1－ 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律是任何集总参数电路都适用的基本定律,它包括电流定律和电压定律 。 基尔霍夫电流定律描述电路中各电流的约束关系,基尔霍夫电压定律描述电路中各电压的约束关系 。
一、电路的几个名词二、基尔霍夫电流定律三、基尔霍夫电压定律一,电路的几个名词
(1) 支路,一个二端元件视为一条支路,其电流和电压分别称为 支路电流 和 支路电压 。 下图所示电路共有 6条支路 。
电路由电路元件相互连接而成。在叙述基尔霍夫定律之前，需要先介绍电路的几个名词。
u1
(2) 节点,两个或两个以上电路元件的连接点称为结点 。
图示电路中,a,b,c点是节点,d点和 e点间由理想导线相连，应视为一个节点。该电路共有 4个节点。
(3) 回路,由支路组成的 闭合路径 称为回路 。
图示电路中 {1,2},{1,3,4},{1,3,5,6},{2,3,4}、
{2,3,5,6}和 {4,5,6}都是回路 。
(4) 网孔,将电路画在平面上内部不含有支路的回路,
称为网孔 。
图示电路中的 {1,2},{2,3,4}和 {4,5,6}回路都是网孔 。
网孔与平面电路的画法有关,例如将图示电路中的支路 1和支路 2交换位置,则三个网孔变为注,平面电路 是指能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路。
{1,2},{1,3,4}和 {4,5,6}。
{1,2},{2,3,4}和 {4,5,6}是网孔。
二、基尔霍夫电流定律 （ Kirchhoff’s Current Law,KCL）
1、电荷守恒：电荷既不能创造，也不能消灭，
是自然界的基本法则。
在下图中，假定单位时间内有分别 q1和 q2的电荷从支路 1和 2流入节点 a,q3为流出的电荷。电荷在节点 a不能积聚，也不会消失，所以：
q1+q2=q3;
i1
i2
i3aq1
q2
q3
dq1/dt+dq2/dt=dq3/dt;
即,i1+i2=i3，或 i1+i2+(-i3)=0。
2,KCL的表述一：
对于集总电路中的任一节点，在任意时刻，流进
（或流出）该节点的所有支路电流的代数和为 0，即：
对电路某节点列写 KCL方程时，可规定,
流进 该节点的支路电流取 正号,
流出 该节点的支路电流取 负号,或者相反 。
K
k
k ti
1
0)(
1i
2i
ki
Ki
是否所有节点都有这一规律？问题：
例如下图所示电路中的 a,b,c,d 4个节点写出的 KCL方程 分别为：
0321 iii
06421 iiii
065 ii
0543 iii
KCL方程是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程，
它对连接到该节点的各支路电流施加了线性约束。
节点 a,节点 b：
节点 c：
节点 d：
若已知 i1=1A,i3=3A和 i5=5A，则由 KCL可求得：
A4A3A1 0 312321 iiiiii
A2A5A30 534543 iiiiii
A50 5665 iiii
3A 5A
1A
此例说明，根据 KCL，可以从一些电流求出另一些电流。
-4A -2A 5A
3,KCL的表述二：
KCL不仅适用于节点,也适用于任何假想的封闭面,即流入
（ 或流出 ） 任一封闭面的全部支路电流的代数和等于零 。
0643 iii
注意：节点的
KCL方程可以视为封闭面只包围一个节点的特殊情况。
例如对图示电路中虚线表示的封闭面,写出的 KCL方程为：
3,KCL的表述三：
流入封闭面 （ 节点 ） 的所有支路电流的代数和,等于流出该封闭面 （ 节点 ） 的所有支路电流的代数和 。
i = 0
由此可以断言：当两个单独的电路只用一条导线相连接时,
此导线中的电流必定为零 。
求图 l－ 3－ 1电路中的电流 i.
