自动控制原理本次课程作业 （ 3）
2 — 1,2,3
附加作业,
1 已知 f(t),求 F(s)
tTetf 11)()1(
)2c o s1(03.0)()2( ttf
)35s i n ()()3( ttf
tetf t 12c o s)()4( 4.0
)42)(2(
823)(2
2
2
ssss
sssF,求 f(0),f(∞) 。
自动控制原理
（第 3 讲）
第二章 控制系统的数学模型
§ 2.1 引言
§ 2.2 控制系统的时域数学模型复习,拉普拉斯变换有关知识自动控制原理课程的任务与体系结构
§ 2 控制系统的数学模型自动控制原理时域模型 — 微分方程复域模型 — 传递函数
§ 2 控制系统的数学模型
2.1 引言数学模型,描述系统输入,输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式建模方法,解析法,实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程线性元部件,线性系统微分方程的建立非线性系统微分方程的线性化
§ 2.1 引言
数学模型描述系统输入,输出变量以及内部各变量之间关系的数 学表达式
建模方法解析法 （ 机理分析法 ）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程实验法 （ 系统辨识法 ）
给系统施加某种测试信号,记录输出响应,并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§ 2.2 控制系统的数学模型 — 微分方程
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
011
1
1
011
1
1
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
线性定常系统微分方程的一般形式
§ 2.2 控制系统的数学模型 — 微分方程
)(1)(1)()(22 tuLCtuLCdt tduLRdt tud rccc
dt
tduCti c )()(?
)()()()( tutRidt tdiLtu cr
)()()(22 tudt tduRCdt tudLC ccc
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程例 1 R-L-C 串连电路
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程 （ 1）
)(
)(1
omm
mii
xxfF
xxKF
02 xKFo?
oommi xKxxfxxK 21 )()(
:
:
B
A
ioo
oooim
oim
xx
f
K
x
K
KK
xx
f
K
x
K
K
xx
xKxKxK
2
1
21
2
1
2
211
ioo xKK
Kx
KKf
KKx
21
1
21
21
)(
例 2 弹簧 — 阻尼器系统
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程电磁力矩,— 安培定律电枢反电势,— 楞次定律电枢回路,— 克希霍夫力矩平衡,— 牛顿定律
br ERiu
meb cE
icM mm?
mm
mmmmm MfJ
电机时间常数电机传递系数 )/( )/( memmm memmm ccfRcK ccfRRJT
rmmmmrmmmm uKTuKT
消去中间变量 i,Mm,Eb 可得：
例 3 电枢控制式直流电动机
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程 （ 3）
反馈口：
放大器：
电动机：
减速器：
绳 轮：
电 桥：
r
m
m
m
m
m
uT KKKKKLT KKKKKLTL 432143211
消去中间变量可得：
LKu
KL
K
uKT
uKu
uuu
p
m
mmmm
pr
4
23
32
1
例 4 X-Y 记录仪
§ 2,2,2 非线性系统微分方程的线性化 （举例 1）
)](c o s [)( 0 txExy?
