7?4 一阶电路的零状态响应一,RC电路的零状态响应
C
Rt = 0
+
_
uC(t)
+
_US
i(t)
已知,uC (0?) = 0,求 uC(t),i(t),t? 0。
零状态响应,电路中动态元件的初始状态为零，
电路只在外加激励作用下产生的响应。
+ +
_ _US
uC(t)
R iC(t)解：
1、布列微分方程：
)()(
)()(
tu
dt
tduRC
tutRiU
c
c
ccs
2、解微分方程：
11
01
RC
s
R Cs
t
ch Ketu
)(
scp UQtu)(
()
t
csu t K e U
(0 ) 0cs
s
u K U
KU
( ) ( 1 )
tt
c s s su t U e U U e
1） uC(t)的零状态响应是从零 按 指数规律上升到它的稳态值 uC(?);
t
uC(?)
uC(t)
O
2）当 t>4?,0?
dt
du C
uC(?)=Us是电容 C 开路时 uC 的值 。
表示为 iC =0，
3、分析：
uC (0?) = 0
Us
)e1()( τ C tSUtu
4?
+ +
_ _US
uC(t)
R iC(t)
4、求电容电流：
解一,)1(?t
S eUdt
dC
,0
t
SU et
R
解二：
R
uUi CS
C
)]1([1?t
SS eUUR
,0
t
SU et
R
tO
iC
＝ RCR
US
dt
duCi C
C?
二,RL电路的零状态响应
IS
t = 0
L
+
_
uLR
iR iL
已知,iL(0_ ) = 0，求 iL(t),uL(t),t? 0
R L
+
_
uL
iLiR
IS
()( ) ( ) ( )L
s R L L
utI i t i t i t
R
2、解微分方程：
1
01
L
R
s
s
R
L
t
Lh Keti
)(
sLp IQti)(
()
t
Lsi t K e I
解：１、布列微分方程：
( ) ( 1 )
tt
L s s si t I e I I e
(0 ) 0Ls
s
i K I
KI
( ) /
( )
()
( )
L
L
L
L
L di t dt
it
R
di tL
it
R dt
1） iL(t)的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值 iL(?)。 当 t>4?,iL(t)接近稳态值。
iL(?) = IS,是电感短路时的值。
t
[iL(?)]
iL
IS
2） iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间常数?（? = L/R）。 越小,上升 越快。
3、分析：
4?
)e1()( τ L tSIti
R L
+
_
uL
iLiR
IS
解一：
dt
diLu L
L? )1(
t
S eIdt
dL
t
S eLI
1,0
t
SR I e t
解二,RiIu
LSL )(
])1([ ReII
t
SS
,0
t
SR I e t
tO
uL
RIS
4、求电感电压：
R L
+
_
uL
iLiR
IS
三、结论：
1,uC(t)和 iL(t)的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态 uC(?)和 iL(?)；
iC(t)和 uL(t)是按指数规律衰减到零。
2.状态变量：
0),1)(()( teXtX
t
X(∞) —— 稳态值 ; τ —— 时间常数
3.非状态变量,iC(t)和 uL(t)。
求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。
例 1 电路如图 (a)，已知 uC(0-)=0。 t = 0 打开开关，
求,t?0的 uC(t),iC(t) 及电阻电流 i1(t)。
解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到
0)0()0( CC uu
将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图 (b)
V120oc?U 3 0 01 8 01 2 0oR
电路的时间常数为 s103F10300
46o CR
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得
V1 2 0)( ocC UU
)0(Ae4.0e10
3
1
1 2 010
d
d
)(
)0(V)e1(1 2 0)e1()(
44
4
10
3
1
10
3
1
46C
C
10
3
1
τ
ocC
t
t
u
Cti
tUtu
tt
t
t
根据图（ a）所示电路，用 KCL方程得到
)0(A)e4.01()()(
410
3
1
CS1
ttiIti t
t(s)
iC (A)
τ 2τ 3τ 4τO
0.4
t(s)
uC(V)
120
τ 2τ 3τ 4τO
4
4
1
1 0
3
C
1
1 0
3
C
( ) 1 2 0 ( 1 e ) V ( 0 )
( ) 0,4 e A ( 0 )
t
t
u t t
i t t
例 2 电路如图 (a)所示，已知电感电流 iL(0-)=0。
t=0闭合开关，求,t?0的 iL(t),uL(t),i(t)。
解：电感电流不能跃变，即
0)0()0( LL ii
将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图 (c)
s05.0s8 4.0
o
RL? 0tA)e1(5.1)( 20L,tti
