1第一章 质点运动学大学物理
教材,吴百诗,大学物理,
作业,大学物理习题
参考书目,张孝林,大学物理学习指导,
张三慧,普通物理,
任课教师,丁春颖
2第一章 质点运动学力学篇目录第一章 质点运动学第二章 牛顿运动定律第三章 功和能第四章 冲量和动量第五章 刚体运动学第六章 刚体动力学第七章 机械振动
3第一章 质点运动学
§ 1-1 质点位置的确定方法
§ 1-2 质点的位移 速度 加速度
§ 1-3 各运动参量在直角坐标系中的表示
§ 1-5 圆周运动的角量表示
§ 1-6 相对运动
§ 1-4 用 自然 坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度第一章 质点运动学
4第一章 质点运动学第一章 质点运动学
研究对象,质点
一个有质量的几何点。忽略其大小、形状及内部结构的影响，在空间只占据一个点的位置。
实际研究对象的简化 理想模型
研究内容,质点位置随时间变化的规律
（质点何时在何处 ）
何时：用时间 t 表示 （时间参数）
何处：质点的位置 如何表示？
5第一章 质点运动学一、参照系
x
y
z
O 参照系
(1) 运动学中参考系可任选。
用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系
P
(2) 参照系不同，对运动的描述就不同
(3) 坐标系直角坐标系（ x,y,z ） 球坐标系（ r,θ,? ）
柱坐标系（?,?,z ） 自然坐标系 ( s )
§ 1-1 质点位置的确定方法
（ 固定在参照系上,是参照系上的一个数学抽象 ）
6第一章 质点运动学
1,坐标法（如直角坐标）
2,位矢法
r x i y j z k
表示。r?
位矢的 大小 为：
2 2 2r x y z
质点 P某时刻位置由位置矢量二,确定质点位置的常用方法
3,自然法
O— 自然坐标的原点
o
PS
S— 自然坐标
（可任取）
（ P点相对 O点沿正方向的轨迹曲线长度）
z
x
yO
z
(,,)P x y z
y
x
参考系参考系
r?
O’
'r?
7第一章 质点运动学从数学上确定质点在空间的位置随时间的变化关系三,运动学方程坐标法
（直角坐标系）?
)t(fz
)t(fy
)t(fx
3
2
1
（消去 t即得轨迹方程）
位矢法 k)t(zj)t(yi)t(x)t(rr
自然法 )t(fS?
质点的运动学方程解决了“物体何时在何处
”的问题。
8第一章 质点运动学例：一质点在平面上作匀速圆周运动，逆时针，半径 R，
x
y
R
O
ω
O’
P(x,y)
r? ωt
解,设 t 时刻质点位于圆上某点 P
(1) 坐标法（直角坐标系）
消去 t 可得轨迹方程,222 Ryx
(2) 位矢法 以 O点为参考点
jts i nRitc o sRj)t(yi)t(xr
(3) 自然法 以 O’点为参考点，逆时针为正
S O P R t
角速度 ω,t=0时刻，质点在 O’处。试写出运动方程。
9第一章 质点运动学
§ 1-2 质点的位移、速度和加速度描述质点位置变化的物理量几何描述,PQ
数学描述,)t(r)tt(rr
P
o
Q
r?
一、位移
)tt(r
)t(r?
(1) 位移是矢量（有大小，有方向）
位移不同于路程
(2) 位移与坐标选取无关
Sr
(4) 与 Δr 的区别r
O
r r
O
r?
分清
S?
(3) 由质点的始末位置确定，
与中间运动过程无关讨论
10第一章 质点运动学描述质点位置变化快慢的物理量
r
t
v
2) 瞬时速度
0limtvv 0limt
r
t
dr
dt? r?
()Pt
()Q t ts?
二、速度
1) 平均速度
（质点在单位时间内的位移）
（通常意义下的速度）
（速度是位置矢量对时间的一阶导数）
方向：切线方向即
dt
rd
11第一章 质点运动学
dr ds?
d r d s
d t d tv
v
3) 平均速率和瞬时速率
1()Pt
2()Qt
运动路径
平均速率
t
S
瞬时速率
dt
dS
t
Slim
0t
讨论
1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。
2) 速度和速率的区别
0t 时
Sr
s?
r
12第一章 质点运动学
P
v
0
l im
t
a t
v d
dt?
v
描述质点速度变化快慢的物理量
Q
三、加速度内速度的增量：t?
)()( ttt
内平均加速度：t?
时刻瞬时加速度：t
2
2
dt
rd
t
tttl i m
0t?
)()(
加速度是速度对时间的一阶导数，是位置矢量对时间的二阶导数。
)(t
)( tt
)( tt
tt
ttta
)()(
13第一章 质点运动学在直角坐标系中可写成：
x
y
z
o
ra?
直角坐标系
(A)
§ 1-3 各运动参量在直角坐标系中的表示
j? i?
k?
分别是 x,y,z方向的单位矢量
i? j? k?
r x i y j z k
kji zyx
kajaiaa zyx
大小
222
zyx
222
zyx aaaa
14第一章 质点运动学由基本关系式 r
att vv dddd
x y z
x y z
t t tv v v
d d d
d d d
2 2 2
2 2 2
yx z
x y z
dd dd x d y d za a a
d t d t d t d t d t d t
vv v
有：
比较 (A)(B)两组式子，有：
(B)
kdtdzjdtdyidtdx
kdtdjdtdidtda zyx
思考：
(B)式中为什么没有出现
dt
id?
dt
jd?
dt
kd?
15第一章 质点运动学总结三个基本量 ra? 从不同方面描写同一质点运动的规律。三者之间有着密切的联系：
1、相同点 a) 均为矢量（方向性）
b) 均为时间 t 的函数（瞬时性）
c) 在不同的参照系中，各矢量的大小方向不同（相对性）
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
r a?