)()()( 0xyxyxy
xxEy 00 s i n
取一次近似，且令既有例 5 已知某装置的输入输出特性如下,求小扰动线性化方程 。
200000 ))((!21))(()()( xxxyxxxyxyxy
解,在工作点 (x0,y0)处展开泰勒级数
)(s i n 000 xxxE
§ 2,2,2 非线性系统微分方程的线性化 （举例 2）
rQShSdt
dh 1
hhhhdt hdhh h
0
00 2
1|
0
)(1)2 1()( 0
0
0
0
rr QQShhhSdt
hhd
S
Qh
Sdt
dh r 0
00
rQShhSdt
hd 1
2 0
解,在 处泰勒展开，取一次近似
0h
代入原方程可得在平衡点处系统满足上两式相减可得线性化方程例 6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程式中 S 为液位容器的横截面积 。 若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化,试导出 h 关于 Q 的线性化方程 。
线性定常微分方程求解微分方程求解方法复习拉普拉斯变换有关内容 （ 1）
1 复数有关概念
（ 1）复数、复函数复数复函数
js
)()()( sFsFsF yx
例 1 jssF 22)(
（ 2）模、相角
22 yx FFsF
x
y
F
FsF ar c t an
（ 3）复数的共轭
yx jFFsF)(
（ 4）解析 若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则 F(s)在 s 点解析。
模相角复习拉普拉斯变换有关内容 （ 2）
2 拉氏变换的定义
0 )()()]([ dtetfsFtfL ts
（ 1）阶跃函数
)(
)(
tf
sF
像原像
3 常见函数的拉氏变换
00
01)(
t
ttf
ssesdtetL stst 1101111 0
0
（ 2）指数函数 atetf?)(
dtedteetfL tasstat
00
)]([
as)(aseas a) t(s 11011 0
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 3）
（ 3）正弦函数
0s i n
00
ω t t
t f ( t )
dteeejdtetf ( t )L sttjtjst
00 2
1s i n
dteej )tj(s)t- ( s - j
0 2
1
00 112 1 )tj(s)tj(s ejsejsj
2222
2
2
111
2
1
ss
j
jjsjsj
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 4）
（ 1）线性性质
4 拉氏变换的几个重要定理
（ 2）微分定理
( s )Fb( s )Fa( t )fb( t )faL 2121
0fsFstfL
00
左 tdfedtetf stst
0000 1221 nn-n-n-nn fsffsfssFstf?
dtetfs-f st
0
00 右0 fssF
st- s t detftfe
0
0
证明：
0初条件下有,sFstfL nn?
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 5）
例 2 求)(?tL?
解,t1t
tLtδL 1
例 3 求)c o s (?tL?
解,
tt nsi1c o s
tLtL nsi1c o s
01 δss 101
22
1
ss 22
s s
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 6）
（ 3）积分定理011 1-f
ssFsdttfL
零初始条件下有,sF
sdttfL
1
进一步有：
0101011 2
1
1 n
nnn
n
n
fsfsfssFsdttfL
个例 4 求 L[t]=?
解,
dttt 1
dttLtL 1
例 5 求解,
dttt2
2
0
2
2 2
111
t
t
sss
2
2
tL
0
111
ttsss 2
1
s?
dttLtL 22 31s?
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 7）
（ 4）实位移定理证明：
例 6
解,)(1)(1)( atttf
)(1)(1)( attLtfL
)()( 00 sFetfL sτ
F ( s ),
at 0
at 0 1
0t 0
tf 求
ses
as 11
s
e as 1
dtetf st 0 0 )(?左令
0t
def s
0
0 )()(
defe ss
0
0 )(
右?
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 8）
（ 5）复位移定理证明：
)()( AsFtfeL tA
dtetfe stAt 0 )(左令 sAs
dtetf ts 0 )(? )(sF 右?
dtetf tAs 0 )()(
)( AsF
ate L
teL t- 5co s3?
)πt(eL t 35co s2
2
22
15
5
ss
sπ-
s
se
例 7
例 8
例 9
22 53
3
s
s
3
22 5
sss
s
atetL 1
asss
1
)
π(teL t
155c os
2
22
215
52
2
s
se sπ
as
1
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 9）
（ 6）初值定理证明：由微分定理
)(lim)(lim 0 sFstf st
)0()()(0 fsFsdtedt tdf ts
2
1)(
ssF?
例 10
)0()(l i m)(l i m 0 fsFsdtedt tdf stss
0l i m)(0
dtedt tdf tss左 0)0()(lim fsFss
)(lim)(lim)0( 0 sFstff st
ttf?