思考与练习
A3 0A2A1 ii
三、基尔霍夫电压定律
1、能量守恒法则：
在任意单位时间内，电路中产生和消耗的能量必须相等，
或所有元件能量的代数和为零。
因此可以得到电路的 功率守恒法则,在任意时刻，电路中产生的功率和消耗的功率相等，或所有元件功率的代数和为零。
1 2
34 5
在下图中，
根据功率守恒法则，我们有,P1+P2+P3+P4+P5=0
由这两个等式你可发现什麽规律？
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0U I U I U I U I U I
1 1 1P U I 2 2 2P U I 3 3 3P U I 4 4 4P U I 5 5 5P U I
即：
由 KCL,3 1 2I I I 14II25II?
所以,1 1 2 2 3 1 2 4 1 5 2 0U I U I U I I U I U I
1 1 3 4 2 2 3 5 0I U U U I U U U
1 3 4 0U U U 2 3 5 0U U U
2,基尔霍夫电压定律 (Kirchhoff's Voltage Law,KVL）,
K
k
k tu
1
0)(
对于集总参数电路的任一回路，在任一时刻，沿该回路全部支路电压降（设有 K个）的代数和等于零。
其数学表达式为：
在列写回路 KVL方程时,其电压参考方向与回路绕行方向 相同 的支路电压取 正号,与绕行方向 相反 的支路电压取负号 。
例如对图 1－ 11电路的三个回路，沿顺时针方向绕行回路一周，写出的 KVL方程 为：
KVL方程是以支路电压为变量的常系数线性齐次代数方程，它对支路电压施加了线性约束。
03421 uuuu
0245 uuu
0135 uuu
1 2
3
回路 1：
回路 2：
回路 3：
例如图 1－ 11电路中，若已知 u1=1V,u2=2V和 u5=5V，则由
KVL可求得：
V4V5V1513 uuu
V7V5V)2(524 uuu
u1=1V
u2=－ 2V
u5=5V
0135 uuu
0245 uuu
注意这里有两套符号！！
KVL可以从由支路组成的回路,推广到任一闭合的节点序列,
即在任一时刻,沿任一闭合节点序列的各段电压 (不一定是支路电压 )的代数和等于零 。
对图 l－ 11电路中闭合节点序列 abca和 abda列出 KVL方程分别为：,
dbadbddaab
dabdab 0
uuuuu
uuu
cbacbccaab
cabcab 0
uuuuu
uuu
这表明电路中任两节点间电压 uab等于从 a点到 b点的任一路径上各段电压的代数和。
从以上叙述可见：
m
k
kuu
2
1
KVL定律的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电压，求出另外一些支路电压，即集总参数电路中任一支路电压等于与其处于同一回路 (或闭合路径 )的其余支路电压的代数和，即或集总参数电路中任两结点间电压 uab等于从 a
点到 b点的任一路径上各段电压的代数和，即
jbijcdacab,..,uuuuu
由支路组成的回路可以视为闭合节点序列的特殊情况。 沿电路任一闭合路径 (回路或闭合节点序列 )各段电压代数和等于零，意味着单位正电荷沿任一闭合路径移动时能量不能改变,这表明 KVL
是能量守恒定律的体现。
综上所述，可以看到：
(l) KCL对电路中任一节点 (或封闭面 )的各支路电流施加了线性约束，是电荷守恒运用于集总电路的结果。
(2) KVL对电路中任一回路 (或闭合结点序列 )
的各支路电压施加了线性约束，是能量守恒运用于集总电路的结果。
(3) KCL和 KVL适用于任何集总参数电路、与电路元件的性质无关。
思考题,P27,1－ 3
作业：习题一,P87,6