微分法积分法微分法积分法
r a? 第一类问题（微分法）
第二类问题（积分法）a r?
16第一章 质点运动学直杆 AB两端可以分别在两固定而相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆的倾角按 φ=ωt 随时间变化，试求杆上 M点的运动规律。（运动方程、
轨迹、速度、加速度）
例解位置矢径速度
t 时刻 M点的位置：
tax?c o s?
tby?s in?
jtbitajyixr s inc o s
12
2
2
2
byax
（椭圆）
加速度消去 t
jtbitajdtdyidtdxdt rd
c o ss i n
jdt ydidt xddtda
2
2
2
2
jtbita
s incos 22
r?2 （方向指向椭圆中心）
运动学第一类问题
r?
a
b
x
y
O
M
t?
A
B
17第一章 质点运动学解等式两端分别积分：
首先判断质点作什么运动？
例 已知质点沿 x轴运动,t =0 时，质点在原点,21 2 smt
右方 2m处。 求,(1) 质点在 t=2 s时的加速度；
(2) t=2 s时，质点的位置。
初速度不为零的变加速直线运动
(1) a 微分法
2
2 84 smtdt
da
t
(2) x 积分法由定义,221 t
dt
dx 分离变量 dttdx )21( 2 tx
02
3
3
22 ttx
mttx
t 33.93
22
2
3
18第一章 质点运动学例 质点沿 x轴运动，加速度 ta 2?,已知 t＝ 0时，质点的位置
00?x 00坐标,速度,试求 t＝ 2s时质点的速度和位置。
解 ∵ a＝ 2t 是变量,不能用匀变速直线运动公式
xa 积分法
(1) 由定义：
分离变量
积分初始值（下限）由初始条件确定
tdtda 2
dttd 2 t00?
∴ smt
t 422
(2) 由定义：
2t
dt
dx
dttdx 2 tx
00
mmtx t 67.23831 23
等式两边积分变量的积分限一一对应注意运动学第二类问题
19第一章 质点运动学例
xa
已知质点匀加速直线运动,a为常数,t＝ 0时
0xx?
，
0
，求质点的速度方程和运动方程。
解 由题意 积分法 （ t为参变量）
（速度方程）由定义：
dt
da
∴
adtd
0 0
t
v
∴ at 0
由定义：
dt
dx dtatdtdx )(
0
0 00
x t t
x
2
00 2
1 attxx （运动方程）
若变换初始条件,已知 x＝ 0时，
0
，求 x＝ 2m处,
解 （ x为参变量） 由定义：
dt
da dxdxd dadx
00
x
)(21 202ax aax x 42 202202
20第一章 质点运动学
方向：沿切向（ ）
大小：
dt
ds
§ 1-4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度自然坐标系设质点作曲线运动，且轨迹已知，则选参考点和正方向即可建立自然坐标。运动方程为：
（用自然坐标 S表示质点位置） O
S
n?
n?
单位切向量
单位法向量 n?
,长度为 1，沿切向指向运动方向
,长度为 1，沿法向指向凹的一侧一、速度
)(tss?
dtds
21第一章 质点运动学二、加速度 用以描述速度随时间 t 变化的规律
naaa
法向加速度切向加速度
()t τv
()ttτv
v
大小变化方向变化
1、匀速圆周运动 （速度大小不变方向变）
o R
()t?
()tt
()t?
()ttR
r
2
t 0 t 0
rl i m l i m
t t R Ra
（沿法向）
nRa
2
22第一章 质点运动学
2、变速圆周运动
o R
()tt
()t?
()tt
n
()t?
n
将 分解为两个分量按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。
ttta t
n
tt?
limlimlim 000
aaa n
—— 法向加速度n
Rdt
da n
n
2
dt
d
dt
da —— 切向加速度
dtdnR
2
23第一章 质点运动学
aaa n
dt
dn
R
2
a? na?
a
大小：
方向：
22
aaaa n
aa n?ta n
0a
匀速圆周运动
//a 加速圆周运动
//a
减速圆周运动 O
P
Q
a?
a?
na? na?
a?
a?
例 质点作椭圆运动,a? 恒指向椭圆一焦点 O，问：质点在 P,Q点加速还是减速？
P点,Q点：减速 加速
24第一章 质点运动学
3、一般曲线运动在一般曲线运动中，速度方向 变化快慢与轨道形状有关，显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。
如何描述曲线弯曲的程度？
A
B
P
曲率半径越小，曲线就越弯
AB A
B
A
B
——— 曲率半径
R
n
n
2
dtda nn?
dtd?dtda
（指向曲率中心）
（沿切向）
25第一章 质点运动学讨论
1) 切向加速度
a?
沿切线，
na?
法向加速度 指向曲率中心，
∴ 质点总加速度 永指向曲线凹向的一侧。a?
2) 注意
dt
d
dt
d
dt
d? 的区别 a? a
a
3) 自然坐标系中
Sa
微分法积分法微分法积分法例 抛体运动：求 A,B两点的曲率半径。
O x
y
0v
解 由题意：
A点：
na a g
22
0 c o s
∴
B点,ga?
22
0 c o s
g
c o sga n
2
0
2
∴
c o s
2
0
g?
B
A
g
g
26第一章 质点运动学例 一汽车在半径 R=200 m 的圆弧形公路上行驶,其运动学方
tts 4.020ddv
根据速度和加速度的表示形式,有
4.0dd ta τ v 92.1
4.020 22
R
)t(
Ra n
v
2222 92.14.0 nτ aaa
m/ s t 6.191
21,9 6 m /s?
汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度 。求解
4.092.1 na
自然坐标中
（ 第一类问题 ）
—— 微分法 （ t为变量 ）
as
程为 s =20t - 0.2 t 2 (SI),
27第一章 质点运动学例 质点作圆周运动,R＝ 3m。 已知 23 sma?