)0(V12edd)( 20 ttiLtu tLL A)e5.05.1(24 )(V36)( 20L ttuti
作业,P75,7-9； 7-10
7?5 线性动态电路的叠加定理一,RC电路的完全响应：
由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响应，称为完全响应 。
例：已知电路如图 (a)所示,uC(0-)=U0,t=0
时开关倒向 2端。求,uC(t),t? 0。
以电容电压 uC(t)为变量，列出图 (b)电路微分方程
)0(dd SCC tUutuRC
其解为
S
CpChC e)()()( UKtututu
RC
t
代入初始条件
S0C )0( UKUu S0 UUK
求得
S
S0C e)()( UUUtu
RC
t
i
于是得到电容电压表达式,
S
S0CpChC e)()()()( UUUtututu RC
t
稳态响应暂态响应全响应强制响应固有响应全响应
)0(e)()( S /S0C tUUUtu t
第一项是对应微分方程的通解 uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应。 将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为 暂态响应 。
第二项是微分方程的特解 uCp(t)，其变化规律与输入相同，称为强制响应。 当 t时 uC(t)=uCp(t)
也称为 稳态响应 。
① 固有响应：与输入无关，由电路本身决定。
暂态响应：在过渡过程 (0-4?)的响应。
② 强制响应：与外加激励有关。
稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。
t
uC(0+ )? US ①
US ②
uC(0+ ) 全响应注意
/
C 0 S S
( ) ( ) e ( 0 )
tu t U U U t
全 响 应 固 有 响 应 强 制 响 应全 响 应 暂 态 响 应 稳 态 响 应线性动态电路中任一支路电压或电流的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。
)(tuC
① 零输入响应 + ② 零状态响应
( 0 ) ( 1 )
tt
CSu e U e
③ 全 响应 =
二、线性动态电路的叠加定理,
uC(0+)
t? 2? 3? 4?O
uC
US
①
②
③
三、完全响应的三种分解方式：
1.完全响应 =零输入响应 +零状态响应
※ 线性动态电路的叠加定理说明：
2.完全响应 =暂态响应 +稳态响应
3.完全响应（完全解） = 通解 + 特解适用于任意线性动态电路四、线性动态电路叠加定理与线性电阻电路叠加定理的关系若把动态元件的初始值也看成一种输入，则线性动态定理叠加定理与线性电阻电路叠加定理是一致的。
线性动态电路的叠加定理告诉我们：叠加的方法同样可以用来分析动态电路。
例 1 下图所示电路原来处于稳定状态。 t=0时开关断开，求 t?0的电感电流 iL(t)和电感电压 uL(t)。
解：在 t<0时，电阻 R1被开关短路，电感电流的初始值为
A25.040 V10)0(
2
S
L R
Ui
在 t>0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图 (b)所示电路，该电路的微分方程为
L
L
o
d 0.2 ( 0)
d
iL it
Rt
其全解为
)()()()( Lp LpLhL tiKetititi
t
iR
式中
A2.0)( ms2s0 0 2.050 H1.0 scLp
0
ItiRL?
代入上式得到
A2.0e)( 500L tKti
代入初始条件
A25.0)0()0( LL ii
)()()()( Lp LpLhL tiKetititi
t
其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过 (4～ 5)?的时间，即经过 (8～
10)ms 的过渡时期，就达到了稳态。
A05.0A2.0A25.0K
于是
)0(A)2.0e05.0()( 50 0L tti t
可以得到
2ms
电感电流 iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应,然后相加的方法求得 。
Ae25.0e)0()( 5 0 0 L'L t
t
iti
电感电流 iL(t)的零状态响应为
" 5 0 0LL( ) ( 1 e ) 0,2 ( 1 e ) At ti t i
电感电流 iL(t) 的零输入响应为
iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和
)0( A )2.00,0 5 e(
)Ae1(2.0Ae25.0
)()()(
5 0 0
5 0 0 5 0 0
"
L
'
LL
t
tititi
t
tt
电感电压的全响应可以利用电感元件的 VCR方程求得
)0(Ve5.2
d
d)(
5 0 0
L
L
t
t
iLtu
t
例 2 电路如下图 (a)所示。
已知 uC(0-)=4V,uS(t)=(2+e-2t)V，
求电容电压 uC(t)的全响应。
解：将全响应分解为 (零输入响应 )＋ (2V电压源引起的零状态响应 )＋ (e-2t电压源引起的零状态响应 )。现在分别计算响应的几个分量然后相加得到全响应。
1,求电路的零输入响应 [见图 (b)电路 ]
C
C
C
d 0 ( 0 )
d
(0 ) 4V
u ut
t
u?