l－ 4 电阻元件集总参数电路 (模型 )由电路元件连接而成。电路元件是为建立实际电气器件的模型而提出的一种理想元件，它们都有精确的定义。按电路元件与外电路连接端点的数目，
电路元件可分为二端元件、三端元件、四端元件等。本节先介绍一种常用的二端电阻元件。
(a) 二端元件 (b) 三端元件 (c) 四端元件常用的各种二端器件电阻器晶体二极管在物理课中学过的遵从欧姆定律的电阻,是一种最常用的线性电阻元件 (简称电阻 )。 随着电子技术的发展和电路分析的需要,有必要将线性电阻的概念加以扩展,提出电阻元件的一般定义 。
一、二端电阻
0),(?iuf
如果一个二端元件在任一时刻的电压 u与其电流 i 的关系，由 u-i平面上一条曲线确定，则此二端元件称为二端电阻元件，其数学表达式为这条曲线称为电阻的特性曲线（一般是在关联的参考方向下）。它表明了电阻电压与电流间的约束关系 (Voltage
Ampere Relationship，简称为 VAR)。
电阻的分类：
1,线性电阻与非线性电阻其特性曲线为通过坐标原点直线的电阻,称为线性电阻；否则称为非线性电阻 。
2,时变电阻与时不变电阻其特性曲线随时间变化的电阻,称为时变电阻；否则称为时不变电阻或定常电阻 。
a) 线性时不变电阻
b)线性时变电阻 d)非线性时变电阻
c)非线性时不变电阻实验表明：
在低频工作条件下，
晶体二极管的电压电流关系是 ui平面上通过坐标原点的一条曲线。
用晶体管特性图示器测量晶体二极管的电压电流关系。
二、线性电阻
1,线性时不变电阻的特性曲线是通过 u-i平面 (或 i-u平面 )
原点的一条不随时间变化的直线。如图所示。
2,线性时不变电阻的电压电流关系由欧姆定律描述,其数学表达式为
)151( Riu
)161( Gui
或式中 R 称为电阻，其 SI单位为欧 [姆 ](Ω)
G 称为电导，其 SI单位为西 [门子 ](S)
实验表明：
在低频工作条件下，
电阻器的电压电流关系是
ui平面上通过坐标原点的一条直线。
用晶体管特性图示器测量二端电阻器的电压电流关系。
3,线性电阻有两种值得注意的特殊情况 —— 开路和短路 。
(a)开路 的电压电流关系曲线。
(b)短路 的电压电流关系曲线。
4,线性时不变电阻在 t时刻吸收的功率为 (u,i为关联方向 ）,
)()()()()( 22 tGutRititutp
当 R>0 (或 G >0)时,p?0，这表明 正电阻总是吸收功率，不可能发出功率 。 当 R<0 (或 G<0)时，
p?0，这表明 负电阻可以发出功率 。
注意,根据电阻的一般性定义,u-i平面上斜率为负的特性曲线表征的元件也属于电阻元件，称为负电阻。
（利用电子电路可以实现）
通常，电阻是指具有正实常数的线性正电阻线性时不变电阻在 t时刻吸收的能量为 (u,i为关联方向 ）,
t diutW )()()(
线性时不变电阻在 t0到 t1时刻吸收的能量为：
10 )()(),( 10 tt diuttW
如果 W(t)对所有的 t都 ≥0,则此元件为 无源 元件,也就是说不向外电路提供能量 。 否则为 有源 元件 。
正电阻属于无源元件,吸收的能量转化为热能而散失 。
负电阻元件属于有源元件 。
例 l-2 图示电路中,已知 R1=12?,R2=8?,R3=6?,R4=4?,
R5=3?,R6=1? 和 i6=1A。
试求 a,b,c,d各点的 电位 和各电阻的吸收功率 。
V1A1166ded iRuu
A4A28/V16/ 32be321 iRuiii
V16V4A26c33cebcb uiRuuu
A2A14/V4/ 54ce543 iRuiii
V4V1A13d55decdcec uiRuuuu
A165 ii
V64V16A41211 bbeaba uiRuuu
R1=12?
R2=8?
R3=6?
R4=4?
R5=3?
R6=1?