,t＝ 0时质点在 O’点,0
0
求 1) t=1s时,速度和加速度？ 2) 第二秒内质点通过的路程？
解 sa
—— 积分法 （ t为变量 ）
1) 由定义：
3 dtda
∴ t3 smt 31
339
2
Ra n? ∴ 33 naaa n
2) 由定义：
tdtsd 3 t d tds 3 2
1
2
1
s
s
2tsss
2
3
12 m5.4
1
2
（ 第二类问题 ）
28第一章 质点运动学例 x－ y 平面内有一质点,运动方程为 （ 坐标法 ）,
ty
tx
3
10 2 求,
a na
解 由题意
a?
jyixr
dt
rd jit 320
dt
da i?20?
94 0 09)20( 22 tt?
dt
da?
9400
400
94002
800
22 t
t
t
t
94 0 0
60
94 0 0
1 6 0 04 0 0
22
2
tt
t22
aaa n －?
jtit 310 2
29第一章 质点运动学
()Pt
r
§ 1-5 圆周运动的角量表示一、平面极坐标参考方向o
'O
质点位置用（ r,θ）确定二、四个角量
1、角坐标 θ —— 极径 r与极轴的夹角
)( ttQ
)(t 角运动方程
2、角位移 —— 描述质点位置的变动
)()( ttt 逆时针为正
3、角速度? —— 描述位置变化快慢
dt
d
t?
)( srad
4、角加速度 β —— 描述 ω变化规律
t?
2
2
dt
d
dt
d )( 2srad
微分法积分法微分法积分法关系：
30第一章 质点运动学
r
2
2
na v rr
dda r r
d t d t?
三、圆周运动的角量与线量的关系
sr
()Pt
r
参考方向o
'O
)( ttQ
s?
00
l im l im
tt
svr
tt
r
sr
31第一章 质点运动学例 β为恒量的匀角加速圆周运动中,t = 0时,
0
0
求,运动方程 θ(t) ω(t)
解, 积分法 （ t为变量 ）
由定义：
dt
d dtd
∴
t00
0 t
又 ∵
dt
d dttdtd )( 0 tt
000
∴
2
00
1
2tt
注意：与匀加速直线运动对比
at 0
2
00 2
1 attxx
32第一章 质点运动学例 一质点作圆周运动,半径 r,运动方程：
tt 42
求 a?
解?
a
na
a?
tt 42
24d tdt
2ddt
∴ rtr )42( （方向：沿切向）
rra 2 22 )42( trra n?
)2()42( 2 rntra ＋
33第一章 质点运动学例 杆 AB绕 O点在铅直平面内自由转动 。 当杆与水平方向夹角为 θ时,杆的转动角加速度
c os23 lg?
O
B
A
θ
已知 t=0时，
60
00
积分法 （ θ为变量）
3
？?
解
由定义：
dt
dc os
2
3
l
g?
ddtd dlg c o s23d 3
06
∴
21 3 3( s in s in ) ( 3 1 )
2 2 3 6 4
gg
ll
)13(23 lg?
则
34第一章 质点运动学
§ 1-6 相对运动
t=0 时 O点与 O’点重合运动学中，参照系的选取是任意的，但在不同的参照系中对同一物理过程的描述是不同的。
x?
y?
o?
x
y
o
u
S系 S'系
P?
r r?
S系描述的物理量是,
S'系描述的物理量是,ra
ra?
考虑一个参照系相对于另一个参照系平动的情况。
R?
研究对象：质点 P
一、位置矢量联系？
O’相对于 O的位置矢量
tuRRrr '
35第一章 质点运动学
x?
y?
o?
x
y
o
u
S系
S'系
P?
r r?
P?
x?
y?
o?
r?
r
Q?
ut?
r?
二、速度变换定理
turrtt设 时刻质点运动到 Q点
t
tu
ttt
r
t
r
ttt?
000 lim
'
'limlim 1'lim 0 ttt
u '
— 牵连速度（ s’系对 s系）
— 相对速度（物对 s’系）
— 绝对速度（物对 s系）?
u
矢量图：
u
36第一章 质点运动学三、加速度变换
dt
ud
dt
d
dt
d '
牵连相对绝对 ＋ aaa
讨论 1、速度变换定理成立的条件 c
低速下，绝对时空观成立，即时间和长度的测量均与参照系无关
2、速度变换与速度叠加是两个不同的概念速度变换 —— 涉及有相对运动的两个参照系速度叠加 —— 同一参照系中某质点速度及其分量的关系
3、求相对运动问题的一般方法：
确定研究对象 A
选参照系 S,S’?作矢量图，解三角形
分析 的大小、方向 ' u?
37第一章 质点运动学例 船相对于水以 4 km/h的速度前进 。 设江水向东流动为平动,
求 水速为 3.5 km/h时,船要从出发处垂直于江岸而横渡此 江,
解 研究对象：船
S：江岸 S’：江水由速度变换公式：
大小方向未知 已知 已知已知 已知未知
S船?
SS'?
'S船
由矢量图：
SSSS ''
船船
875.045.3s i n 061
其划行方向应如何？
38第一章 质点运动学例 地上人看船上升旗,旗以 2m/s速度相对船上升,船以
3m/s速度向东前进 。 则地上人看旗的速度？
y’
x’o’ (东 )
y
xo
(上 )
SS'?
已知条件：
研究对象：旗定参照系 S：地动参照系 S’：船解
—— 大小方向均待定
—— 大小,2m/s 方向：向上 j
S
2
'＝旗?
S旗
'S旗
SS' —— 大小,3m/s 方向：向东 iSS'
3＝?