求得
1 1 F 1 sRC
列出齐次微分方程和初始条件
'
CC( ) ( 0 ) e 4e
t
tu t u
2.求 2V电压源引起的零状态响应 [见图 (c)电路 ]
C
C
C
d
2V ( 0 )
d
(0 ) 0
u
ut
t
u?
由此求得
V)e1(2)e1()( S"C t
t
Utu
列出微分方程和初始条件
3,求 e-2tV电压源引起的零状态响应
[见图 (d)电路 ]
2C
C
C
d e V ( 0 )
d
( 0 ) 0
tu ut
t
u
其解为
)(e)()()( '"Cp'"Cp'"Ch'"C tuKtututu t
列出微分方程和初始条件设,并将它代入到微分方程中可以得到tAtu 2'"
Cp e)(
ttt AA 222 eee2－ 由此求得 2
Cp1 ( ) 1 e tA u t
i
ttKtu 2'"C e1e)(
代入初始条件,t=0时,01)0(
'"C Ku
最后求得零状态响应 V)ee()(
2'"C tttu
由此得到 K=1
4,最后求得全响应如下
' '' '''C C C C( ) ( ) ( ) ( )u t u t u t u t
其实本题最简单的解法是？
' '' '''
C C C C
2
( ) ( ) ( ) ( )
4 e V ( 2 2 e ) V ( e e ) Vt t t t
u t u t u t u t
2 4 e V ( 2 e e ) Vt t t
零 输 入 响 应 零 状 态 响 应
2 3 e V ( 2 e ) Vtt
固 有 响 应 强 制 响 应
2 ( 3 e e ) V 2 Vtt
稳 态 响 应瞬 态 响 应
2C
C
C
d
( 2 e ) V ( 0 )
d
(0 ) 4 V
tu ut
t
u
列出图 (a)电路的微分方程和初始条件：
作业,P84,7-12
P120,21
C
Rt = 0
+
_
uC(t)
+
_US
i(t)
已知,uC (0?) = 0,求 uC(t),i(t),t? 0。
零状态响应,电路中动态元件的初始状态为零，
电路只在外加激励作用下产生的响应。
+ +
_ _US
uC(t)
R iC(t)解：
1、布列微分方程：
)()(
)()(
tu
dt
tduRC
tutRiU
c
c
ccs
2、解微分方程：
11
01
RC
s
R Cs
t
ch Ketu
)(
scp UQtu)(
()
t
csu t K e U
(0 ) 0cs
s
u K U
KU
( ) ( 1 )
tt
c s s su t U e U U e
1） uC(t)的零状态响应是从零 按 指数规律上升到它的稳态值 uC(?);
t
uC(?)
uC(t)
O
2）当 t>4?,0?
dt
du C
uC(?)=Us是电容 C 开路时 uC 的值 。
表示为 iC =0，
3、分析：
uC (0?) = 0
Us
)e1()( τ C tSUtu
4?
+ +
_ _US
uC(t)
R iC(t)
4、求电容电流：
解一,)1(?t
S eUdt
dC
,0
t
SU et
R
解二：
R
uUi CS
C
)]1([1?t
SS eUUR
,0
t
SU et
R
tO
iC
＝ RCR
US
dt
duCi C
C?
二,RL电路的零状态响应
IS
t = 0
L
+
_
uLR
iR iL
已知,iL(0_ ) = 0，求 iL(t),uL(t),t? 0
R L
+
_
uL
iLiR
IS
()( ) ( ) ( )L
s R L L
utI i t i t i t
R
2、解微分方程：
1
01
L
R
s
s
R
L
t
Lh Keti
)(
sLp IQti)(
()
t
Lsi t K e I
解：１、布列微分方程：
( ) ( 1 )
tt
L s s si t I e I I e
(0 ) 0Ls
s
i K I
KI
( ) /
( )
()
( )
L
L
L
L
L di t dt
it
R
di tL
it
R dt
1） iL(t)的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值 iL(?)。 当 t>4?,iL(t)接近稳态值。
iL(?) = IS,是电感短路时的值。
t
[iL(?)]
iL
IS
2） iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间常数?（? = L/R）。 越小,上升 越快。
3、分析：
4?