i6=1A
W1W11
W3W13
W4W14
W24W26
W32W28
W1 9 2W412
22
666
22
555
22
444
22
333
22
222
22
111
iRp
iRp
iRp
iRp
iRp
iRp
线性电阻元件是由实际电阻器抽象出来的理想化模型，常用来模拟各种电阻器和其它电阻性器件。
三、线性电阻元件与 电阻器以电阻丝绕成的线绕电阻器为例，当电流通过这类电阻器时，除了克服电阻所产生的正比于电流的电压外，交变电流产生的交变磁场还会在电阻器上产生感应电压。
因此，当线绕电阻器工作在直流条件下，可用一个线性电阻来模拟 [图 (a)]，而工作在交流条件下，有时需用一个电阻与电感串联来模拟 [图
(b)]。
在电子设备中使用的 碳膜电位器,实心电位器和线绕电位器是一种三端电阻器件，它有一个滑动接触端和两个固定端 [图 (a)]。在直流和低频工作时，电位器可用两个可变电阻串联来模拟 [图 (b)]。电位器的滑动端和任一固定端间的电阻值，可以从零到标称值间连续变化，可作为可变电阻器使用。
一、电路的几个名词二、基尔霍夫电流定律三、基尔霍夫电压定律一,电路的几个名词
(1) 支路,一个二端元件视为一条支路,其电流和电压分别称为 支路电流 和 支路电压 。 下图所示电路共有 6条支路 。
电路由电路元件相互连接而成。在叙述基尔霍夫定律之前，需要先介绍电路的几个名词。
u1
(2) 节点,两个或两个以上电路元件的连接点称为结点 。
图示电路中,a,b,c点是节点,d点和 e点间由理想导线相连，应视为一个节点。该电路共有 4个节点。
(3) 回路,由支路组成的 闭合路径 称为回路 。
图示电路中 {1,2},{1,3,4},{1,3,5,6},{2,3,4}、
{2,3,5,6}和 {4,5,6}都是回路 。
(4) 网孔,将电路画在平面上内部不含有支路的回路,
称为网孔 。
图示电路中的 {1,2},{2,3,4}和 {4,5,6}回路都是网孔 。
网孔与平面电路的画法有关,例如将图示电路中的支路 1和支路 2交换位置,则三个网孔变为注,平面电路 是指能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路。
{1,2},{1,3,4}和 {4,5,6}。
{1,2},{2,3,4}和 {4,5,6}是网孔。
二、基尔霍夫电流定律 （ Kirchhoff’s Current Law,KCL）
1、电荷守恒：电荷既不能创造，也不能消灭，
是自然界的基本法则。
在下图中，假定单位时间内有分别 q1和 q2的电荷从支路 1和 2流入节点 a,q3为流出的电荷。电荷在节点 a不能积聚，也不会消失，所以：
q1+q2=q3;
i1
i2
i3aq1
q2
q3
dq1/dt+dq2/dt=dq3/dt;
即,i1+i2=i3，或 i1+i2+(-i3)=0。
2,KCL的表述一：
对于集总电路中的任一节点，在任意时刻，流进
（或流出）该节点的所有支路电流的代数和为 0，即：
对电路某节点列写 KCL方程时，可规定,
流进 该节点的支路电流取 正号,
流出 该节点的支路电流取 负号,或者相反 。
K
k
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1
0)(
1i
2i
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是否所有节点都有这一规律？问题：
例如下图所示电路中的 a,b,c,d 4个节点写出的 KCL方程 分别为：
0321 iii
06421 iiii
065 ii
0543 iii
KCL方程是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程，
它对连接到该节点的各支路电流施加了线性约束。
节点 a,节点 b：
节点 c：
节点 d：
若已知 i1=1A,i3=3A和 i5=5A，则由 KCL可求得：
A4A3A1 0 312321 iiiiii
A2A5A30 534543 iiiiii
A50 5665 iiii
3A 5A
1A
此例说明，根据 KCL，可以从一些电流求出另一些电流。
-4A -2A 5A
3,KCL的表述二：
KCL不仅适用于节点,也适用于任何假想的封闭面,即流入
（ 或流出 ） 任一封闭面的全部支路电流的代数和等于零 。
0643 iii
注意：节点的
KCL方程可以视为封闭面只包围一个节点的特殊情况。
例如对图示电路中虚线表示的封闭面,写出的 KCL方程为：
3,KCL的表述三：
流入封闭面 （ 节点 ） 的所有支路电流的代数和,等于流出该封闭面 （ 节点 ） 的所有支路电流的代数和 。
i = 0
由此可以断言：当两个单独的电路只用一条导线相连接时,
此导线中的电流必定为零 。
求图 l－ 3－ 1电路中的电流 i.
