结论,二阶电路一般分析步骤：
1.列电路方程,根据两个约束，确定未知量。
2.由特征方程求特征根 ;
3.根据根的性质确定解答形式,有四种
4.由 初始条件 确定 K1,K2,
C
i
dt
du L
t
C )0(
0
,)0(Cu
若 uC(0) 和 iL(0) 未知，与一阶电路求法相同：
画 t = 0-,0+时的等效电路，求 uC(0+) 和 iL(0+)
5.全响应：
CpChC uuu
SLpSCp IiUu,特解与一阶电路求法相同,
直流,
阶跃,
作业,P178,4,5,7
8? 6 GCL 并联电路的分析
t = 0
IS
iG iL iC
G L
+
uL
uC
C
+
解,iG + iL + iC = IS
02
2
tIidtdiGLdt idLC SLLL
dt
diGLGui L
LG
2
2
dt
idLC
dt
duCi LC
C
根据对偶性质
RLC,uC L C R US RLC二阶方程解答
GCL,iL C L G IS GCL二阶方程解答
sC
CC Uu
dt
duRC
dt
udLC
2
2
GCL并联电路的分析方法完全同 RLC串联电路。
例,1、要求右图的 u0(t)为等幅振荡,A应取何值？
已知初始状态为零。
2、求这时的 u0(t)。
R
R
Au 1
-
+
-
+
Us C
L
u 1 u 0
t = 0
解,1）电路变换；
C LR / 2
Au 1 / R
Us / R
u 1
iR iC iL
由 KCL：
R
Au
R
Uiii s
LCR
1
2）布列微分方程：
C LR / 2
Au 1 / R
Us / R
u 1
iR iC iL
由 VAR：
duLidtduCiRui tLCR )(1,,2 111?
所以：
R
Au
R
Udu
Ldt
duC
R
u st 1
1
11 2)(12
两边微分并整理得：
0)(1)()(2 1''1'1 tuLtCutuR A
特征方程：
0122 LCsRC As
要使 u1(t)为等幅振荡，必须：
02RC A 2?A
即：
3）求 u0(t)：
02,1?js
tKtKtu 02011 s i nc o s)(
由初始条件：
0)0( 11 Ku
C
i
K
tKtKtu
C
tt
)0(
]c o ss i n[)(
02
00020010
'
1
C LR / 2 Au 1 / R = 0Us / R
u 1
iR ( 0 ) iC ( 0 + ) iL
如右图，
R
Ui s
C )0(
RC
UK s?
02?
所以：
C LR / 2
Au 1 / R
Us / R
u 1
iR iC iL
R
LU
RC
UK ss
0
2?
所以：
tRLUtu s 01 s i n)(
tRA L UtAutu s 010 s i n)()( LC
1
0
本题的要点,1）如何布列微分方程；
2）如何求初始条件 ic(0+)。
本 章 小 结
1 掌握二阶电路微分方程、特征方程的建立 ；
2 会求固有频率，判断电路响应的性质；
3 掌握 RLC串联电路的零输入响应；
4 了解全响应及 GCL并联电路 全响应。
作业,P182,21
