1第四章 冲量和动量我们往往只关心过程中力的效果
—— 力对时间和空间的积累效应 。
力在时间上的积累效应：
平动 冲量 动量的改变转动 冲量矩 角动量的改变力在空间上的积累效应：
功 改变能量牛顿定律是力的瞬时作用规律。
但在有些问题中,如：碰撞,…散射第四章 冲量和动量
2第四章 冲量和动量第四章 冲量和动量
§ 4-1 质点动量定理
§ 4-2 质点系动量定理
§ 4-3 质点系动量守恒定律
* § 4-4 质心运动定理
* § 4-5 变质量动力学简介
3第四章 冲量和动量
§ 4-1 质点动量定理一、动量定理
1t
2t
1?
2?
设一质点在外力持续作用下运动动量：
12mm
考虑一微小时段 dt，由牛二律,()dm
F dt
改写形式：
()F d t d m —— 质点动量定理的微分形式质点动量的微分等于作用在质点上合力的元冲量在 △ t＝ t2－ t1内：
2
1
21
t
t F d t m m
—— 质点动量定理的积分形式
4第四章 冲量和动量
2
1
21
t
t F d t m m
等式左侧：
2
1
t
tI F d t
—— 力的冲量描述△ t时间内力的持续作用的总效果，
等式右侧：
21P m m
—— 动量的增量在△ t时间内，作用在质点上的合外力冲量等于同一段时间内质点动量的增量二、关于动量定理的几点说明
1、适用范围,惯性系低速宏观和高速微观粒子均适用必须相对同一参照系F
1? 2?
是过程量。
5第四章 冲量和动量
2、分量式：
2
1
2
1
2
1
21
21
21
d
d
d
t
x x x
t
t
y y y
t
t
z z z
t
F t m m
F t m m
F t m m
vv
vv
vv
冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量
3、平均冲力：
在力的整个作用时间内,
平均力的冲量等于变力的冲量
)(d 122
1
ttFtFttI
F
F
4、矢量作图 dt
F
O 1t 2t t
6第四章 冲量和动量质量 m＝ 1kg的小球作圆周运动,A点时 υ＝ 2m/s，方向如图,B点时 υ＝ 4m/s，
例求该段时间内小球受到合外力的冲量。求：
解 初态：
末态：
1 2m i k g m s
∴
作图法：
x
A
y
B
O
2 4m j k g m s
2
1
21
t
tI F d t m m
4 ( 2 ) 2 4j i i j k g m s
1m?
2m?I
222 4 2 0I k g m s
4ta n 2
2
7第四章 冲量和动量一篮球质量 0.58kg，从 2.0m高度下落，到达地面后，
解 篮球到达地面的速率
m / s 3628922,.ghv
N 108301 90 3658022 2,.,.tmF v
对地平均冲力
t
F(max)
F
0.019sO
F
相当于 40kg 重物所受重力 !
以同样速率反弹，接触时间仅 0.019s.
求 对地平均冲力?
例
8第四章 冲量和动量研究对象：
1mv?
2mv?
030
015
B
A
x
y
mB? 和 相 互 作 用
21F t m v m v
m K t
1mv?
矿砂以 从传送带 A落到传送带 B上后，随 B以 运动。
已知,,方向如图。传送带的传送量 。求矿砂作用在传送带上的平均力。
1v 2v
1 4v m s? 2 2v m s?
20K k g s?
例解 t? 内落在 B上的矿砂
2mv?
21()F k v v
∴
作矢量图：
1mv?
2mv?
030
015
Ft?
7 9,6FN?
029
9第四章 冲量和动量
§ 4-2 质点系动量定理以两质点系为例推证
tfFm d)()d( 12111v
tfFm d)()d( 21222v
tFtFmm dd)d()d( 212211 vv
ii ii tFm d)d( iv
1m
2m
12f
21f
1F?
2F?