思考与练习
A3 0A2A1 ii
三、基尔霍夫电压定律
1、能量守恒法则：
在任意单位时间内，电路中产生和消耗的能量必须相等，
或所有元件能量的代数和为零。
因此可以得到电路的 功率守恒法则,在任意时刻，电路中产生的功率和消耗的功率相等，或所有元件功率的代数和为零。
1 2
34 5
在下图中，
根据功率守恒法则，我们有,P1+P2+P3+P4+P5=0
由这两个等式你可发现什麽规律？
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0U I U I U I U I U I
1 1 1P U I 2 2 2P U I 3 3 3P U I 4 4 4P U I 5 5 5P U I
即：
由 KCL,3 1 2I I I 14II25II?
所以,1 1 2 2 3 1 2 4 1 5 2 0U I U I U I I U I U I
1 1 3 4 2 2 3 5 0I U U U I U U U
1 3 4 0U U U 2 3 5 0U U U
2,基尔霍夫电压定律 (Kirchhoff's Voltage Law,KVL）,
K
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1
0)(
对于集总参数电路的任一回路，在任一时刻，沿该回路全部支路电压降（设有 K个）的代数和等于零。
其数学表达式为：
在列写回路 KVL方程时,其电压参考方向与回路绕行方向 相同 的支路电压取 正号,与绕行方向 相反 的支路电压取负号 。
例如对图 1－ 11电路的三个回路，沿顺时针方向绕行回路一周，写出的 KVL方程 为：
KVL方程是以支路电压为变量的常系数线性齐次代数方程，它对支路电压施加了线性约束。
03421 uuuu
0245 uuu
0135 uuu
1 2
3
回路 1：
回路 2：
回路 3：
例如图 1－ 11电路中，若已知 u1=1V,u2=2V和 u5=5V，则由
KVL可求得：
V4V5V1513 uuu
V7V5V)2(524 uuu
u1=1V
u2=－ 2V
u5=5V
0135 uuu
0245 uuu
注意这里有两套符号！！
KVL可以从由支路组成的回路,推广到任一闭合的节点序列,
即在任一时刻,沿任一闭合节点序列的各段电压 (不一定是支路电压 )的代数和等于零 。
对图 l－ 11电路中闭合节点序列 abca和 abda列出 KVL方程分别为：,
dbadbddaab
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uuuuu
uuu
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uuuuu
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这表明电路中任两节点间电压 uab等于从 a点到 b点的任一路径上各段电压的代数和。
从以上叙述可见：
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1
KVL定律的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电压，求出另外一些支路电压，即集总参数电路中任一支路电压等于与其处于同一回路 (或闭合路径 )的其余支路电压的代数和，即或集总参数电路中任两结点间电压 uab等于从 a
点到 b点的任一路径上各段电压的代数和，即
jbijcdacab,..,uuuuu
由支路组成的回路可以视为闭合节点序列的特殊情况。 沿电路任一闭合路径 (回路或闭合节点序列 )各段电压代数和等于零，意味着单位正电荷沿任一闭合路径移动时能量不能改变,这表明 KVL
是能量守恒定律的体现。
综上所述，可以看到：
(l) KCL对电路中任一节点 (或封闭面 )的各支路电流施加了线性约束，是电荷守恒运用于集总电路的结果。
(2) KVL对电路中任一回路 (或闭合结点序列 )
的各支路电压施加了线性约束，是能量守恒运用于集总电路的结果。
(3) KCL和 KVL适用于任何集总参数电路、与电路元件的性质无关。
思考题,P27,1－ 3
作业：习题一,P87,6
l－ 4 电阻元件集总参数电路 (模型 )由电路元件连接而成。电路元件是为建立实际电气器件的模型而提出的一种理想元件，它们都有精确的定义。按电路元件与外电路连接端点的数目，