)e1()( τ L tSIti
R L
+
_
uL
iLiR
IS
解一：
dt
diLu L
L? )1(
t
S eIdt
dL
t
S eLI
1,0
t
SR I e t
解二,RiIu
LSL )(
])1([ ReII
t
SS
,0
t
SR I e t
tO
uL
RIS
4、求电感电压：
R L
+
_
uL
iLiR
IS
三、结论：
1,uC(t)和 iL(t)的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态 uC(?)和 iL(?)；
iC(t)和 uL(t)是按指数规律衰减到零。
2.状态变量：
0),1)(()( teXtX
t
X(∞) —— 稳态值 ; τ —— 时间常数
3.非状态变量,iC(t)和 uL(t)。
求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。
例 1 电路如图 (a)，已知 uC(0-)=0。 t = 0 打开开关，
求,t?0的 uC(t),iC(t) 及电阻电流 i1(t)。
解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到
0)0()0( CC uu
将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图 (b)
V120oc?U 3 0 01 8 01 2 0oR
电路的时间常数为 s103F10300
46o CR
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得
V1 2 0)( ocC UU
)0(Ae4.0e10
3
1
1 2 010
d
d
)(
)0(V)e1(1 2 0)e1()(
44
4
10
3
1
10
3
1
46C
C
10
3
1
τ
ocC
t
t
u
Cti
tUtu
tt
t
t
根据图（ a）所示电路，用 KCL方程得到
)0(A)e4.01()()(
410
3
1
CS1
ttiIti t
t(s)
iC (A)
τ 2τ 3τ 4τO
0.4
t(s)
uC(V)
120
τ 2τ 3τ 4τO
4
4
1
1 0
3
C
1
1 0
3
C
( ) 1 2 0 ( 1 e ) V ( 0 )
( ) 0,4 e A ( 0 )
t
t
u t t
i t t
例 2 电路如图 (a)所示，已知电感电流 iL(0-)=0。
t=0闭合开关，求,t?0的 iL(t),uL(t),i(t)。
解：电感电流不能跃变，即
0)0()0( LL ii
将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图 (c)
s05.0s8 4.0
o
RL? 0tA)e1(5.1)( 20L,tti
)0(V12edd)( 20 ttiLtu tLL A)e5.05.1(24 )(V36)( 20L ttuti
作业,P75,7-9； 7-10
7?5 线性动态电路的叠加定理一,RC电路的完全响应：
由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响应，称为完全响应 。
例：已知电路如图 (a)所示,uC(0-)=U0,t=0
时开关倒向 2端。求,uC(t),t? 0。
以电容电压 uC(t)为变量，列出图 (b)电路微分方程
)0(dd SCC tUutuRC
其解为
S
CpChC e)()()( UKtututu
RC
t
代入初始条件
S0C )0( UKUu S0 UUK
求得
S
S0C e)()( UUUtu
RC
t
i
于是得到电容电压表达式,
S
S0CpChC e)()()()( UUUtututu RC
t
稳态响应暂态响应全响应强制响应固有响应全响应
)0(e)()( S /S0C tUUUtu t
第一项是对应微分方程的通解 uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应。 将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为 暂态响应 。
第二项是微分方程的特解 uCp(t)，其变化规律与输入相同，称为强制响应。 当 t时 uC(t)=uCp(t)
也称为 稳态响应 。
① 固有响应：与输入无关，由电路本身决定。
暂态响应：在过渡过程 (0-4?)的响应。
② 强制响应：与外加激励有关。
稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。
t
uC(0+ )? US ①
US ②
uC(0+ ) 全响应注意
/
C 0 S S
( ) ( ) e ( 0 )
tu t U U U t
全 响 应 固 有 响 应 强 制 响 应全 响 应 暂 态 响 应 稳 态 响 应线性动态电路中任一支路电压或电流的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。
)(tuC
① 零输入响应 + ② 零状态响应
( 0 ) ( 1 )
tt
CSu e U e
③ 全 响应 =
二、线性动态电路的叠加定理,
uC(0+)
t? 2? 3? 4?O
uC
US
①
②
③
三、完全响应的三种分解方式：
1.完全响应 =零输入响应 +零状态响应
※ 线性动态电路的叠加定理说明：
2.完全响应 =暂态响应 +稳态响应
3.完全响应（完全解） = 通解 + 特解适用于任意线性动态电路四、线性动态电路叠加定理与线性电阻电路叠加定理的关系若把动态元件的初始值也看成一种输入，则线性动态定理叠加定理与线性电阻电路叠加定理是一致的。
线性动态电路的叠加定理告诉我们：叠加的方法同样可以用来分析动态电路。
例 1 下图所示电路原来处于稳定状态。 t=0时开关断开，求 t?0的电感电流 iL(t)和电感电压 uL(t)。
解：在 t<0时，电阻 R1被开关短路，电感电流的初始值为
A25.040 V10)0(
2
S
L R
Ui
在 t>0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图 (b)所示电路，该电路的微分方程为
L
L
o
d 0.2 ( 0)
d
iL it
Rt
其全解为
)()()()( Lp LpLhL tiKetititi
t
iR
式中
A2.0)( ms2s0 0 2.050 H1.0 scLp
0
ItiRL?
