自动控制原理
（第 14 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能
§ 4 根轨迹法自动控制原理
（第 14 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则自动控制原理课程的任务与体系结构
§ 4 根 轨 迹 法根轨迹法,三大分析校正方法之一特点,（ 1）图解方法，直观、形象。
（ 2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。
（ 3）近似方法，不十分精确。
§ 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹,系统某一参数由 0 → ∞ 变化时,l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
§ 4.1.1 根 轨 迹例 1 系统结构图如图所示，分析
l 随开环增益 K 变化的趋势。
解,
)2(
2
)15.0()(
*
ss
KK
ss
KsG
K,开环增益
K*,根轨迹增益
*2
*
2)(
)()(
Kss
K
sR
sCs
02)( *2 KsssD
*2,1 11 Kl
§ 4.1.2 根轨迹 —— 系统性能
*2,1 11 Kl
02)( *2 KsssD
1 10
§ 4.1.3 闭环零点与开环零、极点之间的关系闭环零点 =前向通道零点 +反馈通道极点闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关系统结构图如图所示，确定闭环零点
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 1）
根轨迹方程及其含义
ps
KsG
*
)(
)(1
)()(
sG
sGs
0)(1 sG
)12()()(
1)(
*
kpssG
ps
KsG
1)(sG
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 2）
一般情况下
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zsK
pspsps
zszsK
sHsG
1
1
*
21
1
*
)(
)(
)())((
)()(
)()(
n
j
j
m
i
i
p
z
KK
1
1*
)()(1
)()(
sHsG
sGs
1)())(( )()()()(
21
1
*
n
m
pspsps
zszsKsHsG
1
)(
)(
)()(
1
1*
21
1
*
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspsps
zszsK
sHsG
)12()()()()(
11
kpszssHsG n
j
j
m
i
i
— 模值条件
— 相角条件
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 3）
例 2 判定 si是否为根轨迹上的点。
模值条件解,
相角条件
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 4）
对 s平面上任意的点,总存在一个 K*,使其满足模值条件,但该点不一定是根轨迹上的点 。
s平面上满足相角条件的点 （ 必定满足幅值条件 ）
一定在根轨迹上 。
满足 相角条件 是 s点位于根轨迹上的 充分必要条件 。
根轨迹上某点对应的 K* 值,应由模值条件来确定 。
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 1）
法则 1 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。
0
11
11
1
1
1
1*?
s
z
s
z
s
p
s
p
s
zszs
psps
K
m
nmn
m
n
s
z
s
z
s
p
s
p
s
zszs
psps
K
m
nmn
m
n
11
11
1
1
1
1*
ips? ni?,2,1?
jzs?
mj?,2,1?
s
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 2）
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：
根轨迹的分支数 =开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。
法则 3 实轴上的根轨迹,
从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、
极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 3）
例 3 某单位反馈系统的开环传递函数为
，证明复平面的根轨迹为圆弧。
)1(
)2()( *
ss
sKsG
1
2 *
v
KK
**2* 2)1()2()1()( KsKssKsssD
j
KK
j
K
KKK
s
2
)1(8
2
)1(
2
8)1()1(
2***
*2**
2,1
2
)1( *K 12*K
244 4)12(84 )1(8 222**2 KK
244 22 222 2)2(
0168)1( *2**2* KKKK
8 2 8.5
1 7 1 6.0
*
*
2
1
d
d
K
K
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 4）
例 3 某单位反馈系统的开环传递函数为
，证明复平面的根轨迹为圆弧。
系统性能分析
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 5）
定理：若系统有 2个开环极点,1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，
则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
课程小结
§ 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹闭环零点与开环零极点之间的关系根轨迹方程
§ 4.2 绘制根轨迹法的基本法则法则 1 根轨迹的起点和终点：
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹两个极点，一个零点时根轨迹的绘制自动控制原理本次课程作业 (14)
