第七章 一阶电路本章主要内容：
1,RC,RL电路的 零输入响应 ；
2,RC,RL电路的 零状态响应 ；
3,一阶电路的 全响应 ；暂态与稳态 ；
4,一阶电路的 三要素法 ；
5,阶跃函数和阶跃响应；子区间 分析法。
引言一、什么叫一阶电路？
1）用一阶微分方程描述其变量的电路。
2）只含一个动态元件 (C,L)的电路。
二、如何分析一阶电路？
电路变量依旧受到两类约束：
元件约束
拓扑约束但有变化：动态元件的 VAR为微积分方程。
7-1 分解的方法在动态电路分析中的应用一、把一阶电路的动态元件分离出来，可以得到典型的一阶电路：
其中 N为一般的线性含源单口网络。而 N可以化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路，如图 b）。
这样一阶电路的分析问题，转化为图 b） RC
或 RL电路的分析问题。
二,RC电路的分析
)t(u)t(ut )t(uRC SCCdd ＝?
这是常系数非齐次一阶微分方程。
RC电路的分析归结为该方程的求解 。
代入,
t
tuCti
d
)(d)( C?
S R C( ) ( ) ( )u t u t u t
1、布列微分方程
R ( ) ( )u t Ri t? Cd ( )
d
utRC
t?
2、一阶微分方程的求解：
)()()( tBWtAXdt tdX
1） 齐次方程 通解：
( ) ( ) ( )hpX t X t X t
0AXdtdX
2） 非 齐次方程 特解,*
3） K确定：
常系数非齐次一阶微分方程
stK)t(X eh? AtK)t(X eh?0 AS
( ) e ( )At pX t K X t 由初始条件解出 K
完全解为：
3,RC电路微分方程的求解
0
C
C
)0(
)(
d
)(d
Uu
Utu
t
tu
RC
c
＝
11
01
RC
s
R Cs ＝
t
Ketu)(Ch
UQ
Qtu
,1,)(Cp ）代入（
)(C UKetu
t
初始条件代入：
UUK
UUKu
0
0C )0(
UeUUtu
t
)()( 0C
关于初始条件的说明。
三、利用置换定理，求解一阶电路其余变量。
线性含源纯电阻网络
N -
+
u c ( t )
这样一阶动态电路就转换为纯电阻电路，可以用纯电阻电路的所有分析方法，求电路余下的变量。
这就是分解的方法在动态电路分析中的应用。
四、小结利用分解方法分析一阶电路的方法：
把电路分解为一个动态元件和一个单口网络；
把单口网络化为最简单的形式，得到 RC或 RL
电路；
布列 RC或 RL电路的微分方程，解出状态变量；
用电压源或电流源置换动态元件，得到纯电阻电路；
分析纯电阻电路，求解余下变量。
以上方法可以处理所有一阶电路。
7?3 一阶电路的零输入响应一,RC 电路的零输入响应电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。
（输入为零）
图 (a)所示电路,开关原来在 1端,电容电压已经达到 U0,在 t=0时开关由 1端转换到 2端,如图 (b)
求,uC(t)； iC(t),t? 0
① t＜ 0 — 充电
② t = 0 — 换路
③ t≥0 — 放电
1,定性分析建立图 (b)电路的一阶微分方程
0CR uu 0dd CC utuRC
stKtu e)(C?
其解为：
RCs
1－?
KKu RC
t
e)0(C根据初始条件 0UK?
)t(U)t(u RC
t
0 e 0C
齐次方程 通解：
2,定量分析
C 0 C( ) e ( 0 ) e ( 0 )
tt
RC RCu t U u t
最后得到电路的零输入响应为,
uC (0+)
0? 2? 3? 4?
uC(t)
t (s) t (s)O? 2? 3? 4?
iC(t)
R
u C )0(?