电路元件可分为二端元件、三端元件、四端元件等。本节先介绍一种常用的二端电阻元件。
(a) 二端元件 (b) 三端元件 (c) 四端元件常用的各种二端器件电阻器晶体二极管在物理课中学过的遵从欧姆定律的电阻,是一种最常用的线性电阻元件 (简称电阻 )。 随着电子技术的发展和电路分析的需要,有必要将线性电阻的概念加以扩展,提出电阻元件的一般定义 。
一、二端电阻
0),(?iuf
如果一个二端元件在任一时刻的电压 u与其电流 i 的关系，由 u-i平面上一条曲线确定，则此二端元件称为二端电阻元件，其数学表达式为这条曲线称为电阻的特性曲线（一般是在关联的参考方向下）。它表明了电阻电压与电流间的约束关系 (Voltage
Ampere Relationship，简称为 VAR)。
电阻的分类：
1,线性电阻与非线性电阻其特性曲线为通过坐标原点直线的电阻,称为线性电阻；否则称为非线性电阻 。
2,时变电阻与时不变电阻其特性曲线随时间变化的电阻,称为时变电阻；否则称为时不变电阻或定常电阻 。
a) 线性时不变电阻
b)线性时变电阻 d)非线性时变电阻
c)非线性时不变电阻实验表明：
在低频工作条件下，
晶体二极管的电压电流关系是 ui平面上通过坐标原点的一条曲线。
用晶体管特性图示器测量晶体二极管的电压电流关系。
二、线性电阻
1,线性时不变电阻的特性曲线是通过 u-i平面 (或 i-u平面 )
原点的一条不随时间变化的直线。如图所示。
2,线性时不变电阻的电压电流关系由欧姆定律描述,其数学表达式为
)151( Riu
)161( Gui
或式中 R 称为电阻，其 SI单位为欧 [姆 ](Ω)
G 称为电导，其 SI单位为西 [门子 ](S)
实验表明：
在低频工作条件下，
电阻器的电压电流关系是
ui平面上通过坐标原点的一条直线。
用晶体管特性图示器测量二端电阻器的电压电流关系。
3,线性电阻有两种值得注意的特殊情况 —— 开路和短路 。
(a)开路 的电压电流关系曲线。
(b)短路 的电压电流关系曲线。
4,线性时不变电阻在 t时刻吸收的功率为 (u,i为关联方向 ）,
)()()()()( 22 tGutRititutp
当 R>0 (或 G >0)时,p?0，这表明 正电阻总是吸收功率，不可能发出功率 。 当 R<0 (或 G<0)时，
p?0，这表明 负电阻可以发出功率 。
注意,根据电阻的一般性定义,u-i平面上斜率为负的特性曲线表征的元件也属于电阻元件，称为负电阻。
（利用电子电路可以实现）
通常，电阻是指具有正实常数的线性正电阻线性时不变电阻在 t时刻吸收的能量为 (u,i为关联方向 ）,
t diutW )()()(
线性时不变电阻在 t0到 t1时刻吸收的能量为：
10 )()(),( 10 tt diuttW
如果 W(t)对所有的 t都 ≥0,则此元件为 无源 元件,也就是说不向外电路提供能量 。 否则为 有源 元件 。
正电阻属于无源元件,吸收的能量转化为热能而散失 。
负电阻元件属于有源元件 。
例 l-2 图示电路中,已知 R1=12?,R2=8?,R3=6?,R4=4?,
R5=3?,R6=1? 和 i6=1A。
试求 a,b,c,d各点的 电位 和各电阻的吸收功率 。
V1A1166ded iRuu
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W4W14
W24W26
W32W28
W1 9 2W412
22
666
22
555
22
444
22
333
22
222
22
111
iRp
iRp
iRp
iRp
iRp
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线性电阻元件是由实际电阻器抽象出来的理想化模型，常用来模拟各种电阻器和其它电阻性器件。
三、线性电阻元件与 电阻器以电阻丝绕成的线绕电阻器为例，当电流通过这类电阻器时，除了克服电阻所产生的正比于电流的电压外，交变电流产生的交变磁场还会在电阻器上产生感应电压。
因此，当线绕电阻器工作在直流条件下，可用一个线性电阻来模拟 [图 (a)]，而工作在交流条件下，有时需用一个电阻与电感串联来模拟 [图
(b)]。
在电子设备中使用的 碳膜电位器,实心电位器和线绕电位器是一种三端电阻器件，它有一个滑动接触端和两个固定端 [图 (a)]。在直流和低频工作时，电位器可用两个可变电阻串联来模拟 [图 (b)]。电位器的滑动端和任一固定端间的电阻值，可以从零到标称值间连续变化，可作为可变电阻器使用。
