自动控制原理
（第 15 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能
§ 4 根轨迹法自动控制原理
（第 15 讲）
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则课程回顾 （ 1）
根轨迹,系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极点在 s 平面相应变化所描绘出来的轨迹
闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关相角条件：
模值条件：
根轨迹方程
根轨迹增益
闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点课程回顾 （ 2）
法则 1 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：
根轨迹的分支数 = 开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。
法则 3 实轴上的根轨迹：
从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。
定理,若系统有 2个开环极点,1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，
则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 6）
法则 4 根之和：
证明：
n
i
i C
1
n-m ≥ 2时，闭环根之和保持一个常值。
)2( mn
0
1
1
0
1
1
*
1
1
* )(
)()(
)()()(
asas
bsbsK
psps
zszsKsGH
n
n
n
m
m
m
n
m




由代数定理,?

n
i
in pa
1
1
0332211)( asasasassD nnnnnnn
Ca nn
i
i
1
1
0*33*2* bKsbKsK nnn
)()()( 0*033*32*211 bKasbKasKasas nnnnnnnn
0)())(()( 21 nssssD
n-m ≥ 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 7）
法则 5 渐近线,mn
zp
n
i
m
j
ii
a?

1 1?
n > m时,n-m条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。
mn
k
a?
)12(
例 1 系统开环传递函数为
)2()(
*
ss
KsG,试绘制根轨迹 。
解,① 实轴上的根轨迹,[-2,0]
② 渐近线：
102 021 1


mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
90)12( mnka
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 8）
例 2 系统结构图如图所示。
)4)(1(
)2()( *


sss
sKsG解,(1)
② 渐近线,2
3
13
2410

a?
9013 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-4,-2],[-1,0]

1
2*
v
KK
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）当 Re[?1] = -1 时,?3
用根之和法则分析绘制根轨迹：
33211 )1(25410na
3253
(2)
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 9）
法则 6 分离点 d,

m
j j
n
i i zdpd 11
11
说明：
（无零点时右端为 0）
（对应重根）
)2()4)(1()( * sKssssD 0))(( 23 dss?
0))((2)()2()4)(1()( 32* dssdsdssdsdKsssdsdds sdD

2
)2(
)2(
)2(
)4)(1(
)4)(1(
*
*




s
sdsd
sK
sdsdK
sss
sssdsd
)2l n ()4)(1(ln sdsdsssdsd
)2l n ()4l n ()1l n (ln sdsdsssdsd ds
2
1
4
1
1
11
dddd
试根,]5.0,1[d
5.01d
6.02d
55.03d
5 8 9.02 41 55.0* dd d dddK
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 10）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
)2)(1()(
*
sss
KsG解,
② 渐近线,13
210
a?
1 8 0,603 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-2],[-1,0]

1
2*
v
KK
)2)(1()(
*
sss
KsG,绘制根轨迹。
③ 分离点,0
2
1
1
11?
ddd
整理得,0263 2 dd 解根：



5 7 7.1
4 2 3.0
2
1
d
d
④ 与虚轴交点,? 385.021 423.0
* dd dddK
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 11）
法则 7 与虚轴交点：
解法 I,
1）系统临界稳定点
2） s = jw 是根的点
023)2)(1()( *23* KsssKssssD
)2)(1()(
*
sss
KsG[接例 3]
Routh,
解法 II,023)( *23 KjjjD wwww
03)(Re *2 KjD ww
02)(Im 3 wwwjD
2w
6*?K
2
2?
稳定范围,0<K<3
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 12）
法则 8 出射角 /入射角
（起始角 /终止角） 1) π( 2 k
m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s


180]375.10890[59195.56 1?
例 4 单位反馈系统的开环传递函数为
)5.15.0)(5.2(
)2)(5.1()( *


sss
jssKsG,绘制根轨迹。
180]5.63153121199[]90117[ 2?
791?
5.1 4 92?
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 13）
例 5 已知系统结构图，绘制根轨迹。
]22[
)2(
2
1
)2(
1
)( 2


sss
K
ss
ss
s
K
sG解,
② 渐近线,323 110a?
1 8 0,603 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-∞,0]

1
2
v
KKk
④ 与虚轴交点：
③ 出射角, 180]13590[0
1 451?
022)( 23 KssssD
02)(Re 2 KjD ww
02)(Im 3 wwwjD
2w
4?K
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 14）
例 6 单位反馈系统的开环传递函数为
)42)(20()(
*
jsss
KsG

解,
② 渐近线,6
4 22200a
1 3 5,454 )12( k
a
① 实轴上的根轨迹,[-20,0]

1
4 0 0*
v
KK
)204)(20()( 2
*
ssss
KsG,绘制根轨迹。
③ 分离点,04214212011 jdjddd
试根得,1.15d
④ 虚轴交点：
04)2( )2(22011 22 d ddd
040010024)( *234 KsssssD
01 0 0)(Re *24 KjD www
040024)(Im 3 wwwjD
1.4244 0 0w
1389*?K
③ 出射角, 1 8 0]5.125.1 1 690[
1 391?
1 3 8 8 14)2(20 1.1522* dd dddK
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 15）
例 6
)42)(20()(
*
jsss
KsG

② 渐近线,6a?
1 3 5,45a?
① 实轴上的根轨迹,[-20,0]
③ 分离点,1.15d
④ 虚轴交点,1.4?w
1389*?K
③ 出射角, 39?
13881*?dK

1
4 0 0*
v
KK
稳定的开环增益范围,0 < K < 3.4725 基于根轨迹的系统设计工具 — RLTool
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 16）
)322)(1(
)1()( *
jsss
sKsG

解,
② 渐近线,323)141(a?
180,603)12( ka
① 实轴上的根轨迹,(-∞,-1],[0,1]

1
16*
v
KK
例 6 已知
)164)(1(
)1()(
2
*


ssss
sKsG,绘根轨迹 ; 求稳定的 K范围。
④ 分离点,


26.2
49.0
2
1
d
d
1
1
164
)2(2
1
11
2

ddd
d
dd
③ 出射角, 180]9.13012090[1.106
1?
9.541?



6.70
05.3
1
1641 49.0
26.2
2
*
2,1
d
dd d
ddddK
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 17）
例 6
)164)(1(
)1()(
2
*


ssss
sKsG

1
16*
v
KK
零点靠近极点时的情况 (例 3)
⑤ 虚轴交点,
0)16(123)( **234 KsKssssD
012)(Re *24 KjD www
0)16(3)(Im *3 www KjD

56.2
56.1
2
1
w
w
163 2* wK
0169 24 ww

7.35
7.19
*
2
*
1
K
K
7.357.19 * K
23.2162 3 4.1 * KK稳定的 范围,K
*K稳定的 范围,
绘制根轨迹法则小结法则 5 渐近线 mn zp
n
i
m
j
ii
a?

1 1?
mn
k
a?
)12(
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点

m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点法则 8 出射角 /入射角 1) π( 2 km
1j
)jz(s)n
1i i
p(s


0)(Im)(Re ww jDjD
自动控制原理本次课程作业 (15)
4 — 3,4,5
4 — 6（选做）