)(l i m)0( sFsf s 01lim 2 sss
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 10）
（ 7）终值定理证明：由微分定理
)(lim)(lim 0 sFstf st
)0()()(0 fsFsdtedt tdf ts
))((
1)(
bsasssF
例 11
（终值确实存在时）
)0()(l i m)(l i m 000 fsFsdtedt tdf stss
dtedt tdf tss 0 0lim)(左?
0 )( tdf
t
t tdf0 )(lim
)0()(l i m ftft)0()(l i m 0 fsFss右
abbsasssf s 11lim 0
22 ωs ωsF tωtf s i n例 12 0l i m 220 ωs ωss
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 11）
用拉氏变换方法解微分方程
)(1)()()( 21 ttyatyaty
ssYasas
1)()(
21
2
L变换
0)0()0( yy
)(
1)(
21
2 asasssY
)(1 sYLty
系统微分方程
L-1变换控制系统的数学模型课程小结 (1)
时域模型 — 微分方程
元部件及系统微分方程的建立
线性定常系统微分方程的特点
非线性方程的线性化
微分方程求解课程小结 (2)
1 拉氏变换的定义
0 )()( dtetfsF ts
（ 2）单位阶跃
2 常见函数 L变换 )(tf
s1
（ 5）指数函数 ate? )(1 as?
)(sF
)(1t
（ 1）单位脉冲 1)(t?
（ 3）单位斜坡 21 st
（ 4）单位加速度 31 s22t
（ 6）正弦函数 t?sin )( 22s
（ 7）余弦函数 t?cos )( 22ss
课程小结 (3)
（ 2）微分定理
3 L变换重要定理
（ 5）复位移定理
（ 1）线性性质
（ 3）积分定理
（ 4）实位移定理
（ 6）初值定理
（ 7）终值定理
( s )Fb( s )Fa( t )fb( t )faL 2121
0fsFstfL
011 1-fssFsdttfL
)()( 0 sFetfL sτ
)()( AsFtfeL tA
)(lim)(lim 0 sFstf st
)(lim)(lim 0 sFstf st
2 — 1,2,3
附加作业,
1 已知 f(t),求 F(s)
tTetf 11)()1(
)2c o s1(03.0)()2( ttf
)35s i n ()()3( ttf
tetf t 12c o s)()4( 4.0
)42)(2(
823)(2
2
2
ssss
sssF,求 f(0),f(∞) 。
自动控制原理
（第 3 讲）
第二章 控制系统的数学模型
§ 2.1 引言
§ 2.2 控制系统的时域数学模型复习,拉普拉斯变换有关知识自动控制原理课程的任务与体系结构
§ 2 控制系统的数学模型自动控制原理时域模型 — 微分方程复域模型 — 传递函数
§ 2 控制系统的数学模型
2.1 引言数学模型,描述系统输入,输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式建模方法,解析法,实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程线性元部件,线性系统微分方程的建立非线性系统微分方程的线性化
§ 2.1 引言
数学模型描述系统输入,输出变量以及内部各变量之间关系的数 学表达式
建模方法解析法 （ 机理分析法 ）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程实验法 （ 系统辨识法 ）
给系统施加某种测试信号,记录输出响应,并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§ 2.2 控制系统的数学模型 — 微分方程
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
011
1
1
011
1
1
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
线性定常系统微分方程的一般形式
§ 2.2 控制系统的数学模型 — 微分方程
)(1)(1)()(22 tuLCtuLCdt tduLRdt tud rccc
dt
tduCti c )()(?
