绘制根轨迹的法则法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
mn
k
a?
)12(
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点法则 8 出射角 /入射角 1) π( 2 km
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
0)(Im)(Re jDjD
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 18）
例 1 系统结构图如图所示
)47()1(
)21(5.3
)174()1(
)12()(
22
ss
sK
ss
sKsG解,(1)
② 渐近线,8
1
13
21472?
a?
9013 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-0.5,1.75]
0
5.3*
v
KK
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）分析系统稳定性随 K*变化的规律。
③ 出射角, 180]1802[180 90?
④ 与虚轴交点,0)1(7)1014(4)(7 23 KsKsssD
0)1(7)(Re 2 KjD
0)1014(4)(Im 3jD
0
1?K
2
79?K
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 19）
例 1 系统结构图如图所示解,(2) 分析：
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）分析系统稳定性随 K*变化的规律。
开环稳定 ≠ 闭环稳定 负反馈未必一定能改善系统性能
§ 4.4 绘制根轨迹的基本法则 （ 20）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
)2)(1()(
*
sss
KsG解,
② 渐近线,1a?
1 8 0,60a?
① 实轴上,[-∞,-2],[-1,0]
1
2*
v
KK
)2)(1(
)1()( *
sss
TsKsG,选定 K
*值，绘制
③ 分离点,0
2
1
1
11?
ddd
解根,423.0
1d
④ 虚轴交点：
3 8 5.021* dddK d
当 T变化时的根轨迹。
0)1()2)(1()( * TsKssssD
*23
**
23)( Ksss
TsKsG
023)( *23 KssssD 02)(I m [ 03)(Re [ 3
*2
jD
KjD
6
2
*K
§ 4.4 绘制根轨迹的基本法则 （ 21）
)2)(1(
)1()( *
sss
TsKsG
虚轴交点：
0)1()2)(1()( * TsKssssD
*23
**
23)( Ksss
TsKsG
0)202(3)( *23 KsTsssD
20*?K
6*?K
3*?K
20*?K
2023
20)(
23
* sss TssG
]2 3 5.24 2 5.0)[85.3(
20)(*
jss
TssG
0)202()](I m [
0203)](Re [
3
2
TjD
jD
233.0
582.2
T
自动控制原理
（第 16 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能
§ 4 根轨迹法自动控制原理
（第 16 讲）
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.3 广义根轨迹例 2 系统开环传递函数
04141)( 23 assssD解,(1)
② 渐近线,31
a 1 8 0,60a?
① 实轴根轨迹,[-∞,0]
)1(
4)()(
2?
ss
assG,a=0→∞ 变化，绘制根轨迹； x?1时,F(s)
③ 分离点,0
5.0
21?
dd
整理得,05.03d 61 d
④ 与虚轴交点：
§ 4.3.1 参数根轨迹 — 除 K* 之外 其他参数变化时系统的根轨迹
223
*
)5.0(
4
4
4)(
ss
a
sss
asG构造,等效开环传递函数,
2725.04 2 dda d
04)(Re 2 ajD
04)(Im 3jD
21?
1?a
044)( 23 assssD
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 1）
解,(2) x?1 时，对应于分离点 d,ad=2/27
)1(
)272(41
)1(
)(41
)( 2
272
2?
ss
s
ss
as
sG
a
)
3
2()
6
1(
)
27
2(
4
1
)
27
2(
4
1)1(
)
27
2(
4
1
)(
22
F
ss
s
sss
s
s
2
*
)5.0(
4)(
ss
asG
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 2）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 I,
② 出射角, )12(302 k
180,60?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
④ 分离点：
7.5 8 7
1
7.27
13
ddd
整理得,04 7 9 7 01 2 3 12 dd
解根：
1 1 9 0,5.40 21 dd
0 00 5 5.07.5 877.27 3 d ddT d
33
2
*
)7.5 8 7)(7.27(1)1 5 9 9 06 1 5(1
)( s
SsT
s
ssT
sG
③ 虚轴交点, 01 5 9 9 0)(Re 2jD
06 1 5)(Im 3 TjD
45.12615990
0 3 8 5.01 5 9 9 06 1 5T
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 3）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 II,
④ 入射角, 180,60?
