1第五章 刚体运动学
研究对象,刚体
有大小、形状而无形变的物体
实际研究对象的简化 理想模型
研究内容,刚体位置随时间变化的规律刚体运动类型：
第五章 刚体运动学平动 转动（定轴、定点） 一般运动√ √
§ 5-1 刚体平动
§ 5-2 刚体定轴转动
2第五章 刚体运动学
§ 5-1 刚体平动刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行 — 刚体平动
A
B
A?
B?
A?
B?
ABr r A B
(1) 刚体中各质点的运动情况相同一,平动二,平动的特点
BA rr BA vv BA aa
(2) 刚体的平动可归结为质点运动运动学角度,刚体上任一点运动都满足质点运动学规律动力学角度,质心运动代表刚体整体运动，利用质心运动定理研究刚体的平动动力学规律，同质点运动学规律。
3第五章 刚体运动学
§ 5-2 刚体定轴转动一,定轴转动刚体上各质点都绕同一固定转轴作圆周运动
不同点转动 半径不同
转动平面 垂直于转动轴
所有质点在转动平面内的 角速度相同二,描述刚体定轴转动的角量
z
M
I
II
P
)(tf
d
d t
2
2
dd
d dt t
S
υ
a
4第五章 刚体运动学
例：一质点 M绕 z轴逆时针转动，
每分 60转，某时刻 M点的位矢解：
则 M点速度？2 3 ( )r i j S I
M
r
y
x
z
r
260 n k 2 k
r 2 ( 2 3 )k i j
4 ( ) 6 ( )k i k j
i j k
j k i
k i j
46ji
5第六章 刚体动力学第六章 刚体动力学刚体定轴转动的动能定理角动量定理平动：动量定理
cF m a?
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
§ 6-1 力矩 刚体定轴转动定律
§ 6-2 定轴转动刚体的动能 动能定理
§ 6-3 角动量和角动量守恒定律
6第六章 刚体动力学
§ 6-1 刚体定轴转动定律力改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度力 F 对 o点的力矩：
质点获得加速度改变质点的运动状态一,力矩
oM r F
力 F 对 z轴的力矩：
o F?r
z
F?
P
o r
zM r F
O点到力的作用点的矢径方向,右手螺旋法则 单位,牛 ·米 (N · m)
Z轴与转动平面交点到力的作用点的矢径大小,s inr F F h
h
7第六章 刚体动力学
r?
F?
//F?
h
F?
A
z
(2) 在刚体的定轴转动中，
讨论 (1) 若 不在转动平面内，可将 分解：F? F?
//F
—— 平行于 z轴 不产生对 z轴的力矩
F? —— 在转动平面内产生对 z轴的力矩
zM r F
(3) 力对任意点的力矩，在通力矩只有两个指向过该点的任一轴上的投影，
等于该力对该轴的力矩
()OMF
O
8第六章 刚体动力学
(4) 如果有多个力作用于刚体，则刚体所受合 力
1 1 2 2zM r F r F
矩 等于各分力对同一转轴产生的力矩之矢量和。
rF 合 外 力
F
F
z
F F
z
0F?外 0M?z
0F?外
0M?z
重力矩等于全部质量集中在重心时的力矩 GM r m gz
讨论
9第六章 刚体动力学讨论 (5) 滑轮加速转动时，二张力不同。
2F
1F
o
1r2r
取逆时针为正，则合力矩
1 1 2 2M r F r F
1 1 2 2M r F r F 12rF rF
当滑轮加速时,0M?
∴
12FF?
(6) 一对内力对同一转轴的力矩之和为零。
1f
2f
1r
2r
h
1 1 2 2M r f r f
12M h f h f
∴12ff?∵ 0M?
10第六章 刚体动力学求摩擦力的力矩例 1 一小物体 m在水平面上滑动，摩擦系数为 μ，求摩擦力的力矩
o
f
r
解 受力 f m g
()oM f r f
( ) s inoM f r m g
例 2 一圆环 (R,m)在水平面上绕圆心 o点作圆周运动
o
df
ds
d?
