课程回顾 （ 1）
（ 1）改善二阶系统动态性能的措施
（ 2）附加开环零点的影响增加阻尼
（ 3）附加闭环零点的影响测速反馈控制改变：特征方程系数 → 特征根 → 模态 → 阶跃响应 → 性能改变：部分分式系数 → 模态的加权值 → 阶跃响应 → 性能比例 +微分控制提前控制课程回顾 （ 2）
mn
s
zsK
asasasa
bsbsbsb
sD
sM
s
n
j
j
m
i
i
n
n
n
n
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1
1
01
1
1
01
1
1
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i
ii
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t
i
t
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teAesDs sMDMtc
s i n)( )()0( )0()(
§ 3.4.1 高阶系统单位阶跃响应
§ 3.4.2 闭环主导极点
§ 3.4.3 估算高阶系统动态指标的零点极点法自动控制原理
（第 11 讲）
§ 3 线性系统的时域分析与校正
§ 3.1 概述
§ 3.2 一阶系统的时间响应及动态性能
§ 3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
§ 3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能
§ 3.5 线性系统的稳定性分析
§ 3.6 线性系统的稳态误差
§ 3.7 线性系统时域校正自动控制原理
（第 11 讲）
§ 3.5 线性系统的稳定性分析
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 1）
§ 3.5.1 稳定性的概念稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。
定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 2）
§ 3.5.2 稳定的充要条件系统稳定的充要条件,系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半 s平面。
0)(lim?
tk
t
根据系统稳定的定义，若,则系统是稳定的。
)()()(
)()()(
)(
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21
21
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ni,,2,1
必要性,
0 i?
充分性,0?
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§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 3）
§ 3.5.3 稳定判据
0)( 0111 asasasasD nnnn?
(1)必要条件
)0(?na
0?ia 1,,2,1,0 ni?
说明：
0128296)( 2345 ssssssD
)3)(2)(1()( ssssD
)3)(23( 2 sss
6116 23 sss
ssss 2)2)(1( 2
2 s
232 ss
)3)(232 sss
sss 23 23
693 2 ss
6116 23 sss
08964)( 245 sssssD
010275)( 234 sssssD
例 1
不稳定不稳定可能稳定
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 4）
0)( 012211 asasasasasD nnnnnn?
(2) 劳斯（ Routh） 判据
0
3
2
1
s
s
s
s
s
n
n
n
n
劳斯表
642 nnnn aaaa
7531 nnnn aaaa
4321 bbbb
4321 cccc
劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数
0a
1
321
1
n
nnnn
a
aaaab 54
2b
76
3
1
2131
1 b
baabc nn
1
3151
2 b
baab nn 47
3
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 5）
s4
s3
s2
s1
s0
解,列劳斯表
1 7 10
5 2
劳斯表第一列元素变号 2次，有 2个正根，系统 不稳定 。
33184?
533
5335 275 105 01105
33184533 1052533
1033184 1051033184
10
10
例 2,D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 6）
s3
s2
s1
s0
解,列劳斯表
1 -3
e 2
劳斯表第一列元素变号 2次，有 2个正根，系统 不稳定 。
2
ee 23
0
例 3,D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半平面的极点数 。
(3) 劳斯判据特殊情况处理
202
某行第一列元素为 0，
而该行元素不全为 0时,
将此 0改为 e，
继续运算。
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 7）
解,列劳斯表
1 12 35
3 20 25
s5
s4
s3
s2
s1
s0
3
16
380
3163 20123 3803 25353
5 25
0 0 0255 2s10
出现全零行时：
用上一行元素组成辅助方程，将其对 S求导一次，
用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。
25
列辅助方程：
例 4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0
010255 2 ssdsd
D(s) = (s± j5) (s 1) (s 1± j2)
出现全零行时,系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号相反的实根；或两对实部符号相异,虚部相同的复根 。
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 8）
解,列劳斯表
1 0 -1
2 0 -2
s5
s4
s3
s2
s1
s0
0 0
0 -2
16 /e 0
022 4s
8
-2
0
列辅助方程：
例 5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0
0822 34 ssdsd
e
第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定
=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 9）
(4) 劳斯判据的应用例 6 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益 K的范围。
解 依题意有
22 3
)1(9
13
1)(
s
sK
s
sKsG
01969193)( 22 KsKssKssD
01
069
K
K 1
3
2 K
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 10）
例 7 系统结构图如右,
(1)确定使系统稳定的参数 (K,x?的 范围 ;
(2)当 x?2时,确定使全部极点均位于 s=-1之左的 K值范围 。
解,
(1)
)10020()( 2 sss
KsG a
x100
aKK?