① 实轴根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
② 分离点,1190d
0 0 0 5 5.0?dT
)1)(7.5 8 7)(7.27()(
3
*
2 ss
TssG
③ 虚轴交点,45.126
0358.0?T
s
§ 4.3 广义根轨迹
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zsK
pspsps
zszsK
sHsG
1
1
*
21
1
*
)(
)(
)())((
)()(
)()(
1
)(
)(
)()(
1
1*
21
1
*
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspsps
zszsK
sHsG
— 模值条件
— 相角条件
§ 4.3.2 零度根轨迹 — 系统实质上处于正反馈时的根轨迹
1)())(( )()()()(
21
1
*?
n
m
pspsps
zszsKsHsG
n
j
j
m
i
i pszssHsG
11
)()()()(?k2
)()(1
)()(
sHsG
sGs?F
绘制 零度 根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mna
k2
m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s?k2
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 1）
例 4 系统结构图如图所示,K*= 0→∞,变化,
试分别绘制 0°,180° 根轨迹。
)1)(1(
)1(
22
)1()(
2 jsjs
sK
ss
sKsG
解,
① 实轴轨迹,[-∞,-1]
0
2
v
KK k
② 出射角, 1 8 0]90[90?
180?
③ 分离点：
1
1
22
)1(21
1
1
2
ddd
d
jidjd
整理得,0)2(22 dddd
解根：
02?d
21 11 21 dd d jdjdK 21
11 0
2
d
d d
jdjdK
(1) 180o根轨迹 (2) 0o根轨迹
[-1,∞]
0]90[90?
0?
21d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 2）
例 5 系统开环传递函数,分别绘制 0o,180o根轨迹 。
解,
③ 渐近线,42 133a?
902 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-3,-1]
0
27*
v
KK
② 出射角, )12(3180 k
1 2 0,0321 k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(1) 绘制 180o根轨迹
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 3）
解,
④ 渐近线,42)133(a?
180,022 ka
① 实轴轨迹,[-∞,-3],[-1,-∞]
0
27*
v
KK
② 出射角, k231 8 0
1 8 0,603 )12( k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(2) 绘制 0o根轨迹
③ 分离点：
1
1
3
3
dd
整理得,333 dd
2713 03* dd ddK
0 d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 4）
0
27*
v
KK
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
0o根轨迹渐近线,4a?
1 8 0,0a?
出射角, 1 8 0,60?
分离点,27
*?dK0?d
0)1()3()( *3 sKssD
0)1(9)( **23 sKsssD
27*** KK
27*** KK
)1()27()3( **3 sKs
)9(
)1()(
2
**
*
ss
sKsG 1
)9(
)1()(
2
**
*?
ss
sKsG
演示
027:*K
270:**K
课程小结
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.3.1 参数根轨迹
— 构造等效开环传递函数
§ 4.3.2 零度根轨迹
— 注意与绘制 180o根轨迹不同的 3条法则自动控制原理本次课程作业 (16)
4 - 12,13,14,15
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
mn
k
a?
)12(
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点法则 8 出射角 /入射角 1) π( 2 km
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
0)(Im)(Re jDjD
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 18）
例 1 系统结构图如图所示
)47()1(
)21(5.3
)174()1(
)12()(
22
ss
sK
ss
sKsG解,(1)
② 渐近线,8
1
13
21472?
a?
9013 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-0.5,1.75]
0
5.3*
v
KK
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）分析系统稳定性随 K*变化的规律。
③ 出射角, 180]1802[180 90?
④ 与虚轴交点,0)1(7)1014(4)(7 23 KsKsssD
0)1(7)(Re 2 KjD
0)1014(4)(Im 3jD
0
1?K
2
79?K
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 19）
例 1 系统结构图如图所示解,(2) 分析：
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）分析系统稳定性随 K*变化的规律。
开环稳定 ≠ 闭环稳定 负反馈未必一定能改善系统性能
§ 4.4 绘制根轨迹的基本法则 （ 20）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
)2)(1()(
*
sss
KsG解,
② 渐近线,1a?
1 8 0,60a?
① 实轴上,[-∞,-2],[-1,0]
1
2*
v
KK
)2)(1(
)1()( *
sss
TsKsG,选定 K
*值，绘制
③ 分离点,0
2
1
1
11?
ddd
解根,423.0
1d
④ 虚轴交点：
3 8 5.021* dddK d
当 T变化时的根轨迹。
0)1()2)(1()( * TsKssssD
*23
**
23)( Ksss
TsKsG
023)( *23 KssssD 02)(I m [ 03)(Re [ 3
*2
jD
KjD
6
2
*K
§ 4.4 绘制根轨迹的基本法则 （ 21）
)2)(1(
)1()( *
sss
TsKsG
虚轴交点：
0)1()2)(1()( * TsKssssD
*23
**
23)( Ksss
TsKsG
0)202(3)( *23 KsTsssD
20*?K
6*?K
3*?K
20*?K
2023
20)(
23
* sss TssG
]2 3 5.24 2 5.0)[85.3(
20)(*
jss
TssG
0)202()](I m [
0203)](Re [
3
2
TjD
jD
233.0
582.2
T
自动控制原理
（第 16 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能
§ 4 根轨迹法自动控制原理
（第 16 讲）
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.3 广义根轨迹例 2 系统开环传递函数
04141)( 23 assssD解,(1)
② 渐近线,31
a 1 8 0,60a?