代入上式得到
A2.0e)( 500L tKti
代入初始条件
A25.0)0()0( LL ii
)()()()( Lp LpLhL tiKetititi
t
其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过 (4～ 5)?的时间，即经过 (8～
10)ms 的过渡时期，就达到了稳态。
A05.0A2.0A25.0K
于是
)0(A)2.0e05.0()( 50 0L tti t
可以得到
2ms
电感电流 iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应,然后相加的方法求得 。
Ae25.0e)0()( 5 0 0 L'L t
t
iti
电感电流 iL(t)的零状态响应为
" 5 0 0LL( ) ( 1 e ) 0,2 ( 1 e ) At ti t i
电感电流 iL(t) 的零输入响应为
iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和
)0( A )2.00,0 5 e(
)Ae1(2.0Ae25.0
)()()(
5 0 0
5 0 0 5 0 0
"
L
'
LL
t
tititi
t
tt
电感电压的全响应可以利用电感元件的 VCR方程求得
)0(Ve5.2
d
d)(
5 0 0
L
L
t
t
iLtu
t
例 2 电路如下图 (a)所示。
已知 uC(0-)=4V,uS(t)=(2+e-2t)V，
求电容电压 uC(t)的全响应。
解：将全响应分解为 (零输入响应 )＋ (2V电压源引起的零状态响应 )＋ (e-2t电压源引起的零状态响应 )。现在分别计算响应的几个分量然后相加得到全响应。
1,求电路的零输入响应 [见图 (b)电路 ]
C
C
C
d 0 ( 0 )
d
(0 ) 4V
u ut
t
u?
求得
1 1 F 1 sRC
列出齐次微分方程和初始条件
'
CC( ) ( 0 ) e 4e
t
tu t u
2.求 2V电压源引起的零状态响应 [见图 (c)电路 ]
C
C
C
d
2V ( 0 )
d
(0 ) 0
u
ut
t
u?
由此求得
V)e1(2)e1()( S"C t
t
Utu
列出微分方程和初始条件
3,求 e-2tV电压源引起的零状态响应
[见图 (d)电路 ]
2C
C
C
d e V ( 0 )
d
( 0 ) 0
tu ut
t
u
其解为
)(e)()()( '"Cp'"Cp'"Ch'"C tuKtututu t
列出微分方程和初始条件设,并将它代入到微分方程中可以得到tAtu 2'"
Cp e)(
ttt AA 222 eee2－ 由此求得 2
Cp1 ( ) 1 e tA u t
i
ttKtu 2'"C e1e)(
代入初始条件,t=0时,01)0(
'"C Ku
最后求得零状态响应 V)ee()(
2'"C tttu
由此得到 K=1
4,最后求得全响应如下
' '' '''C C C C( ) ( ) ( ) ( )u t u t u t u t
其实本题最简单的解法是？
' '' '''
C C C C
2
( ) ( ) ( ) ( )
4 e V ( 2 2 e ) V ( e e ) Vt t t t
u t u t u t u t
2 4 e V ( 2 e e ) Vt t t
零 输 入 响 应 零 状 态 响 应
2 3 e V ( 2 e ) Vtt
固 有 响 应 强 制 响 应
2 ( 3 e e ) V 2 Vtt
稳 态 响 应瞬 态 响 应
2C
C
C
d
( 2 e ) V ( 0 )
d
(0 ) 4 V
tu ut
t
u
列出图 (a)电路的微分方程和初始条件：
作业,P84,7-12
P120,21