SSS'S '旗旗 ＝
SS'
'S旗
S旗
ji 23 m/s
39第一章 质点运动学例 二车 A,B,对地速度分别为 smi
A 3 smjB
2
求 A对 B的速度解
x
y
A
B
o
研究对象,A
S系：地 S’系,B
因为求 A
的速度，
故以 A为研究对象由速度变换定理：
地地 ＝ BABA
∴
地地 － BAAB smj2i
－－ 3?
AB
例 B相对 A以速度 沿斜面向下滑,A以速度 向左运动,求 B对地速度？
r
x
y
o
B
A r
α
解 研究对象,B S系：地 S’系,A
地地 ＝ ABAB
＋地 rB?
分量式：
s inryryBy＝
c o srxrxBx ＝
40第一章 质点运动学质点运动学小结四个基本量 arr,,, 从不同方面描写了同一质点运动的规律一、定义位置矢量,)(trr
位移,)()( trttrr －＋
速度：
dt
rd＝?
加速度：
2
2
dt
rd
dt
da ＝＝?
二、关系
r a?
微分法积分法微分法积分法思考 1：
与r s? 与rd? ds
与 与
的关系？
rs d r ds?
v
41第一章 质点运动学三、在不同坐标系中的表示
1,直角坐标系,位矢的参考点取在坐标原点
r x i y j z k k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
kdt zdjdt ydidt xda 2
2
2
2
2
2
2,自然坐标系：
)(tss?
dt
da
dt
ds?
nRa n
2?
dtda?3,极坐标,（ 圆周运动 ）
)(t
)()( ttt －＋
2
2
d
dt
＝d
dt
＝
rs?
rs
r?
2?ra n?
ra?
22?aaa n
42第一章 质点运动学讨论 1,比较 与r s? 与
rd? ds 与 与＝≠ ＝≠
例 一质点以恒速率 υ作圆周运动,半径 R,t时刻质点在 A点,
t+△ t时刻在 B点,取圆心 o为位矢的原点,试写出在 △ t内的：
o A
B
R
x
r r?
以及任意时刻的：
dt
rd?
dt
dr
dt
d
dt
d?
R2＝ r r 0
BA RR＝
2BA＝ 0BA＝
＝ 0＝
Raa
2?
＝ 0＝
43第一章 质点运动学讨论 2,质点沿曲线运动,
a?
a?
a?
a?
0a＝?
B
A C D
E
解析,A
B
C
D
E
√ 加速
×
×
×
√
加速度应指向凹侧
an不为零故 a不会沿切向
an不为零故 a不为零减速自然坐标系中?
2?
na
dt
da?
指向曲率中心沿切线 ∴ 恒指向曲线凹侧a?思考：
(1) 物体是否无加速度？
0?dtd?
(2) 等加速运动是否一定为直线运动？
(3) 圆周运动的加速度是否一定指向圆心？
请指出各点运动情况有无可能
44第一章 质点运动学例 质点运动方程：
解
2tx?
2)1( ty
问,(1) 质点速度何时取极小值？
(2) t时刻质点的切向和法向加速度的大小？
jdtdyidtdx
(1) 直角坐标系中 jtit )1(22
只考虑速度大小
∴ 22
yx 488)1(44
222 tttt
令 0?
dt
d?
22
1 6 8 2 ( 2 1 )
2 8 8 4 2 2 1
tt
t t t t
∴ st 5.0?
smmi n 2
(2) 自然坐标系中
dt
da?
122
122
2
tt
t ）（
2?
na
未知直角坐标系中
jdt ydidt xda 2
2
2
2
ji 22
∴ 22
aaa n 122
2
2 tt
45第一章 质点运动学例 灯高 h1,人高 h2,人在灯下以 υ匀速直线运动,则他的头在地面上的影子 M点沿地面移动的速度 υm＝？
解
1h
o M
2h
xx1 x2
设人的位置坐标为 x1,M点位置坐标为 x2
写出 M点运动方程,tx1
？2x
由几何比例：
12
2
2
1
xx
x
h
h
解得,t
hh
hx
hh
hx?
21
1
1
21
1
2 ＝
∴
21
12
hh
h
dt
dx
m＝
—— 质点运动方程
46第一章 质点运动学例 湖中一小船,岸上有人用绳子通过一高处的滑轮拉船 。
如图示,人收绳的速率为 υ,问：
解
船的速度 u比 υ大还是小？
若 υ不变,则船是否匀速？
l
x
H
o x
设 t时刻滑轮至小船的绳长为 l，
小船位置为 x，
则 222 lHx
∴ 22 Hlx －＝ —— 运动方程
(1) 速度
dt
dxu?
222
2
Hl
dt
dll
dt
ld－
22 Hl
l
－ ∴ u
(2) 加速度
dt
dua
3
22
2322
22
x
H
Hl
H －－?
47第一章 质点运动学例 一质点作直线运动,a=－ 2x,x=0时,υ0＝ 4 m/s，
解求 υ(x )＝？
由
xdtda 2
乘 dx
dxxd 2 x
00
∴22
0
2 )(
2
1 x 2216 x
为参量例 已知粒子沿曲线运动，轨迹方程为 y=3+2x2，若 smx 2
求 x=1 m 处,a?
解 微分法 以 x为参变量由题意,2
dt
dx
x?
dt
dy
y xdt
dxx 84
∴ ji 82
0 dtda xx?
dt
da y
y
168
dt
dx
∴
ja 16?