)()()()( tutRidt tdiLtu cr
)()()(22 tudt tduRCdt tudLC ccc
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程例 1 R-L-C 串连电路
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程 （ 1）
)(
)(1
omm
mii
xxfF
xxKF
02 xKFo?
oommi xKxxfxxK 21 )()(
:
:
B
A
ioo
oooim
oim
xx
f
K
x
K
KK
xx
f
K
x
K
K
xx
xKxKxK
2
1
21
2
1
2
211
ioo xKK
Kx
KKf
KKx
21
1
21
21
)(
例 2 弹簧 — 阻尼器系统
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程电磁力矩,— 安培定律电枢反电势,— 楞次定律电枢回路,— 克希霍夫力矩平衡,— 牛顿定律
br ERiu
meb cE
icM mm?
mm
mmmmm MfJ
电机时间常数电机传递系数 )/( )/( memmm memmm ccfRcK ccfRRJT
rmmmmrmmmm uKTuKT
消去中间变量 i,Mm,Eb 可得：
例 3 电枢控制式直流电动机
§ 2,2,1 线性元部件及系统的微分方程 （ 3）
反馈口：
放大器：
电动机：
减速器：
绳 轮：
电 桥：
r
m
m
m
m
m
uT KKKKKLT KKKKKLTL 432143211
消去中间变量可得：
LKu
KL
K
uKT
uKu
uuu
p
m
mmmm
pr
4
23
32
1
例 4 X-Y 记录仪
§ 2,2,2 非线性系统微分方程的线性化 （举例 1）
)](c o s [)( 0 txExy?
)()()( 0xyxyxy
xxEy 00 s i n
取一次近似，且令既有例 5 已知某装置的输入输出特性如下,求小扰动线性化方程 。
200000 ))((!21))(()()( xxxyxxxyxyxy
解,在工作点 (x0,y0)处展开泰勒级数
)(s i n 000 xxxE
§ 2,2,2 非线性系统微分方程的线性化 （举例 2）
rQShSdt
dh 1
hhhhdt hdhh h
0
00 2
1|
0
)(1)2 1()( 0
0
0
0
rr QQShhhSdt
hhd
S
Qh
Sdt
dh r 0
00
rQShhSdt
hd 1
2 0
解,在 处泰勒展开，取一次近似
0h
代入原方程可得在平衡点处系统满足上两式相减可得线性化方程例 6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程式中 S 为液位容器的横截面积 。 若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化,试导出 h 关于 Q 的线性化方程 。
线性定常微分方程求解微分方程求解方法复习拉普拉斯变换有关内容 （ 1）
1 复数有关概念
（ 1）复数、复函数复数复函数
js
)()()( sFsFsF yx
例 1 jssF 22)(
（ 2）模、相角
22 yx FFsF
x
y
F
FsF ar c t an
（ 3）复数的共轭
yx jFFsF)(
（ 4）解析 若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则 F(s)在 s 点解析。
模相角复习拉普拉斯变换有关内容 （ 2）
2 拉氏变换的定义
0 )()()]([ dtetfsFtfL ts
（ 1）阶跃函数
)(
)(
tf
sF
像原像
3 常见函数的拉氏变换
00
01)(
t
ttf
ssesdtetL stst 1101111 0
0
（ 2）指数函数 atetf?)(
dtedteetfL tasstat
00
)]([
as)(aseas a) t(s 11011 0
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 3）
（ 3）正弦函数
0s i n
00
ω t t
t f ( t )
dteeejdtetf ( t )L sttjtjst
00 2
1s i n
dteej )tj(s)t- ( s - j
0 2
1
00 112 1 )tj(s)tj(s ejsejsj
2222
2
2
111
2
1
ss
j
jjsjsj
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 4）
（ 1）线性性质
4 拉氏变换的几个重要定理
（ 2）微分定理
( s )Fb( s )Fa( t )fb( t )faL 2121
0fsFstfL
00
左 tdfedtetf stst
0000 1221 nn-n-n-nn fsffsfssFstf?
dtetfs-f st
0
00 右0 fssF
st- s t detftfe
0
0
证明：
0初条件下有,sFstfL nn?
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 5）
例 2 求)(?tL?
解,t1t
tLtδL 1
例 3 求)c o s (?tL?