电流可以跃变RC
C0
R C C
d( ) ( ) e ( 0 ) e ( 0 )
d
tt
R C R CuUi t i t C i t
tR
U0
0? 2? 3? 4?
uC(t)
t (s)
t 0? 2? 3? 4? 5
uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0 0
以 为例,说明电压的变化与时间常数的关系 。
τ 0C e)(
tUtu
当 t=0时,uC(0)=U0，当 t=?时,uC(?)=0.368U0由于波形衰减很快，实际上只要经过 4～ 5?的时间就可以认为放电过程基本结束。一般定义 4?为稳定时间 。
0.368U0
换 路,电路由电源接入或断开，元件参数或电路结构突然改变。
过渡过程：
电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。
时间常数,? = RC它决定了 uC 衰减的快慢,
RC 大，表示衰减的慢 ;RC 小，表示衰减的快。
)()( CC 00 uu )()( LL 00 ii换路定律：
二,RL 电路的零输入响应如图 a),求 iL(t),uL(t),t ≥ 0。
解,1,定性分析
① t＜ 0 —— 储磁场能
② t = 0 —— 换路
③ t≥0 —— 衰减到零列出 KCL方程，得到微分方程
0LRLR iRuii
0dd LL itiRL
通解为 tLRKti e)(
L
代入初始条件 iL(0+)=I0求得
0IK?
最后得到 τL 0 0( ) e e ( 0) tR tLi t I I t
L τ
L 0 0
d( ) ( 0 )
d
tR t
Liu t L R I e R I e t
t
三、结论：
1 RC电路（或 RL电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。
2 表达式：
0,)0()( teXtX
t
X(0+)—— 初始值 τ —— 时间常数
3 二者零输入响应、时间常数具有对偶性。
= RC? = GL=L/R
例 1：电路如图 (a)所示，已知电容电压 uC(0-)=6V。
t=0闭合开关，求 t > 0时 uC(t),iC(t),iR(t) 。
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到
V6)0()0( CC uu
将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为
k10k)36 368(oR
36
2
1 0 1 0 5 1 0 s
5 1 0 s 0,0 5 s
RC
20
C0( ) e 6e V ( 0)
t tu t U t
电阻中的电流 iR(t)可以用与 iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
mAe2.0mAe6.031)(63 3)( 2020CR tttiti
20C0
C 3
20
d 6( ) e e
d 1 0 1 0
0,6 e m A ( 0 )
t
t
t
uUi t C
tR
t
例 2：
3? 6?
2?
i1 uC
+
_100?F
已知 uC (0+) = 18V
求,uC (t),i1(t),t ≥ 0
2500
C
2500C
1
( ) ( 0 ) e 1 8 e V ( 0 )
()
( ) 3 e ( 0 )
23
t
t
c
t
u t u t
ut
i t A t
例 3：
3?
1?
i
u
+
_
4 H
0.5u
已知 i (0 +) = 2A 求,i(t),u(t),t ≥ 0
)0(e16)(8)(
)0(e2)e(0)()(
2
L
2 t /
L
tVtiutu
tAititi
t
R
t
L
1)( 0,5u3 iiu 8
i
uR
作业,P114,1
P115,4
1,RC,RL电路的 零输入响应 ；
2,RC,RL电路的 零状态响应 ；
3,一阶电路的 全响应 ；暂态与稳态 ；
4,一阶电路的 三要素法 ；
5,阶跃函数和阶跃响应；子区间 分析法。
引言一、什么叫一阶电路？
1）用一阶微分方程描述其变量的电路。
2）只含一个动态元件 (C,L)的电路。
二、如何分析一阶电路？
电路变量依旧受到两类约束：
元件约束
拓扑约束但有变化：动态元件的 VAR为微积分方程。
7-1 分解的方法在动态电路分析中的应用一、把一阶电路的动态元件分离出来，可以得到典型的一阶电路：
其中 N为一般的线性含源单口网络。而 N可以化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路，如图 b）。
这样一阶电路的分析问题，转化为图 b） RC
或 RL电路的分析问题。
二,RC电路的分析
)t(u)t(ut )t(uRC SCCdd ＝?
这是常系数非齐次一阶微分方程。
RC电路的分析归结为该方程的求解 。
代入,
t
tuCti
d
)(d)( C?
S R C( ) ( ) ( )u t u t u t
1、布列微分方程
R ( ) ( )u t Ri t? Cd ( )
d
utRC
t?
