第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 1页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
)c os ( tAx
一 振幅
m a xxA?二 周期、频率
k
mT π2?
弹簧振子周期
π2?T周期
π2
1
T
频率
T
π2π2圆频率
])(c o s [ TtA
周期和频率仅与振动系统 本身 的物理性质有关注意
tx? 图
A
A?
x
T
2
T
t
o
三个重要参数第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 2页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
1） 存在一一对应的关系 ;),( vxt
π2~02） 相位在 内变化，质点 无相同 的运动状态；
三 相位t
3）初 相位 描述质点 初始 时刻的运动状态,)0(?t? ) (π2 nn
相差 为整数 质点运动状态 全同,（周期性）
π]20[π]π[( 取 或 )
tx? 图
A
A?
x
T
2
T
t
o
)s i n ( tAv
)c os ( tAx
简谐运动中,和间不存在一一对应的关系,
x v v?
v?
v?
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 3页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
2
2
02
0?
v xA
0
0t an
x?
v
四 常数 和 的确定A?
000 vv xxt
初始条件
co s0 Ax?
s i n0 Av
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，
振幅和初相由初始条件决定,
)s i n ( tAv
)c os ( tAx
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 4页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
c o s0 A?
2
π
0s i n0Av?
2
π 0s i n 取
0,0,0 vxt
已知 求?讨论
x
v?
o
)
2
π c o s ( tAx?
A
A?
x
T
2
T
t
o
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 5页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
o
xo
A?
c os0 Ax?
当 时0?t
0x
五 旋转矢量表示法第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 6页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
o
xo
A?
tt?
t
)c os ( tAx
时第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 7页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
)c o s( tAx
旋转矢量 的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 8页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
A?mv
)2π c o s ( tAv
)c o s (2 tAa
2
n?Aa?
2
π t
mv
v?
x
y
0
A?
t
)c os ( tAx
na
a?
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 9页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
（旋转矢量旋转一周所需的时间）
π2?T
用旋转矢量图画简谐运动的 图tx?
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 10页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
A
A?
x
2A t
o
a
b
x
AA? 0
讨论? 相位差：表示两个相位之差,
1） 对 同一 简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间,)()(
12 tt
)c o s ( 1 tAx
)c o s ( 2 tAx 12 ttt
at
3
π TTt
6
1
π2
3π
v? 2
A
bt
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 11页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
0
x
to
同步
2） 对于两个 同 频率 的简谐运动，相位差表示它们间 步调 上的 差异,（解决振动合成问题）
)c o s ( 111 tAx )c o s ( 222 tAx
)()( 12 tt 12
x
to
为其它超前落后
t
x
o
π 反相第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 12页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数,物体的质量,
（ 1） 把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；
1mN72.0k g20?m
m05.0?x
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
m/x
o
0.05
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 13页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o x
解（ 1）
1
1
s0.6
kg02.0
mN72.0
m
k?
m05.002
2
02
0 xxA?
v
0t an
0
0
x?
v
π 0 或
A
由旋转矢量图可知
0
)c o s( tAx ])s0.6c o s [ ()m05.0( 1 t
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 14页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o xA
2
A
解 )c o s( tAx
)c o s ( tA
2
1)c o s (
A
xt?
3
π 5
3
π 或?t?
A
3
π?t?由旋转矢量图可知
tA s inv
1sm26.0 （负号表示速度沿 轴负方向）Ox
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 15页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
解
m0707.02
2
02
0
vxA ＇
1t an
0
0
x?
v＇
4
π 3
4
π 或＇
o x
＇A?
4π?
)c o s( tAx
]
4
π)s0.6c o s [ ()m0 7 0 7.0( 1 t
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
因为,由旋转矢量图可知 4π＇?00?v
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 16页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 2 一质量为 的物体作简谐运动，其振幅为,周期为,起始时刻物体在kg01.0m08.0 s4?x m04.0
处，向 轴负方向运动（如图）,试求Ox
（ 1） 时，物体所处的位置和所受的力；s0.1?t
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
解 m08.0?A
1s
2
ππ2
T
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 17页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
3
π0
0v?
m04.0,0 xt 代入 )c o s( tAx
c o s)m08.0(m04.0?
3
π
A
3π
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
m08.0?A 1
s
2
ππ2
T
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 18页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
s0.1?t 代入上式得 m0 6 9.0x
xmkxF 2
)m0 6 9.0()s2π)(kg01.0( 21N1070.1 3
kg01.0?m
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 19页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
（ 2） 由起始位置运动到 处所需要的最短时间,
m04.0x
法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为
m04.0x
t
]3π)s2πc os [ ()m08.0(m04.0 1 t
s
2π
3
π
)
2
1
(arc co s
t
s667.0s32
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 20页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
解法二
3π3π
起始时刻时刻t
t?