01 0 01 0 020)( 23 KssssD x
0
1
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1 0 01
K1 0 020 x
020 10 020 00 xx K?
K100 0 K
0 x
x20 K
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 11）
(2)当 x?2 时,确定使全部极点均位于 s=-1之左的 K值范围 。
01 0 01 0 0220)( 23 KssssD
0
1
2
3
s
s
s
s
231
6110 037?K
0371 0 09 1 2 K?
61100?K 61.0 K
12.9 K
当 x?2 时，进行平移变换,1 ss?
1 ss?
0)611 0 0(2337 23 Ksss
0100)1(100)1(40)1()( 23 KssssD
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 12）
问题讨论：
(1) 系统的稳定性是其自身的属性,与输入类型,形式无关 。
(2) 闭环稳定与否,只取决于闭环极点,与闭环零点无关 。
n
n
n
m
s
C
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C
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C
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2
2
1
1
21
21
)())((
)())((*)(
tntet neCCeCtk21 21)(
闭环零点影响系数 Ci,只会改变动态性能 。
闭环极点决定稳定性,也决定模态,同时影响稳定性和动态性能 。
(3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系 。
课程小结
§ 3.5.1 稳定性的概念
§ 3.5.2 稳定的充要条件
§ 3.5.3 稳定判据
0)(lim tkt
（ 1）判定稳定的必要条件
0)( 0111 asasasasD nnnn?
0?ia
（ 2）劳斯判据
（ 3）劳斯判据特殊情况的处理
（ 4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半 s平面自动控制原理联系并准备 实验二：典型环节模拟实验三：二阶系统特征参数对性能的影响联系地点,实验大楼 12 楼联 系 人,杨建华 (实验中心主任 )
本次课程作业 (10)
3 — 11,12
3 — 14（选做）
（ 1）改善二阶系统动态性能的措施
（ 2）附加开环零点的影响增加阻尼
（ 3）附加闭环零点的影响测速反馈控制改变：特征方程系数 → 特征根 → 模态 → 阶跃响应 → 性能改变：部分分式系数 → 模态的加权值 → 阶跃响应 → 性能比例 +微分控制提前控制课程回顾 （ 2）
mn
s
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asasasa
bsbsbsb
sD
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i
n
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1
1
01
1
1
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1
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)(
)(
)(
dii
i
ii
i
i j
idi
t
i
t
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s i n)( )()0( )0()(
§ 3.4.1 高阶系统单位阶跃响应
§ 3.4.2 闭环主导极点
§ 3.4.3 估算高阶系统动态指标的零点极点法自动控制原理
（第 11 讲）
§ 3 线性系统的时域分析与校正
§ 3.1 概述
§ 3.2 一阶系统的时间响应及动态性能
§ 3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
§ 3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能
§ 3.5 线性系统的稳定性分析
§ 3.6 线性系统的稳态误差
§ 3.7 线性系统时域校正自动控制原理
（第 11 讲）
§ 3.5 线性系统的稳定性分析
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 1）
§ 3.5.1 稳定性的概念稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。
定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 2）
§ 3.5.2 稳定的充要条件系统稳定的充要条件,系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半 s平面。
0)(lim?
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根据系统稳定的定义，若,则系统是稳定的。
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21
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充分性,0?
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§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 3）
§ 3.5.3 稳定判据
0)( 0111 asasasasD nnnn?
(1)必要条件
)0(?na
0?ia 1,,2,1,0 ni?