02112 ff
（质点系动量定理）
一对内力
i
t
t ii iii ii tFmm 0 d0
vv
10第四章 冲量和动量
§ 4-3 质点系动量守恒定律
0i
i
F 外 P iim?＝ v
质点动量守恒定律：
0F?外 P m＝ v 常矢量质点系动量守恒定律：
常矢量讨论 1、动量守恒的条件：合外力为零
（ 指在整个运动过程中,合外力时时刻刻都为零 ）
h h
0? 0?
mg mg c
o
l
11第四章 冲量和动量
常量常量常量
ziziz
yiyiy
xixix
PmF
PmF
PmF
v
v
v
0
0
0
讨论 2、动量守恒的分量式 （ 单方向上的动量守恒 ）
3,内力可改变系统内各质点的动量，不会改变系统总动量
（揭示了物体间的相互作用及机械运动发生转移的规律）
5,动量守恒定律是自然界一切过程最基本的定律
4,当外力 <<内力且作用时间极短时 （ 如碰撞 ）
可认为动量近似守恒。
（ 宏观低速,微观高速 ）
12第四章 冲量和动量
'v
u
x
N
mg
y
O
解 研究对象：炮车＋炮弹
' c o sv v u地 x
( ' c o s ) 0m v u M u
' c o smvu
Mm
例 设炮车放在光滑地面上,起始时静止。炮车 M，炮弹 m，
'v当炮弹以 相对于炮车射出，求炮车在 x方向的反冲速度 u
系统仅在 x方向上满足动量守恒设炮弹对地速度
v地由 x方向动量守恒：
13第四章 冲量和动量在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为 r 时。
1m 2m
1v? 2v?解
021 vv mm
x
02121 21222211 rmmGmm vv
由动量守恒，机械能守恒
rmm
Gm
)(
2
21
21v rmm
Gm
)(
2
21
12v
rmm
Gm
rmm
Gm
)(
2
)(
2
21
1
21
22112 vvv
例解得相对速率
O
求 它们之间的相对速率为多少？
14第四章 冲量和动量
§ 4-4 质心运动定理一、质心的概念
/c i i i
ii
r m r m
y
o x
z
质点系
im
ir
cr分量式：
c
N个质点的系统（质点系）的质心位置质量中心，可以代表整个物体的运动二、质心位置的确定
/c i i
i
x m x M
/c i i
i
y m y M
/c i i
i
z m z M
15第四章 冲量和动量质量连续分布的物体：
c
r d m
r
dm
cx x d m M
cy y d m M
cz z d m M说明
2）质量 均匀分布的物体，质心在几何中心质心 —— 由质量分布确定的一个点，与作用在物体上的外力无关
1） 与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变cr
（质量 中心不一定有质量）
3） 质心与重心不是同一概念重心 —— 地球对物体系各部分引力的合力的作用点通常情况下 质心与重心重合
16第四章 冲量和动量已知一半圆环半径为 R,质量为 M
解 建坐标系如图
y
xO
md
d?
dd Rldπd RRMm?
s i n c o s RyRx
0?cx π
2dπs i nd
π
0 R
M
R
R
MR
M
my
y c
取 dl
dm =? dl
几何对称性求 它的质心位置例
17第四章 冲量和动量质心位置：
d
d d
d
i
i iic
c
rm
mr t
t M M
vv
iP
M?
cPM? v
—— 质点系的总动量质心的加速度 ta cc d
dv
dd
dd
c
c
PF M M a
tt
v
三、质心运动定理质心速度：
c iir m r M
—— 质心运动定理质心加速度取决系统所受外力，而内力不改变质心的运动状态。
表明：质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，这个质点集中了质点系的质量，也集中了质点系所受到的所有外力
18第四章 冲量和动量如：运动员在空中翻腾动作
（ 1）上例中，质心均沿抛物线运动，为什么？
（ 2）揪着自己的头发向上，使身体离开座椅 (脚不能沾地 )。可能吗?为什么?
第 4章结束
19第四章 冲量和动量力的持续作用规律
1、牛顿运动定律力的持续作用规律（动能、动量定理） 描述了某一过程的过程量和始末状态相应的状态量之间的联系从不同角度描述了力的作用规律。
一、基本定理
F dPdt?