解 在圆环上取一小段圆弧 ds
2 md m d sR 2m d
d f d m g 2mg d
() 2m g Rd M f d
2
0( ) ( )M f d M f m g R
()d M f R d f
∴
11第六章 刚体动力学例 3 一细杆 (l,m） 在水平面上绕一端 o作圆运动解求摩擦力的力矩
o
x
沿杆建立如图坐标，
在杆上 x处取一小段线元 dx
x
dx
dfmd m dxl?
mgd f d m g d x
l
∵ 与 方向垂直f x mgd M x d f x d x
l
∵ 杆上 任 一小段元所受力矩方向一致
( ) ( )M f d M f 0l mg x d xl 12 m gl
12第六章 刚体动力学例 4 一圆盘 (R,m） 在水平面上绕定轴转动解求摩擦力的力矩
在圆盘上半径 r处取 dr宽的圆环
o r
f
则圆环质量：
2 2
md m r d r
R
由例 2,()
oM f m g R
∴ ()d M f d m g r
2 2
m r d r g r
R
2
2
2 m g r dr
R
( ) ( )M f d M f 22
0
2R m g r dr
R
2
3 m gR
dr
13第六章 刚体动力学二,刚体定轴转动的微分方程
O ir? iF?if
i i i iF f m a
取一质量元
i i i iF f m a
切线方向
2s in s ini i i i i iF r f r m r
对整个刚体
2s i n s i n ()
i i i iiiF r f r m r
合内力矩 = 0
合外力矩 M
im?
s i n s i ni i i iF f m r
两边同乘
ir
2() iiiM m r外
2iim r J令
（刚体对 z轴的转动惯量）
z z zMJ
—— 刚体定轴转动定律
14第六章 刚体动力学
z z zMJ
刚体在总外力矩 Mz的作用下，获得的角加速度 β与总外力矩的大小成正比，与 J成反比。
讨论 (1) 刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律
(2) M,J,β必须对同一转轴定义
(5) 与牛顿定律比较,amJFM,,
(3) M 正比于?,力矩越大,刚体的?越大
(4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同转动惯量 J反映了刚体转动时惯性的大小。
15第六章 刚体动力学三,转动惯量
2iirmJ定义式 质量不连续分布质量连续分布三个要素,(1) 总质量 (2) 质量分布 (3) 转轴的位置
(1) J 与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L
z
O xdx
M
2
0 d
LJ x x
木铁 JJ?
22J r d m r d V
2
0 d
L Mxx
L
21
3 ML?
研究对象,刚体
有大小、形状而无形变的物体
实际研究对象的简化 理想模型
研究内容,刚体位置随时间变化的规律刚体运动类型：
第五章 刚体运动学平动 转动（定轴、定点） 一般运动√ √
§ 5-1 刚体平动
§ 5-2 刚体定轴转动
2第五章 刚体运动学
§ 5-1 刚体平动刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行 — 刚体平动
A
B
A?
B?
A?
B?
ABr r A B
(1) 刚体中各质点的运动情况相同一,平动二,平动的特点
BA rr BA vv BA aa
(2) 刚体的平动可归结为质点运动运动学角度,刚体上任一点运动都满足质点运动学规律动力学角度,质心运动代表刚体整体运动，利用质心运动定理研究刚体的平动动力学规律，同质点运动学规律。
3第五章 刚体运动学
§ 5-2 刚体定轴转动一,定轴转动刚体上各质点都绕同一固定转轴作圆周运动
不同点转动 半径不同
转动平面 垂直于转动轴
所有质点在转动平面内的 角速度相同二,描述刚体定轴转动的角量
z
M
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4第五章 刚体运动学
例：一质点 M绕 z轴逆时针转动，
每分 60转，某时刻 M点的位矢解：
则 M点速度？2 3 ( )r i j S I
M
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260 n k 2 k
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4 ( ) 6 ( )k i k j
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46ji
5第六章 刚体动力学第六章 刚体动力学刚体定轴转动的动能定理角动量定理平动：动量定理
cF m a?