解,
tt nsi1c o s
tLtL nsi1c o s
01 δss 101
22
1
ss 22
s s
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 6）
（ 3）积分定理011 1-f
ssFsdttfL
零初始条件下有,sF
sdttfL
1
进一步有：
0101011 2
1
1 n
nnn
n
n
fsfsfssFsdttfL
个例 4 求 L[t]=?
解,
dttt 1
dttLtL 1
例 5 求解,
dttt2
2
0
2
2 2
111
t
t
sss
2
2
tL
0
111
ttsss 2
1
s?
dttLtL 22 31s?
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 7）
（ 4）实位移定理证明：
例 6
解,)(1)(1)( atttf
)(1)(1)( attLtfL
)()( 00 sFetfL sτ
F ( s ),
at 0
at 0 1
0t 0
tf 求
ses
as 11
s
e as 1
dtetf st 0 0 )(?左令
0t
def s
0
0 )()(
defe ss
0
0 )(
右?
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 8）
（ 5）复位移定理证明：
)()( AsFtfeL tA
dtetfe stAt 0 )(左令 sAs
dtetf ts 0 )(? )(sF 右?
dtetf tAs 0 )()(
)( AsF
ate L
teL t- 5co s3?
)πt(eL t 35co s2
2
22
15
5
ss
sπ-
s
se
例 7
例 8
例 9
22 53
3
s
s
3
22 5
sss
s
atetL 1
asss
1
)
π(teL t
155c os
2
22
215
52
2
s
se sπ
as
1
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 9）
（ 6）初值定理证明：由微分定理
)(lim)(lim 0 sFstf st
)0()()(0 fsFsdtedt tdf ts
2
1)(
ssF?
例 10
)0()(l i m)(l i m 0 fsFsdtedt tdf stss
0l i m)(0
dtedt tdf tss左 0)0()(lim fsFss
)(lim)(lim)0( 0 sFstff st
ttf?
)(l i m)0( sFsf s 01lim 2 sss
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 10）
（ 7）终值定理证明：由微分定理
)(lim)(lim 0 sFstf st
)0()()(0 fsFsdtedt tdf ts
))((
1)(
bsasssF
例 11
（终值确实存在时）
)0()(l i m)(l i m 000 fsFsdtedt tdf stss
dtedt tdf tss 0 0lim)(左?
0 )( tdf
t
t tdf0 )(lim
)0()(l i m ftft)0()(l i m 0 fsFss右
abbsasssf s 11lim 0
22 ωs ωsF tωtf s i n例 12 0l i m 220 ωs ωss
复习拉普拉斯变换有关内容 （ 11）
用拉氏变换方法解微分方程
)(1)()()( 21 ttyatyaty
ssYasas
1)()(
21
2
L变换
0)0()0( yy
)(
1)(
21
2 asasssY
)(1 sYLty
系统微分方程
L-1变换控制系统的数学模型课程小结 (1)
时域模型 — 微分方程
元部件及系统微分方程的建立
线性定常系统微分方程的特点
非线性方程的线性化
微分方程求解课程小结 (2)
1 拉氏变换的定义
0 )()( dtetfsF ts
（ 2）单位阶跃
2 常见函数 L变换 )(tf
s1
（ 5）指数函数 ate? )(1 as?
)(sF
)(1t
（ 1）单位脉冲 1)(t?
（ 3）单位斜坡 21 st
（ 4）单位加速度 31 s22t
（ 6）正弦函数 t?sin )( 22s
（ 7）余弦函数 t?cos )( 22ss
课程小结 (3)
（ 2）微分定理
3 L变换重要定理
（ 5）复位移定理
（ 1）线性性质
（ 3）积分定理
（ 4）实位移定理
（ 6）初值定理
（ 7）终值定理
( s )Fb( s )Fa( t )fb( t )faL 2121
0fsFstfL
011 1-fssFsdttfL
)()( 0 sFetfL sτ
)()( AsFtfeL tA
)(lim)(lim 0 sFstf st
)(lim)(lim 0 sFstf st
