根轨迹法的基本概念
根轨迹,系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极点在 s 平面相应变化所描绘出来的轨迹
闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关相角条件：
模值条件：
根轨迹方程
根轨迹增益
闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点绘制根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mn
k
a?
)12(
)12(m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
k
自动控制原理
（第 17 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能
§ 4 根轨迹法自动控制原理
（第 17 讲）
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能第四章小结
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 1）
例 1 已知系统结构图,K*= 0→∞,绘制系统根轨迹并确定：
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤
⑴ 绘制系统根轨迹；
⑵ 依题意确定闭环极点位置；
⑶ 确定闭环零点；
⑷ 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置；
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)。
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 2）
)4)(2()(
*
sss
KsG解,绘制系统根轨迹
② 渐近线,23)42(a?
1 8 0,60a?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-4],[-2,0]
1
8*
v
KK
③ 分离点,0
4
1
2
11?
ddd
整理得,08123 2 dd
解根,1 5 5.3;8 4 5.0 21 dd
④ 虚轴交点：
08.342 845.0* dd dddK
086)4)(2()( *23* KsssKssssD
06)(Re *2 KjD
08)(Im 3jD 8 2 8.2
48*K
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 3）
10x依题，对应设
4808.3 * K
应有：
解根：
*2 )6(
86
Knn
n
比较系数
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围有：
68488808.3 * KK
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置
nn j?xx 22,1 1
由根之和
326420?x nC
nn?x
x 626 5.0
3
*23* 86)4)(2()( KsssKssssD
3.8
34
*K
n?
667.46
1547.1667.0
0375.18
3
2,1
*
n
j
KK
))()(( 321 sss
)6(66 223 nnn sss
)6)(2( 22 nnn sssx
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 4）
*23 86)( KssssD
2s
解根：
试根
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
383.4
86
383.4
)( *23
s
Ksss
s
sD
3 8 3.4
5 0 9.08 0 8.0
3
2,1
j
)3)(5( 2 sss
6583.15.02,1 j
8 7 5.18158* KK
23 5ss?
ss 82?
ss 52?
*3 Ks?
153?s
s? 3?
*23 865 Kssss
0 15
*K
15*?K
442 333*K
383.43
令
9127.0617.12 ss
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 5）
视?1,2 为主导极点
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
4
383.4
509.0808.0
3
2,1
z
j
*
*
*
*
)4)(2(
)4(
)4)(2(
1
)2(
)(
Ksss
sK
sss
K
ss
K
s
)5 0 9.08 0 8.0)[3 8 3.4(
)4(*4*
jss
sKK
)9 1 2 7.06 1 7.1)[3 8 3.4(
)4(4
2
sss
s
9 1 2 7.06 1 7.1
9 1 2 7.04
2
ss
8 46 3.0)9 55.02(6 17.1
9 55.09 12 7.0
x
n
33.48 0 8.05.35.3
6 8 9.0 00100 2
nst
e
x?
xx?
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 6）
例 2 系统结构图如图所示。
)3(4
2
)3)(2(
)4()( **
ss
K
s
s
sss
sKsG解,(1)
1
3*
v
KK
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）使复极点对应的 x?0.5 (b?60o)时的 K 及
])3()[2(
)4(
)3(
1
)3)(2(
)4(
)( *
*
*
*
Ksss
sK
ss
K
sss
sK
s
62.1
17.5 0000
st
(3)
（ 3）估算系统动态性能指标 (,ts)
(2) 当 x?0.5 (b?60o)时
598.25.12,1 j
95 9 8.25.13 2211*K
33* KK
自动控制原理本次课程作业 (17)
4 - 16,17,18,19
根轨迹,系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极点在 s 平面相应变化所描绘出来的轨迹
闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关相角条件：
模值条件：
根轨迹方程
根轨迹增益
闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点绘制根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mn
k
a?
)12(
)12(m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
k
自动控制原理
（第 17 讲）
§ 4.1 根轨迹法的基本概念
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能
§ 4 根轨迹法自动控制原理
（第 17 讲）
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能第四章小结
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 1）
例 1 已知系统结构图,K*= 0→∞,绘制系统根轨迹并确定：
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤
⑴ 绘制系统根轨迹；
⑵ 依题意确定闭环极点位置；
⑶ 确定闭环零点；
⑷ 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置；
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)。
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 2）
)4)(2()(
*
sss
KsG解,绘制系统根轨迹
② 渐近线,23)42(a?
1 8 0,60a?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-4],[-2,0]
1
8*
v
KK
③ 分离点,0
4
1
2
11?
ddd
整理得,08123 2 dd
解根,1 5 5.3;8 4 5.0 21 dd
④ 虚轴交点：
08.342 845.0* dd dddK
086)4)(2()( *23* KsssKssssD
06)(Re *2 KjD
08)(Im 3jD 8 2 8.2
48*K
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 3）
10x依题，对应设
4808.3 * K
应有：
解根：
*2 )6(
86
Knn
n
比较系数
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围有：
68488808.3 * KK
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置
nn j?xx 22,1 1
由根之和
326420?x nC
nn?x
x 626 5.0
3
*23* 86)4)(2()( KsssKssssD
3.8
34
*K
n?
667.46
1547.1667.0
0375.18
3
2,1
*
n
j
KK
))()(( 321 sss
)6(66 223 nnn sss
)6)(2( 22 nnn sssx
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 4）
*23 86)( KssssD
2s
解根：
试根
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
383.4
86
383.4
)( *23
s
Ksss
s
sD
3 8 3.4
5 0 9.08 0 8.0
3
2,1
j
)3)(5( 2 sss
6583.15.02,1 j
8 7 5.18158* KK
23 5ss?
ss 82?
ss 52?
*3 Ks?
153?s
s? 3?
*23 865 Kssss
0 15
*K
15*?K
442 333*K
383.43
令
9127.0617.12 ss
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 5）
视?1,2 为主导极点
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
4
383.4
509.0808.0
3
2,1
z
j
*
*
*
*
)4)(2(
)4(
)4)(2(
1
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)(
Ksss
sK
sss
K
ss
K
s
)5 0 9.08 0 8.0)[3 8 3.4(
)4(*4*
jss
sKK
)9 1 2 7.06 1 7.1)[3 8 3.4(
)4(4
2
sss
s
9 1 2 7.06 1 7.1
9 1 2 7.04
2
ss
8 46 3.0)9 55.02(6 17.1
9 55.09 12 7.0
x
n
33.48 0 8.05.35.3
6 8 9.0 00100 2
nst
e
x?
xx?
§ 4.4 利用根轨迹分析系统性能 （ 6）
例 2 系统结构图如图所示。
)3(4
2
)3)(2(
)4()( **
ss
K
s
s
sss
sKsG解,(1)
1
3*
v
KK
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）使复极点对应的 x?0.5 (b?60o)时的 K 及
])3()[2(
)4(
)3(
1
)3)(2(
)4(
)( *
*
*
*
Ksss
sK
ss
K
sss
sK
s
62.1
17.5 0000
st
(3)
（ 3）估算系统动态性能指标 (,ts)
(2) 当 x?0.5 (b?60o)时
598.25.12,1 j
95 9 8.25.13 2211*K
33* KK
自动控制原理本次课程作业 (17)
4 - 16,17,18,19