第 1章结束
48第一章 质点运动学国际单位制和量纲
SI 国际单位制名称 长度 发光强度物质的量热力学温度电流时间质量符号单位符号千克 秒 安培 开尔文 摩尔 坎 (德拉 )米
m kg s A K mol cd
L M T I? N J
d i m Q L M T I N J
49第一章 质点运动学
1LT 2F M LT 22
kE M L T
量纲的用途：
1,单位的换算 2,检验公式例,求竖直上抛运动公式正确与否
0
1
2h t g t
hL 10 t L T T L 21g t L T T L T
又如,2
0
1
2x k a t t k a t
教材,吴百诗,大学物理,
作业,大学物理习题
参考书目,张孝林,大学物理学习指导,
张三慧,普通物理,
任课教师,丁春颖
2第一章 质点运动学力学篇目录第一章 质点运动学第二章 牛顿运动定律第三章 功和能第四章 冲量和动量第五章 刚体运动学第六章 刚体动力学第七章 机械振动
3第一章 质点运动学
§ 1-1 质点位置的确定方法
§ 1-2 质点的位移 速度 加速度
§ 1-3 各运动参量在直角坐标系中的表示
§ 1-5 圆周运动的角量表示
§ 1-6 相对运动
§ 1-4 用 自然 坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度第一章 质点运动学
4第一章 质点运动学第一章 质点运动学
研究对象,质点
一个有质量的几何点。忽略其大小、形状及内部结构的影响，在空间只占据一个点的位置。
实际研究对象的简化 理想模型
研究内容,质点位置随时间变化的规律
（质点何时在何处 ）
何时：用时间 t 表示 （时间参数）
何处：质点的位置 如何表示？
5第一章 质点运动学一、参照系
x
y
z
O 参照系
(1) 运动学中参考系可任选。
用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系
P
(2) 参照系不同，对运动的描述就不同
(3) 坐标系直角坐标系（ x,y,z ） 球坐标系（ r,θ,? ）
柱坐标系（?,?,z ） 自然坐标系 ( s )
§ 1-1 质点位置的确定方法
（ 固定在参照系上,是参照系上的一个数学抽象 ）
6第一章 质点运动学
1,坐标法（如直角坐标）
2,位矢法
r x i y j z k
表示。r?
位矢的 大小 为：
2 2 2r x y z
质点 P某时刻位置由位置矢量二,确定质点位置的常用方法
3,自然法
O— 自然坐标的原点
o
PS
S— 自然坐标
（可任取）
（ P点相对 O点沿正方向的轨迹曲线长度）
z
x
yO
z
(,,)P x y z
y
x
参考系参考系
r?
O’
'r?
7第一章 质点运动学从数学上确定质点在空间的位置随时间的变化关系三,运动学方程坐标法
（直角坐标系）?
)t(fz
)t(fy
)t(fx
3
2
1
（消去 t即得轨迹方程）
位矢法 k)t(zj)t(yi)t(x)t(rr
自然法 )t(fS?
质点的运动学方程解决了“物体何时在何处
”的问题。
8第一章 质点运动学例：一质点在平面上作匀速圆周运动，逆时针，半径 R，
x
y
R
O
ω
O’
P(x,y)
r? ωt
解,设 t 时刻质点位于圆上某点 P
(1) 坐标法（直角坐标系）
消去 t 可得轨迹方程,222 Ryx
(2) 位矢法 以 O点为参考点
jts i nRitc o sRj)t(yi)t(xr
(3) 自然法 以 O’点为参考点，逆时针为正
S O P R t
角速度 ω,t=0时刻，质点在 O’处。试写出运动方程。
9第一章 质点运动学
§ 1-2 质点的位移、速度和加速度描述质点位置变化的物理量几何描述,PQ
数学描述,)t(r)tt(rr
P
o
Q
r?
一、位移
)tt(r
)t(r?
(1) 位移是矢量（有大小，有方向）
位移不同于路程
(2) 位移与坐标选取无关
Sr
(4) 与 Δr 的区别r
O
r r
O
r?
分清
S?
(3) 由质点的始末位置确定，
与中间运动过程无关讨论
10第一章 质点运动学描述质点位置变化快慢的物理量
r
t
v
2) 瞬时速度
0limtvv 0limt
r
t
dr
dt? r?
()Pt
()Q t ts?
二、速度
1) 平均速度
（质点在单位时间内的位移）
（通常意义下的速度）
（速度是位置矢量对时间的一阶导数）
方向：切线方向即
dt
rd
11第一章 质点运动学
dr ds?
d r d s
d t d tv
v
3) 平均速率和瞬时速率
1()Pt
2()Qt
运动路径
平均速率
t
S
瞬时速率
dt
dS
t
Slim
0t
讨论
1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。
2) 速度和速率的区别
0t 时
Sr
s?
r
12第一章 质点运动学
P
v
0
l im
t
a t
v d
dt?
v
描述质点速度变化快慢的物理量
Q
三、加速度内速度的增量：t?
)()( ttt
内平均加速度：t?
时刻瞬时加速度：t
2
2
dt
rd
t
tttl i m
0t?
)()(
加速度是速度对时间的一阶导数，是位置矢量对时间的二阶导数。
)(t
)( tt
)( tt
tt
ttta
)()(
13第一章 质点运动学在直角坐标系中可写成：
x
y
z
o
ra?
直角坐标系
(A)
§ 1-3 各运动参量在直角坐标系中的表示
j? i?
k?
分别是 x,y,z方向的单位矢量
i? j? k?
r x i y j z k
kji zyx
kajaiaa zyx
大小
222
zyx
222
zyx aaaa
14第一章 质点运动学由基本关系式 r
att vv dddd
x y z
x y z
t t tv v v
d d d
d d d
2 2 2
2 2 2
yx z
x y z
dd dd x d y d za a a
d t d t d t d t d t d t
vv v
有：
比较 (A)(B)两组式子，有：
(B)
kdtdzjdtdyidtdx
kdtdjdtdidtda zyx
思考：
(B)式中为什么没有出现
dt
id?
dt
jd?
dt
kd?
15第一章 质点运动学总结三个基本量 ra? 从不同方面描写同一质点运动的规律。三者之间有着密切的联系：
1、相同点 a) 均为矢量（方向性）
b) 均为时间 t 的函数（瞬时性）
c) 在不同的参照系中，各矢量的大小方向不同（相对性）
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
r a?