① 实轴根轨迹,[-∞,0]
)1(
4)()(
2?
ss
assG,a=0→∞ 变化，绘制根轨迹； x?1时,F(s)
③ 分离点,0
5.0
21?
dd
整理得,05.03d 61 d
④ 与虚轴交点：
§ 4.3.1 参数根轨迹 — 除 K* 之外 其他参数变化时系统的根轨迹
223
*
)5.0(
4
4
4)(
ss
a
sss
asG构造,等效开环传递函数,
2725.04 2 dda d
04)(Re 2 ajD
04)(Im 3jD
21?
1?a
044)( 23 assssD
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 1）
解,(2) x?1 时，对应于分离点 d,ad=2/27
)1(
)272(41
)1(
)(41
)( 2
272
2?
ss
s
ss
as
sG
a
)
3
2()
6
1(
)
27
2(
4
1
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27
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)
27
2(
4
1
)(
22
F
ss
s
sss
s
s
2
*
)5.0(
4)(
ss
asG
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 2）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 I,
② 出射角, )12(302 k
180,60?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
④ 分离点：
7.5 8 7
1
7.27
13
ddd
整理得,04 7 9 7 01 2 3 12 dd
解根：
1 1 9 0,5.40 21 dd
0 00 5 5.07.5 877.27 3 d ddT d
33
2
*
)7.5 8 7)(7.27(1)1 5 9 9 06 1 5(1
)( s
SsT
s
ssT
sG
③ 虚轴交点, 01 5 9 9 0)(Re 2jD
06 1 5)(Im 3 TjD
45.12615990
0 3 8 5.01 5 9 9 06 1 5T
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 3）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 II,
④ 入射角, 180,60?
① 实轴根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
② 分离点,1190d
0 0 0 5 5.0?dT
)1)(7.5 8 7)(7.27()(
3
*
2 ss
TssG
③ 虚轴交点,45.126
0358.0?T
s
§ 4.3 广义根轨迹
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zsK
pspsps
zszsK
sHsG
1
1
*
21
1
*
)(
)(
)())((
)()(
)()(
1
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)(
)()(
1
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21
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*
n
j
j
m
i
i
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m
ps
zs
K
pspsps
zszsK
sHsG
— 模值条件
— 相角条件
§ 4.3.2 零度根轨迹 — 系统实质上处于正反馈时的根轨迹
1)())(( )()()()(
21
1
*?
n
m
pspsps
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n
j
j
m
i
i pszssHsG
11
)()()()(?k2
)()(1
)()(
sHsG
sGs?F
绘制 零度 根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mna
k2
m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s?k2
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 1）
例 4 系统结构图如图所示,K*= 0→∞,变化,
试分别绘制 0°,180° 根轨迹。
)1)(1(
)1(
22
)1()(
2 jsjs
sK
ss
sKsG
解,
① 实轴轨迹,[-∞,-1]
0
2
v
KK k
② 出射角, 1 8 0]90[90?
180?
③ 分离点：
1
1
22
)1(21
1
1
2
ddd
d
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整理得,0)2(22 dddd
解根：
02?d
21 11 21 dd d jdjdK 21
11 0
2
d
d d
jdjdK
(1) 180o根轨迹 (2) 0o根轨迹
[-1,∞]
0]90[90?
0?
21d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 2）
例 5 系统开环传递函数,分别绘制 0o,180o根轨迹 。
解,
③ 渐近线,42 133a?
902 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-3,-1]
0
27*
v
KK
② 出射角, )12(3180 k
1 2 0,0321 k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(1) 绘制 180o根轨迹
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 3）
解,
④ 渐近线,42)133(a?
180,022 ka
① 实轴轨迹,[-∞,-3],[-1,-∞]
0
27*
v
KK
② 出射角, k231 8 0
1 8 0,603 )12( k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(2) 绘制 0o根轨迹
③ 分离点：
1
1
3
3
dd
整理得,333 dd
2713 03* dd ddK
0 d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 4）
0
27*
v
KK
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
0o根轨迹渐近线,4a?
1 8 0,0a?
出射角, 1 8 0,60?
分离点,27
*?dK0?d
0)1()3()( *3 sKssD
0)1(9)( **23 sKsssD
27*** KK
27*** KK
)1()27()3( **3 sKs
)9(
)1()(
2
**
*
ss
sKsG 1
)9(
)1()(
2
**
*?
ss
sKsG
演示
027:*K
270:**K
课程小结
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.3.1 参数根轨迹
— 构造等效开环传递函数
§ 4.3.2 零度根轨迹
— 注意与绘制 180o根轨迹不同的 3条法则自动控制原理本次课程作业 (16)
4 - 12,13,14,15