说明：
0128296)( 2345 ssssssD
)3)(2)(1()( ssssD
)3)(23( 2 sss
6116 23 sss
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2 s
232 ss
)3)(232 sss
sss 23 23
693 2 ss
6116 23 sss
08964)( 245 sssssD
010275)( 234 sssssD
例 1
不稳定不稳定可能稳定
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 4）
0)( 012211 asasasasasD nnnnnn?
(2) 劳斯（ Routh） 判据
0
3
2
1
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劳斯表
642 nnnn aaaa
7531 nnnn aaaa
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劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数
0a
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1
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1
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1
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3
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 5）
s4
s3
s2
s1
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解,列劳斯表
1 7 10
5 2
劳斯表第一列元素变号 2次，有 2个正根，系统 不稳定 。
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533
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10
10
例 2,D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 6）
s3
s2
s1
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解,列劳斯表
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劳斯表第一列元素变号 2次，有 2个正根，系统 不稳定 。
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0
例 3,D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半平面的极点数 。
(3) 劳斯判据特殊情况处理
202
某行第一列元素为 0，
而该行元素不全为 0时,
将此 0改为 e，
继续运算。
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 7）
解,列劳斯表
1 12 35
3 20 25
s5
s4
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3163 20123 3803 25353
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0 0 0255 2s10
出现全零行时：
用上一行元素组成辅助方程，将其对 S求导一次，
用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。
25
列辅助方程：
例 4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0
010255 2 ssdsd
D(s) = (s± j5) (s 1) (s 1± j2)
出现全零行时,系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号相反的实根；或两对实部符号相异,虚部相同的复根 。
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 8）
解,列劳斯表
1 0 -1
2 0 -2
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s4
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s0
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0 -2
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列辅助方程：
例 5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0
0822 34 ssdsd
e
第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定
=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 9）
(4) 劳斯判据的应用例 6 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益 K的范围。
解 依题意有
22 3
)1(9
13
1)(
s
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01969193)( 22 KsKssKssD
01
069
K
K 1
3
2 K
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 10）
例 7 系统结构图如右,
(1)确定使系统稳定的参数 (K,x?的 范围 ;
(2)当 x?2时,确定使全部极点均位于 s=-1之左的 K值范围 。
解,
(1)
)10020()( 2 sss
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01 0 01 0 020)( 23 KssssD x
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K1 0 020 x
020 10 020 00 xx K?
K100 0 K
0 x
x20 K
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 11）
(2)当 x?2 时,确定使全部极点均位于 s=-1之左的 K值范围 。
01 0 01 0 0220)( 23 KssssD
0
1
2
3
s
s
s
s
231
6110 037?K
0371 0 09 1 2 K?
61100?K 61.0 K
12.9 K
当 x?2 时，进行平移变换,1 ss?
1 ss?
0)611 0 0(2337 23 Ksss
0100)1(100)1(40)1()( 23 KssssD
§ 3.5 线性系统的稳定性分析 （ 12）
问题讨论：
(1) 系统的稳定性是其自身的属性,与输入类型,形式无关 。
(2) 闭环稳定与否,只取决于闭环极点,与闭环零点无关 。
n
n
n
m
s
C
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C
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2
2
1
1
21
21
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tntet neCCeCtk21 21)(
闭环零点影响系数 Ci,只会改变动态性能 。
闭环极点决定稳定性,也决定模态,同时影响稳定性和动态性能 。
(3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系 。
课程小结
§ 3.5.1 稳定性的概念
§ 3.5.2 稳定的充要条件
§ 3.5.3 稳定判据
0)(lim tkt
（ 1）判定稳定的必要条件
0)( 0111 asasasasD nnnn?
0?ia
（ 2）劳斯判据
（ 3）劳斯判据特殊情况的处理
（ 4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半 s平面自动控制原理联系并准备 实验二：典型环节模拟实验三：二阶系统特征参数对性能的影响联系地点,实验大楼 12 楼联 系 人,杨建华 (实验中心主任 )
本次课程作业 (10)
3 — 11,12
3 — 14（选做）