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
§ 6-1 力矩 刚体定轴转动定律
§ 6-2 定轴转动刚体的动能 动能定理
§ 6-3 角动量和角动量守恒定律
6第六章 刚体动力学
§ 6-1 刚体定轴转动定律力改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度力 F 对 o点的力矩：
质点获得加速度改变质点的运动状态一,力矩
oM r F
力 F 对 z轴的力矩：
o F?r
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O点到力的作用点的矢径方向,右手螺旋法则 单位,牛 ·米 (N · m)
Z轴与转动平面交点到力的作用点的矢径大小,s inr F F h
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7第六章 刚体动力学
r?
F?
//F?
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(2) 在刚体的定轴转动中，
讨论 (1) 若 不在转动平面内，可将 分解：F? F?
//F
—— 平行于 z轴 不产生对 z轴的力矩
F? —— 在转动平面内产生对 z轴的力矩
zM r F
(3) 力对任意点的力矩，在通力矩只有两个指向过该点的任一轴上的投影，
等于该力对该轴的力矩
()OMF
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8第六章 刚体动力学
(4) 如果有多个力作用于刚体，则刚体所受合 力
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矩 等于各分力对同一转轴产生的力矩之矢量和。
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重力矩等于全部质量集中在重心时的力矩 GM r m gz
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9第六章 刚体动力学讨论 (5) 滑轮加速转动时，二张力不同。
2F
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取逆时针为正，则合力矩
1 1 2 2M r F r F
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当滑轮加速时,0M?
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(6) 一对内力对同一转轴的力矩之和为零。
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12M h f h f
∴12ff?∵ 0M?
10第六章 刚体动力学求摩擦力的力矩例 1 一小物体 m在水平面上滑动，摩擦系数为 μ，求摩擦力的力矩
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解 受力 f m g
()oM f r f
( ) s inoM f r m g
例 2 一圆环 (R,m)在水平面上绕圆心 o点作圆周运动
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解 在圆环上取一小段圆弧 ds
2 md m d sR 2m d
d f d m g 2mg d
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11第六章 刚体动力学例 3 一细杆 (l,m） 在水平面上绕一端 o作圆运动解求摩擦力的力矩
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在杆上 x处取一小段线元 dx
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∵ 杆上 任 一小段元所受力矩方向一致
( ) ( )M f d M f 0l mg x d xl 12 m gl
12第六章 刚体动力学例 4 一圆盘 (R,m） 在水平面上绕定轴转动解求摩擦力的力矩
在圆盘上半径 r处取 dr宽的圆环
o r
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则圆环质量：
2 2
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由例 2,()
oM f m g R
∴ ()d M f d m g r
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( ) ( )M f d M f 22
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13第六章 刚体动力学二,刚体定轴转动的微分方程
O ir? iF?if
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取一质量元
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切线方向
2s in s ini i i i i iF r f r m r
对整个刚体
2s i n s i n ()
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合内力矩 = 0
合外力矩 M
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（刚体对 z轴的转动惯量）
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—— 刚体定轴转动定律
14第六章 刚体动力学
z z zMJ
刚体在总外力矩 Mz的作用下，获得的角加速度 β与总外力矩的大小成正比，与 J成反比。
讨论 (1) 刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律
(2) M,J,β必须对同一转轴定义
(5) 与牛顿定律比较,amJFM,,
(3) M 正比于?,力矩越大,刚体的?越大
(4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同转动惯量 J反映了刚体转动时惯性的大小。
15第六章 刚体动力学三,转动惯量
2iirmJ定义式 质量不连续分布质量连续分布三个要素,(1) 总质量 (2) 质量分布 (3) 转轴的位置
(1) J 与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L
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