2、一阶微分方程的求解：
)()()( tBWtAXdt tdX
1） 齐次方程 通解：
( ) ( ) ( )hpX t X t X t
0AXdtdX
2） 非 齐次方程 特解,*
3） K确定：
常系数非齐次一阶微分方程
stK)t(X eh? AtK)t(X eh?0 AS
( ) e ( )At pX t K X t 由初始条件解出 K
完全解为：
3,RC电路微分方程的求解
0
C
C
)0(
)(
d
)(d
Uu
Utu
t
tu
RC
c
＝
11
01
RC
s
R Cs ＝
t
Ketu)(Ch
UQ
Qtu
,1,)(Cp ）代入（
)(C UKetu
t
初始条件代入：
UUK
UUKu
0
0C )0(
UeUUtu
t
)()( 0C
关于初始条件的说明。
三、利用置换定理，求解一阶电路其余变量。
线性含源纯电阻网络
N -
+
u c ( t )
这样一阶动态电路就转换为纯电阻电路，可以用纯电阻电路的所有分析方法，求电路余下的变量。
这就是分解的方法在动态电路分析中的应用。
四、小结利用分解方法分析一阶电路的方法：
把电路分解为一个动态元件和一个单口网络；
把单口网络化为最简单的形式，得到 RC或 RL
电路；
布列 RC或 RL电路的微分方程，解出状态变量；
用电压源或电流源置换动态元件，得到纯电阻电路；
分析纯电阻电路，求解余下变量。
以上方法可以处理所有一阶电路。
7?3 一阶电路的零输入响应一,RC 电路的零输入响应电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。
（输入为零）
图 (a)所示电路,开关原来在 1端,电容电压已经达到 U0,在 t=0时开关由 1端转换到 2端,如图 (b)
求,uC(t)； iC(t),t? 0
① t＜ 0 — 充电
② t = 0 — 换路
③ t≥0 — 放电
1,定性分析建立图 (b)电路的一阶微分方程
0CR uu 0dd CC utuRC
stKtu e)(C?
其解为：
RCs
1－?
KKu RC
t
e)0(C根据初始条件 0UK?
)t(U)t(u RC
t
0 e 0C
齐次方程 通解：
2,定量分析
C 0 C( ) e ( 0 ) e ( 0 )
tt
RC RCu t U u t
最后得到电路的零输入响应为,
uC (0+)
0? 2? 3? 4?
uC(t)
t (s) t (s)O? 2? 3? 4?
iC(t)
R
u C )0(?
电流可以跃变RC
C0
R C C
d( ) ( ) e ( 0 ) e ( 0 )
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R C R CuUi t i t C i t
tR
U0
0? 2? 3? 4?
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以 为例,说明电压的变化与时间常数的关系 。
τ 0C e)(
tUtu
当 t=0时,uC(0)=U0，当 t=?时,uC(?)=0.368U0由于波形衰减很快，实际上只要经过 4～ 5?的时间就可以认为放电过程基本结束。一般定义 4?为稳定时间 。
0.368U0
换 路,电路由电源接入或断开，元件参数或电路结构突然改变。
过渡过程：
电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程。
时间常数,? = RC它决定了 uC 衰减的快慢,
RC 大，表示衰减的慢 ;RC 小，表示衰减的快。
)()( CC 00 uu )()( LL 00 ii换路定律：
二,RL 电路的零输入响应如图 a),求 iL(t),uL(t),t ≥ 0。
解,1,定性分析
① t＜ 0 —— 储磁场能
② t = 0 —— 换路
③ t≥0 —— 衰减到零列出 KCL方程，得到微分方程
0LRLR iRuii
0dd LL itiRL
通解为 tLRKti e)(
L
代入初始条件 iL(0+)=I0求得
0IK?
最后得到 τL 0 0( ) e e ( 0) tR tLi t I I t
L τ
L 0 0
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d
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Liu t L R I e R I e t
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三、结论：
1 RC电路（或 RL电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。
2 表达式：
0,)0()( teXtX
t
X(0+)—— 初始值 τ —— 时间常数
3 二者零输入响应、时间常数具有对偶性。
= RC? = GL=L/R
例 1：电路如图 (a)所示，已知电容电压 uC(0-)=6V。
t=0闭合开关，求 t > 0时 uC(t),iC(t),iR(t) 。
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到
V6)0()0( CC uu
将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为
k10k)36 368(oR
36
2
1 0 1 0 5 1 0 s
5 1 0 s 0,0 5 s
RC
20
C0( ) e 6e V ( 0)
t tu t U t
电阻中的电流 iR(t)可以用与 iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
mAe2.0mAe6.031)(63 3)( 2020CR tttiti
20C0
C 3
20
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0,6 e m A ( 0 )
t
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例 2：
3? 6?
2?
i1 uC
+
_100?F
已知 uC (0+) = 18V
求,uC (t),i1(t),t ≥ 0
2500
C
2500C
1
( ) ( 0 ) e 1 8 e V ( 0 )
()
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23
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例 3：
3?
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已知 i (0 +) = 2A 求,i(t),u(t),t ≥ 0
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