质点动力学小结力的瞬时作用规律
2、动能定理 22
21
11
22
b
a F d r m m
3、动量定理
21
b
a F d t m m
20第四章 冲量和动量二、动力学问题
1、两类问题 微分法已知状态求力积分法已知力求状态直线运动：
F?Sa
Fx? a
平面曲线运动：
nF
2
na
nF F F
圆周运动, ar
F?
nF
2nar
根据已知条件选取积分变量，确定上下限
21第四章 冲量和动量
2、求力的瞬时作用规律求力的持续作用规律
F ma?
22
21
11
22
b
ka F d r m m E
21
b
a F d t m m P
4、守恒定律 0F
外 P
守恒
0AA外 内 kE 守恒 0AA外 非
3、功能原理
kA A E外 内 A A E外 非
5、势能计算
mgzMmG
r?
（注意参考点的选取）
≠
守恒E
22第四章 冲量和动量用一弹簧 (k) 将二木板 (m1=m2=m) 连接如图，以上板在弹簧上的平衡点为势能（重力、弹力）零点。试写出上板在某一位置 x时，上板、弹簧及地球这个系统的总势能。
例解
0
0()P xE k x x d x弹
o
x
x
x0
2
0
1
2 k x k x x
P PE E m g x弹
2
0
1
2 k x k x x m g x
由已知条件
0m g k x?
∴ 21
2PE k x?
若势能取在平衡位置，
则总势能以弹性势能的单一形式出现。
23第四章 冲量和动量试题 2,m相同的甲、乙二人从同一高度匀速爬绳，相对绳子甲的速率是乙的两倍，是谁先到达顶点？
答案：
0
21
33a a g?人 地 ＝
答案：
vv? 乙甲运动过程中和外力为零，根据动量守恒试题 1：一根细绳跨过一轻滑轮，一端挂质量为 M的物体，另一端人用双手拉着，人的质量为 M/2,，人相对绳的加速度为,人相对地的加速度 a＝？
0a
—— 力对时间和空间的积累效应 。
力在时间上的积累效应：
平动 冲量 动量的改变转动 冲量矩 角动量的改变力在空间上的积累效应：
功 改变能量牛顿定律是力的瞬时作用规律。
但在有些问题中,如：碰撞,…散射第四章 冲量和动量
2第四章 冲量和动量第四章 冲量和动量
§ 4-1 质点动量定理
§ 4-2 质点系动量定理
§ 4-3 质点系动量守恒定律
* § 4-4 质心运动定理
* § 4-5 变质量动力学简介
3第四章 冲量和动量
§ 4-1 质点动量定理一、动量定理
1t
2t
1?
2?
设一质点在外力持续作用下运动动量：
12mm
考虑一微小时段 dt，由牛二律,()dm
F dt
改写形式：
()F d t d m —— 质点动量定理的微分形式质点动量的微分等于作用在质点上合力的元冲量在 △ t＝ t2－ t1内：
2
1
21
t
t F d t m m
—— 质点动量定理的积分形式
4第四章 冲量和动量
2
1
21
t
t F d t m m
等式左侧：
2
1
t
tI F d t
—— 力的冲量描述△ t时间内力的持续作用的总效果，
等式右侧：
21P m m
—— 动量的增量在△ t时间内，作用在质点上的合外力冲量等于同一段时间内质点动量的增量二、关于动量定理的几点说明
1、适用范围,惯性系低速宏观和高速微观粒子均适用必须相对同一参照系F
1? 2?
是过程量。
5第四章 冲量和动量
2、分量式：
2
1
2
1
2
1
21
21
21
d
d
d
t
x x x
t
t
y y y
t
t
z z z
t
F t m m
F t m m
F t m m
vv
vv
vv
冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量
3、平均冲力：
在力的整个作用时间内,
平均力的冲量等于变力的冲量
)(d 122
1
ttFtFttI
F
F
4、矢量作图 dt
F
O 1t 2t t
6第四章 冲量和动量质量 m＝ 1kg的小球作圆周运动,A点时 υ＝ 2m/s，方向如图,B点时 υ＝ 4m/s，
例求该段时间内小球受到合外力的冲量。求：
解 初态：
末态：
1 2m i k g m s
∴
作图法：
x
A
y
B
O
2 4m j k g m s
2
1
21
t
tI F d t m m
4 ( 2 ) 2 4j i i j k g m s
1m?