4 — 1
（第 14 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能
§ 4 根轨迹法自动控制原理
（第 14 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则自动控制原理课程的任务与体系结构
§ 4 根 轨 迹 法根轨迹法,三大分析校正方法之一特点,（ 1）图解方法，直观、形象。
（ 2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。
（ 3）近似方法，不十分精确。
§ 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹,系统某一参数由 0 → ∞ 变化时,l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
§ 4.1.1 根 轨 迹例 1 系统结构图如图所示，分析
l 随开环增益 K 变化的趋势。
解,
)2(
2
)15.0()(
*
ss
KK
ss
KsG
K,开环增益
K*,根轨迹增益
*2
*
2)(
)()(
Kss
K
sR
sCs
02)( *2 KsssD
*2,1 11 Kl
§ 4.1.2 根轨迹 —— 系统性能
*2,1 11 Kl
02)( *2 KsssD
1 10
§ 4.1.3 闭环零点与开环零、极点之间的关系闭环零点 =前向通道零点 +反馈通道极点闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关系统结构图如图所示，确定闭环零点
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 1）
根轨迹方程及其含义
ps
KsG
*
)(
)(1
)()(
sG
sGs
0)(1 sG
)12()()(
1)(
*
kpssG
ps
KsG
1)(sG
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 2）
一般情况下
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zsK
pspsps
zszsK
sHsG
1
1
*
21
1
*
)(
)(
)())((
)()(
)()(
n
j
j
m
i
i
p
z
KK
1
1*
)()(1
)()(
sHsG
sGs
1)())(( )()()()(
21
1
*
n
m
pspsps
zszsKsHsG
1
)(
)(
)()(
1
1*
21
1
*
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspsps
zszsK
sHsG
)12()()()()(
11
kpszssHsG n
j
j
m
i
i
— 模值条件
— 相角条件
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 3）
例 2 判定 si是否为根轨迹上的点。
模值条件解,
相角条件
§ 4.1.4 根轨迹方程 （ 4）
对 s平面上任意的点,总存在一个 K*,使其满足模值条件,但该点不一定是根轨迹上的点 。
s平面上满足相角条件的点 （ 必定满足幅值条件 ）
一定在根轨迹上 。
满足 相角条件 是 s点位于根轨迹上的 充分必要条件 。
根轨迹上某点对应的 K* 值,应由模值条件来确定 。
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 1）
法则 1 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。
0
11
11
1
1
1
1*?
s
z
s
z
s
p
s
p
s
zszs
psps
K
m
nmn
m
n
s
z
s
z
s
p
s
p
s
zszs
psps
K
m
nmn
m
n
11
11
1
1
1
1*
ips? ni?,2,1?
jzs?
mj?,2,1?
s
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 2）
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：
根轨迹的分支数 =开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。
法则 3 实轴上的根轨迹,
从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、
极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 3）
例 3 某单位反馈系统的开环传递函数为
，证明复平面的根轨迹为圆弧。
)1(
)2()( *
ss
sKsG
1
2 *
v
KK
**2* 2)1()2()1()( KsKssKsssD
j
KK
j
K
KKK
s
2
)1(8
2
)1(
2
8)1()1(
2***
*2**
2,1
2
)1( *K 12*K
244 4)12(84 )1(8 222**2 KK
244 22 222 2)2(
0168)1( *2**2* KKKK
8 2 8.5
1 7 1 6.0
*
*
2
1
d
d
K
K
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 4）
例 3 某单位反馈系统的开环传递函数为
，证明复平面的根轨迹为圆弧。
系统性能分析
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则 （ 5）
定理：若系统有 2个开环极点,1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，
则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
课程小结
§ 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹闭环零点与开环零极点之间的关系根轨迹方程
§ 4.2 绘制根轨迹法的基本法则法则 1 根轨迹的起点和终点：
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹两个极点，一个零点时根轨迹的绘制自动控制原理本次课程作业 (14)
4 — 1