微分法积分法微分法积分法
r a? 第一类问题（微分法）
第二类问题（积分法）a r?
16第一章 质点运动学直杆 AB两端可以分别在两固定而相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆的倾角按 φ=ωt 随时间变化，试求杆上 M点的运动规律。（运动方程、
轨迹、速度、加速度）
例解位置矢径速度
t 时刻 M点的位置：
tax?c o s?
tby?s in?
jtbitajyixr s inc o s
12
2
2
2
byax
（椭圆）
加速度消去 t
jtbitajdtdyidtdxdt rd
c o ss i n
jdt ydidt xddtda
2
2
2
2
jtbita
s incos 22
r?2 （方向指向椭圆中心）
运动学第一类问题
r?
a
b
x
y
O
M
t?
A
B
17第一章 质点运动学解等式两端分别积分：
首先判断质点作什么运动？
例 已知质点沿 x轴运动,t =0 时，质点在原点,21 2 smt
右方 2m处。 求,(1) 质点在 t=2 s时的加速度；
(2) t=2 s时，质点的位置。
初速度不为零的变加速直线运动
(1) a 微分法
2
2 84 smtdt
da
t
(2) x 积分法由定义,221 t
dt
dx 分离变量 dttdx )21( 2 tx
02
3
3
22 ttx
mttx
t 33.93
22
2
3
18第一章 质点运动学例 质点沿 x轴运动，加速度 ta 2?,已知 t＝ 0时，质点的位置
00?x 00坐标,速度,试求 t＝ 2s时质点的速度和位置。
解 ∵ a＝ 2t 是变量,不能用匀变速直线运动公式
xa 积分法
(1) 由定义：
分离变量
积分初始值（下限）由初始条件确定
tdtda 2
dttd 2 t00?
∴ smt
t 422
(2) 由定义：
2t
dt
dx
dttdx 2 tx
00
mmtx t 67.23831 23
等式两边积分变量的积分限一一对应注意运动学第二类问题
19第一章 质点运动学例
xa
已知质点匀加速直线运动,a为常数,t＝ 0时
0xx?
，
0
，求质点的速度方程和运动方程。
解 由题意 积分法 （ t为参变量）
（速度方程）由定义：
dt
da
∴
adtd
0 0
t
v
∴ at 0
由定义：
dt
dx dtatdtdx )(
0
0 00
x t t
x
2
00 2
1 attxx （运动方程）
若变换初始条件,已知 x＝ 0时，
0
，求 x＝ 2m处,
解 （ x为参变量） 由定义：
dt
da dxdxd dadx
00
x
)(21 202ax aax x 42 202202
20第一章 质点运动学
方向：沿切向（ ）
大小：
dt
ds
§ 1-4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度自然坐标系设质点作曲线运动，且轨迹已知，则选参考点和正方向即可建立自然坐标。运动方程为：
（用自然坐标 S表示质点位置） O
S
n?
n?
单位切向量
单位法向量 n?
,长度为 1，沿切向指向运动方向
,长度为 1，沿法向指向凹的一侧一、速度
)(tss?
dtds
21第一章 质点运动学二、加速度 用以描述速度随时间 t 变化的规律
naaa
法向加速度切向加速度
()t τv
()ttτv
v
大小变化方向变化
1、匀速圆周运动 （速度大小不变方向变）
o R
()t?
()tt
()t?
()ttR
r
2
t 0 t 0
rl i m l i m
t t R Ra
（沿法向）
nRa
2
22第一章 质点运动学
2、变速圆周运动
o R
()tt
()t?
()tt
n
()t?
n
将 分解为两个分量按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。
ttta t
n
tt?
limlimlim 000
aaa n
—— 法向加速度n
Rdt
da n
n
2
dt
d
dt
da —— 切向加速度
dtdnR
2
23第一章 质点运动学
aaa n
dt
dn
R
2
a? na?
a
大小：
方向：
22
aaaa n
aa n?ta n
0a
匀速圆周运动
//a 加速圆周运动
//a
减速圆周运动 O
P
Q
a?
a?
na? na?
a?
a?
例 质点作椭圆运动,a? 恒指向椭圆一焦点 O，问：质点在 P,Q点加速还是减速？
P点,Q点：减速 加速
24第一章 质点运动学
3、一般曲线运动在一般曲线运动中，速度方向 变化快慢与轨道形状有关，显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。
如何描述曲线弯曲的程度？
A
B
P
曲率半径越小，曲线就越弯
AB A
B
A
B
——— 曲率半径
R
n
n
2
dtda nn?
dtd?dtda
（指向曲率中心）
（沿切向）
25第一章 质点运动学讨论
1) 切向加速度
a?
沿切线，
na?
法向加速度 指向曲率中心，
∴ 质点总加速度 永指向曲线凹向的一侧。a?
2) 注意
dt
d
dt
d
dt
d? 的区别 a? a
a
3) 自然坐标系中
Sa
微分法积分法微分法积分法例 抛体运动：求 A,B两点的曲率半径。
O x
y
0v
解 由题意：
A点：
na a g
22
0 c o s
∴
B点,ga?
22
0 c o s
g
c o sga n
2
0
2
∴
c o s
2
0
g?
B
A
g
g
26第一章 质点运动学例 一汽车在半径 R=200 m 的圆弧形公路上行驶,其运动学方
tts 4.020ddv
根据速度和加速度的表示形式,有
4.0dd ta τ v 92.1
4.020 22
R
)t(
Ra n
v
2222 92.14.0 nτ aaa
m/ s t 6.191
21,9 6 m /s?
汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度 。求解
4.092.1 na
自然坐标中
（ 第一类问题 ）
—— 微分法 （ t为变量 ）
as
程为 s =20t - 0.2 t 2 (SI),
27第一章 质点运动学例 质点作圆周运动,R＝ 3m。 已知 23 sma?