2m?I
222 4 2 0I k g m s
4ta n 2
2
7第四章 冲量和动量一篮球质量 0.58kg，从 2.0m高度下落，到达地面后，
解 篮球到达地面的速率
m / s 3628922,.ghv
N 108301 90 3658022 2,.,.tmF v
对地平均冲力
t
F(max)
F
0.019sO
F
相当于 40kg 重物所受重力 !
以同样速率反弹，接触时间仅 0.019s.
求 对地平均冲力?
例
8第四章 冲量和动量研究对象：
1mv?
2mv?
030
015
B
A
x
y
mB? 和 相 互 作 用
21F t m v m v
m K t
1mv?
矿砂以 从传送带 A落到传送带 B上后，随 B以 运动。
已知,,方向如图。传送带的传送量 。求矿砂作用在传送带上的平均力。
1v 2v
1 4v m s? 2 2v m s?
20K k g s?
例解 t? 内落在 B上的矿砂
2mv?
21()F k v v
∴
作矢量图：
1mv?
2mv?
030
015
Ft?
7 9,6FN?
029
9第四章 冲量和动量
§ 4-2 质点系动量定理以两质点系为例推证
tfFm d)()d( 12111v
tfFm d)()d( 21222v
tFtFmm dd)d()d( 212211 vv
ii ii tFm d)d( iv
1m
2m
12f
21f
1F?
2F?
02112 ff
（质点系动量定理）
一对内力
i
t
t ii iii ii tFmm 0 d0
vv
10第四章 冲量和动量
§ 4-3 质点系动量守恒定律
0i
i
F 外 P iim?＝ v
质点动量守恒定律：
0F?外 P m＝ v 常矢量质点系动量守恒定律：
常矢量讨论 1、动量守恒的条件：合外力为零
（ 指在整个运动过程中,合外力时时刻刻都为零 ）
h h
0? 0?
mg mg c
o
l
11第四章 冲量和动量
常量常量常量
ziziz
yiyiy
xixix
PmF
PmF
PmF
v
v
v
0
0
0
讨论 2、动量守恒的分量式 （ 单方向上的动量守恒 ）
3,内力可改变系统内各质点的动量，不会改变系统总动量
（揭示了物体间的相互作用及机械运动发生转移的规律）
5,动量守恒定律是自然界一切过程最基本的定律
4,当外力 <<内力且作用时间极短时 （ 如碰撞 ）
可认为动量近似守恒。
（ 宏观低速,微观高速 ）
12第四章 冲量和动量
'v
u
x
N
mg
y
O
解 研究对象：炮车＋炮弹
' c o sv v u地 x
( ' c o s ) 0m v u M u
' c o smvu
Mm
例 设炮车放在光滑地面上,起始时静止。炮车 M，炮弹 m，
'v当炮弹以 相对于炮车射出，求炮车在 x方向的反冲速度 u
系统仅在 x方向上满足动量守恒设炮弹对地速度
v地由 x方向动量守恒：
13第四章 冲量和动量在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为 r 时。
1m 2m
1v? 2v?解
021 vv mm
x
02121 21222211 rmmGmm vv
由动量守恒，机械能守恒
rmm
Gm
)(
2
21
21v rmm
Gm
)(
2
21
12v
rmm
Gm
rmm
Gm
)(
2
)(
2
21
1
21
22112 vvv
例解得相对速率
O
求 它们之间的相对速率为多少？
14第四章 冲量和动量
§ 4-4 质心运动定理一、质心的概念
/c i i i
ii
r m r m
y
o x
z
质点系
im
ir
cr分量式：
c
N个质点的系统（质点系）的质心位置质量中心，可以代表整个物体的运动二、质心位置的确定
/c i i
i
x m x M
/c i i
i
y m y M
/c i i
i
z m z M
15第四章 冲量和动量质量连续分布的物体：
c
r d m
r
dm
cx x d m M
cy y d m M
cz z d m M说明
2）质量 均匀分布的物体，质心在几何中心质心 —— 由质量分布确定的一个点，与作用在物体上的外力无关
1） 与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变cr
（质量 中心不一定有质量）
3） 质心与重心不是同一概念重心 —— 地球对物体系各部分引力的合力的作用点通常情况下 质心与重心重合
16第四章 冲量和动量已知一半圆环半径为 R,质量为 M
解 建坐标系如图
y
xO
md
d?