3
π?t? s6 6 7.0s
3
2t
1s
2
π
)c os ( tAx
一 振幅
m a xxA?二 周期、频率
k
mT π2?
弹簧振子周期
π2?T周期
π2
1
T
频率
T
π2π2圆频率
])(c o s [ TtA
周期和频率仅与振动系统 本身 的物理性质有关注意
tx? 图
A
A?
x
T
2
T
t
o
三个重要参数第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 2页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
1） 存在一一对应的关系 ;),( vxt
π2~02） 相位在 内变化，质点 无相同 的运动状态；
三 相位t
3）初 相位 描述质点 初始 时刻的运动状态,)0(?t? ) (π2 nn
相差 为整数 质点运动状态 全同,（周期性）
π]20[π]π[( 取 或 )
tx? 图
A
A?
x
T
2
T
t
o
)s i n ( tAv
)c os ( tAx
简谐运动中,和间不存在一一对应的关系,
x v v?
v?
v?
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 3页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
2
2
02
0?
v xA
0
0t an
x?
v
四 常数 和 的确定A?
000 vv xxt
初始条件
co s0 Ax?
s i n0 Av
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，
振幅和初相由初始条件决定,
)s i n ( tAv
)c os ( tAx
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 4页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
c o s0 A?
2
π
0s i n0Av?
2
π 0s i n 取
0,0,0 vxt
已知 求?讨论
x
v?
o
)
2
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A
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2
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第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 5页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
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o
xo
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c os0 Ax?
当 时0?t
0x
五 旋转矢量表示法第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 6页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
A?
o
xo
A?
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t
)c os ( tAx
时第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 7页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
)c o s( tAx
旋转矢量 的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动,
x
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第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 8页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
A?mv
)2π c o s ( tAv
)c o s (2 tAa
2
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2
π t
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x
y
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A?
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)c os ( tAx
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第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 9页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
（旋转矢量旋转一周所需的时间）
π2?T
用旋转矢量图画简谐运动的 图tx?
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A
A?
x
2A t
o
a
b
x
AA? 0
讨论? 相位差：表示两个相位之差,
1） 对 同一 简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间,)()(
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)c o s ( 1 tAx
)c o s ( 2 tAx 12 ttt
at
3
π TTt
6
1
π2
3π
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A
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第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 11页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
0
x
to
同步
2） 对于两个 同 频率 的简谐运动，相位差表示它们间 步调 上的 差异,（解决振动合成问题）
)c o s ( 111 tAx )c o s ( 222 tAx
)()( 12 tt 12
x
to
为其它超前落后
t
x
o
π 反相第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 12页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数,物体的质量,
（ 1） 把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；
1mN72.0k g20?m
m05.0?x
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
m/x
o
0.05
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 13页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o x
解（ 1）
1
1
s0.6
kg02.0
mN72.0
m
k?
m05.002
2
02
0 xxA?
v
0t an
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x?
v
π 0 或
A
由旋转矢量图可知
0
)c o s( tAx ])s0.6c o s [ ()m05.0( 1 t
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 14页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o xA
2
A
解 )c o s( tAx
)c o s ( tA
2
1)c o s (
A
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3
π 5
3
π 或?t?
A
3
π?t?由旋转矢量图可知
tA s inv
1sm26.0 （负号表示速度沿 轴负方向）Ox
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 15页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
解
m0707.02
2
02
0
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1t an
0
0
x?
v＇
4
π 3
4
π 或＇
o x
＇A?
4π?
)c o s( tAx
]
4
π)s0.6c o s [ ()m0 7 0 7.0( 1 t
m05.0?x
10 sm30.0v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
因为,由旋转矢量图可知 4π＇?00?v
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例 2 一质量为 的物体作简谐运动，其振幅为,周期为,起始时刻物体在kg01.0m08.0 s4?x m04.0
处，向 轴负方向运动（如图）,试求Ox
（ 1） 时，物体所处的位置和所受的力；s0.1?t
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
解 m08.0?A
1s
2
ππ2
T
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o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
3
π0
0v?
m04.0,0 xt 代入 )c o s( tAx
c o s)m08.0(m04.0?
3
π
A
3π
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
m08.0?A 1
s
2
ππ2
T
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 18页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 tx
s0.1?t 代入上式得 m0 6 9.0x
xmkxF 2
)m0 6 9.0()s2π)(kg01.0( 21N1070.1 3
kg01.0?m
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 19页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
（ 2） 由起始位置运动到 处所需要的最短时间,
m04.0x
法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为
m04.0x
t
]3π)s2πc os [ ()m08.0(m04.0 1 t
s
2π
3
π
)
2
1
(arc co s
t
s667.0s32
第四章 简谐振动§ 4-2 简谐振动的运动学第 20页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
解法二
3π3π
起始时刻时刻t
t?
3
π?t? s6 6 7.0s
3
2t
1s
2
π