,t＝ 0时质点在 O’点,0
0
求 1) t=1s时,速度和加速度？ 2) 第二秒内质点通过的路程？
解 sa
—— 积分法 （ t为变量 ）
1) 由定义：
3 dtda
∴ t3 smt 31
339
2
Ra n? ∴ 33 naaa n
2) 由定义：
tdtsd 3 t d tds 3 2
1
2
1
s
s
2tsss
2
3
12 m5.4
1
2
（ 第二类问题 ）
28第一章 质点运动学例 x－ y 平面内有一质点,运动方程为 （ 坐标法 ）,
ty
tx
3
10 2 求,
a na
解 由题意
a?
jyixr
dt
rd jit 320
dt
da i?20?
94 0 09)20( 22 tt?
dt
da?
9400
400
94002
800
22 t
t
t
t
94 0 0
60
94 0 0
1 6 0 04 0 0
22
2
tt
t22
aaa n －?
jtit 310 2
29第一章 质点运动学
()Pt
r
§ 1-5 圆周运动的角量表示一、平面极坐标参考方向o
'O
质点位置用（ r,θ）确定二、四个角量
1、角坐标 θ —— 极径 r与极轴的夹角
)( ttQ
)(t 角运动方程
2、角位移 —— 描述质点位置的变动
)()( ttt 逆时针为正
3、角速度? —— 描述位置变化快慢
dt
d
t?
)( srad
4、角加速度 β —— 描述 ω变化规律
t?
2
2
dt
d
dt
d )( 2srad
微分法积分法微分法积分法关系：
30第一章 质点运动学
r
2
2
na v rr
dda r r
d t d t?
三、圆周运动的角量与线量的关系
sr
()Pt
r
参考方向o
'O
)( ttQ
s?
00
l im l im
tt
svr
tt
r
sr
31第一章 质点运动学例 β为恒量的匀角加速圆周运动中,t = 0时,
0
0
求,运动方程 θ(t) ω(t)
解, 积分法 （ t为变量 ）
由定义：
dt
d dtd
∴
t00
0 t
又 ∵
dt
d dttdtd )( 0 tt
000
∴
2
00
1
2tt
注意：与匀加速直线运动对比
at 0
2
00 2
1 attxx
32第一章 质点运动学例 一质点作圆周运动,半径 r,运动方程：
tt 42
求 a?
解?
a
na
a?
tt 42
24d tdt
2ddt
∴ rtr )42( （方向：沿切向）
rra 2 22 )42( trra n?
)2()42( 2 rntra ＋
33第一章 质点运动学例 杆 AB绕 O点在铅直平面内自由转动 。 当杆与水平方向夹角为 θ时,杆的转动角加速度
c os23 lg?
O
B
A
θ
已知 t=0时，
60
00
积分法 （ θ为变量）
3
？?
解
由定义：
dt
dc os
2
3
l
g?
ddtd dlg c o s23d 3
06
∴
21 3 3( s in s in ) ( 3 1 )
2 2 3 6 4
gg
ll
)13(23 lg?
则
34第一章 质点运动学
§ 1-6 相对运动
t=0 时 O点与 O’点重合运动学中，参照系的选取是任意的，但在不同的参照系中对同一物理过程的描述是不同的。
x?
y?
o?
x
y
o
u
S系 S'系
P?
r r?
S系描述的物理量是,
S'系描述的物理量是,ra
ra?
考虑一个参照系相对于另一个参照系平动的情况。
R?
研究对象：质点 P
一、位置矢量联系？
O’相对于 O的位置矢量
tuRRrr '
35第一章 质点运动学
x?
y?
o?
x
y
o
u
S系
S'系
P?
r r?
P?
x?
y?
o?
r?
r
Q?
ut?
r?
二、速度变换定理
turrtt设 时刻质点运动到 Q点
t
tu
ttt
r
t
r
ttt?
000 lim
'
'limlim 1'lim 0 ttt
u '
— 牵连速度（ s’系对 s系）
— 相对速度（物对 s’系）
— 绝对速度（物对 s系）?
u
矢量图：
u
36第一章 质点运动学三、加速度变换
dt
ud
dt
d
dt
d '
牵连相对绝对 ＋ aaa
讨论 1、速度变换定理成立的条件 c
低速下，绝对时空观成立，即时间和长度的测量均与参照系无关
2、速度变换与速度叠加是两个不同的概念速度变换 —— 涉及有相对运动的两个参照系速度叠加 —— 同一参照系中某质点速度及其分量的关系
3、求相对运动问题的一般方法：
确定研究对象 A
选参照系 S,S’?作矢量图，解三角形
分析 的大小、方向 ' u?
37第一章 质点运动学例 船相对于水以 4 km/h的速度前进 。 设江水向东流动为平动,
求 水速为 3.5 km/h时,船要从出发处垂直于江岸而横渡此 江,
解 研究对象：船
S：江岸 S’：江水由速度变换公式：
大小方向未知 已知 已知已知 已知未知
S船?
SS'?
'S船
由矢量图：
SSSS ''
船船
875.045.3s i n 061
其划行方向应如何？
38第一章 质点运动学例 地上人看船上升旗,旗以 2m/s速度相对船上升,船以
3m/s速度向东前进 。 则地上人看旗的速度？
y’
x’o’ (东 )
y
xo
(上 )
SS'?
已知条件：
研究对象：旗定参照系 S：地动参照系 S’：船解
—— 大小方向均待定
—— 大小,2m/s 方向：向上 j
S
2
'＝旗?
S旗
'S旗
SS' —— 大小,3m/s 方向：向东 iSS'
3＝?