dd Rldπd RRMm?
s i n c o s RyRx
0?cx π
2dπs i nd
π
0 R
M
R
R
MR
M
my
y c
取 dl
dm =? dl
几何对称性求 它的质心位置例
17第四章 冲量和动量质心位置：
d
d d
d
i
i iic
c
rm
mr t
t M M
vv
iP
M?
cPM? v
—— 质点系的总动量质心的加速度 ta cc d
dv
dd
dd
c
c
PF M M a
tt
v
三、质心运动定理质心速度：
c iir m r M
—— 质心运动定理质心加速度取决系统所受外力，而内力不改变质心的运动状态。
表明：质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，这个质点集中了质点系的质量，也集中了质点系所受到的所有外力
18第四章 冲量和动量如：运动员在空中翻腾动作
（ 1）上例中，质心均沿抛物线运动，为什么？
（ 2）揪着自己的头发向上，使身体离开座椅 (脚不能沾地 )。可能吗?为什么?
第 4章结束
19第四章 冲量和动量力的持续作用规律
1、牛顿运动定律力的持续作用规律（动能、动量定理） 描述了某一过程的过程量和始末状态相应的状态量之间的联系从不同角度描述了力的作用规律。
一、基本定理
F dPdt?
质点动力学小结力的瞬时作用规律
2、动能定理 22
21
11
22
b
a F d r m m
3、动量定理
21
b
a F d t m m
20第四章 冲量和动量二、动力学问题
1、两类问题 微分法已知状态求力积分法已知力求状态直线运动：
F?Sa
Fx? a
平面曲线运动：
nF
2
na
nF F F
圆周运动, ar
F?
nF
2nar
根据已知条件选取积分变量，确定上下限
21第四章 冲量和动量
2、求力的瞬时作用规律求力的持续作用规律
F ma?
22
21
11
22
b
ka F d r m m E
21
b
a F d t m m P
4、守恒定律 0F
外 P
守恒
0AA外 内 kE 守恒 0AA外 非
3、功能原理
kA A E外 内 A A E外 非
5、势能计算
mgzMmG
r?
（注意参考点的选取）
≠
守恒E
22第四章 冲量和动量用一弹簧 (k) 将二木板 (m1=m2=m) 连接如图，以上板在弹簧上的平衡点为势能（重力、弹力）零点。试写出上板在某一位置 x时，上板、弹簧及地球这个系统的总势能。
例解
0
0()P xE k x x d x弹
o
x
x
x0
2
0
1
2 k x k x x
P PE E m g x弹
2
0
1
2 k x k x x m g x
由已知条件
0m g k x?
∴ 21
2PE k x?
若势能取在平衡位置，
则总势能以弹性势能的单一形式出现。
23第四章 冲量和动量试题 2,m相同的甲、乙二人从同一高度匀速爬绳，相对绳子甲的速率是乙的两倍，是谁先到达顶点？
答案：
0
21
33a a g?人 地 ＝
答案：
vv? 乙甲运动过程中和外力为零，根据动量守恒试题 1：一根细绳跨过一轻滑轮，一端挂质量为 M的物体，另一端人用双手拉着，人的质量为 M/2,，人相对绳的加速度为,人相对地的加速度 a＝？
0a