SSS'S '旗旗 ＝
SS'
'S旗
S旗
ji 23 m/s
39第一章 质点运动学例 二车 A,B,对地速度分别为 smi
A 3 smjB
2
求 A对 B的速度解
x
y
A
B
o
研究对象,A
S系：地 S’系,B
因为求 A
的速度，
故以 A为研究对象由速度变换定理：
地地 ＝ BABA
∴
地地 － BAAB smj2i
－－ 3?
AB
例 B相对 A以速度 沿斜面向下滑,A以速度 向左运动,求 B对地速度？
r
x
y
o
B
A r
α
解 研究对象,B S系：地 S’系,A
地地 ＝ ABAB
＋地 rB?
分量式：
s inryryBy＝
c o srxrxBx ＝
40第一章 质点运动学质点运动学小结四个基本量 arr,,, 从不同方面描写了同一质点运动的规律一、定义位置矢量,)(trr
位移,)()( trttrr －＋
速度：
dt
rd＝?
加速度：
2
2
dt
rd
dt
da ＝＝?
二、关系
r a?
微分法积分法微分法积分法思考 1：
与r s? 与rd? ds
与 与
的关系？
rs d r ds?
v
41第一章 质点运动学三、在不同坐标系中的表示
1,直角坐标系,位矢的参考点取在坐标原点
r x i y j z k k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
kdt zdjdt ydidt xda 2
2
2
2
2
2
2,自然坐标系：
)(tss?
dt
da
dt
ds?
nRa n
2?
dtda?3,极坐标,（ 圆周运动 ）
)(t
)()( ttt －＋
2
2
d
dt
＝d
dt
＝
rs?
rs
r?
2?ra n?
ra?
22?aaa n
42第一章 质点运动学讨论 1,比较 与r s? 与
rd? ds 与 与＝≠ ＝≠
例 一质点以恒速率 υ作圆周运动,半径 R,t时刻质点在 A点,
t+△ t时刻在 B点,取圆心 o为位矢的原点,试写出在 △ t内的：
o A
B
R
x
r r?
以及任意时刻的：
dt
rd?
dt
dr
dt
d
dt
d?
R2＝ r r 0
BA RR＝
2BA＝ 0BA＝
＝ 0＝
Raa
2?
＝ 0＝
43第一章 质点运动学讨论 2,质点沿曲线运动,
a?
a?
a?
a?
0a＝?
B
A C D
E
解析,A
B
C
D
E
√ 加速
×
×
×
√
加速度应指向凹侧
an不为零故 a不会沿切向
an不为零故 a不为零减速自然坐标系中?
2?
na
dt
da?
指向曲率中心沿切线 ∴ 恒指向曲线凹侧a?思考：
(1) 物体是否无加速度？
0?dtd?
(2) 等加速运动是否一定为直线运动？
(3) 圆周运动的加速度是否一定指向圆心？
请指出各点运动情况有无可能
44第一章 质点运动学例 质点运动方程：
解
2tx?
2)1( ty
问,(1) 质点速度何时取极小值？
(2) t时刻质点的切向和法向加速度的大小？
jdtdyidtdx
(1) 直角坐标系中 jtit )1(22
只考虑速度大小
∴ 22
yx 488)1(44
222 tttt
令 0?
dt
d?
22
1 6 8 2 ( 2 1 )
2 8 8 4 2 2 1
tt
t t t t
∴ st 5.0?
smmi n 2
(2) 自然坐标系中
dt
da?
122
122
2
tt
t ）（
2?
na
未知直角坐标系中
jdt ydidt xda 2
2
2
2
ji 22
∴ 22
aaa n 122
2
2 tt
45第一章 质点运动学例 灯高 h1,人高 h2,人在灯下以 υ匀速直线运动,则他的头在地面上的影子 M点沿地面移动的速度 υm＝？
解
1h
o M
2h
xx1 x2
设人的位置坐标为 x1,M点位置坐标为 x2
写出 M点运动方程,tx1
？2x
由几何比例：
12
2
2
1
xx
x
h
h
解得,t
hh
hx
hh
hx?
21
1
1
21
1
2 ＝
∴
21
12
hh
h
dt
dx
m＝
—— 质点运动方程
46第一章 质点运动学例 湖中一小船,岸上有人用绳子通过一高处的滑轮拉船 。
如图示,人收绳的速率为 υ,问：
解
船的速度 u比 υ大还是小？
若 υ不变,则船是否匀速？
l
x
H
o x
设 t时刻滑轮至小船的绳长为 l，
小船位置为 x，
则 222 lHx
∴ 22 Hlx －＝ —— 运动方程
(1) 速度
dt
dxu?
222
2
Hl
dt
dll
dt
ld－
22 Hl
l
－ ∴ u
(2) 加速度
dt
dua
3
22
2322
22
x
H
Hl
H －－?
47第一章 质点运动学例 一质点作直线运动,a=－ 2x,x=0时,υ0＝ 4 m/s，
解求 υ(x )＝？
由
xdtda 2
乘 dx
dxxd 2 x
00
∴22
0
2 )(
2
1 x 2216 x
为参量例 已知粒子沿曲线运动，轨迹方程为 y=3+2x2，若 smx 2
求 x=1 m 处,a?
解 微分法 以 x为参变量由题意,2
dt
dx
x?
dt
dy
y xdt
dxx 84
∴ ji 82
0 dtda xx?
dt
da y
y
168
dt
dx
∴
ja 16?
第 1章结束
48第一章 质点运动学国际单位制和量纲
SI 国际单位制名称 长度 发光强度物质的量热力学温度电流时间质量符号单位符号千克 秒 安培 开尔文 摩尔 坎 (德拉 )米
m kg s A K mol cd
L M T I? N J
d i m Q L M T I N J
49第一章 质点运动学
1LT 2F M LT 22
kE M L T
量纲的用途：
1,单位的换算 2,检验公式例,求竖直上抛运动公式正确与否
0
1
2h t g t
hL 10 t L T T L 21g t L T T L T
又如,2
0
1
2x k a t t k a t
