1第三章 功和能第三章 功和能
§ 3-1 功
§ 3-2 几种常见力的功
§ 3-3 动能定理
§ 3-4 势能 机械能守恒定律
§ 3-5 能量守恒定律
2第三章 功和能
§ 3-1 功功是能量变化的量度。
一、恒力的功
c o sA F S
M
F?
θ M
a b
A F r
x
y
z
O
a
b
M
Fr
rr d?
r?dθ
求质点 M 在变力作用下，沿曲线轨迹由 a 运动到 b，变力作的功 A＝？
一段上的功：F? 在 r?d
力和力的作用点位移的标积二、变力的功取位移微元 rd? 近似为恒力F?
d A F d r
r?
3第三章 功和能
c o s d
b
aLA F s
b La rFA?
d在 ab一段上的功F?
在自然坐标系中
sr dd
x
y
z
O
a
b
M
Fr
rr d?
r?dθ
(2) 功的正负与力的性质无关。
(1) A是标量，反映了能量的变化。 正负,取决于力与位移的 夹角 。如 则,/ 2,F d r 0A?
a
1m
2m
f
F
f
m
摩擦力作正功 摩擦力不作功讨论摩擦力作功一定是负的吗？
ds
4第三章 功和能讨论
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。
(4) 由于位移的大小与参照系的选择有关，因而功的大小也与所选的参照系有关。
12
b b b
na L a L a LA F d r F d r F d r
nAAA21
1( ) d
b
aL F F F r 2n
d
b
aL
A F r 合 力
(5) 合力的功等于各分力的功的代数和的问题
5第三章 功和能讨论 (6) 直角坐标系中，功的求法：
kFjFiFF zyx kdzjdyidxrd
b La zyxb La dzFdyFdxFrdFA )()( )(
(7) 自然坐标系中，功的求法：
FnFFFF nn ＝＋
b
La n
b
La rdFnFrdFA )()( )(
法向 切向
b
La sdFA )(?
6第三章 功和能三,功率力在单位时间内所作的功，称为 功率 。
1,平均功率
2,瞬时功率设力 在 内做功为F? t? A?
t
AP
dt
dA
t
AP
t
l i m
0
c o sFFdt rdF
F?
F?
P 当 θ＝ 0时,?FP＝
当 θ＝ π／ 2时,0＝P
描述力做功快慢的物理量
7第三章 功和能已知质点 m = 2kg,在 F = 12t 作用下由静止做直线运动解 ttmF dd6 v txt dd3 2v ttx d3d 2?
J1 4 4d3620 3 tt
W288312 2 tt
x xFA 0 d t ttF0 2 d3
v FP
例求 t = 0?2s内 F 作的功及 t = 2s 时的功率。
8第三章 功和能
§ 3-2 几种常见力的功一、重力的功
x
y
z
O
1M
2M
m
mg
②
①
质点重力 mg在曲线路径 M1M2上作的功：
21 1 d
M
M z zF
21 1 dZZ zmg ）（
）（ 21 zzmgA
A F d r
（重力乘以质点始末位置的高度差）
(1) 重力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。
(2) 质点上升时，重力作负功；
结论质点下降时，重力作正功。
质点沿闭合路径运动一周，重力做功为零。
2
1
()M x y zM F d x F d y F d z
9第三章 功和能二、弹力的功
21 dxx xkxA
(2) 弹性力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。
(3) 弹簧的形变减小时，弹性力作正功；弹簧的形变增大时，弹性力作负功。
2
2
2
1 2
1
2
1 kxkx
1x 2x
F?
ikxF
弹簧弹性力由 x1 到 x2 路程上弹性力的功为结论
xO形变量
(1) 通常意义下,x1,x2为质点始末位置对应的形变量。
质点沿闭合路径运动一周，弹力做功为零。
10第三章 功和能三、万有引力的功
rFA?dc o sd
c o sd)c o s (dd rrr
rrmMGA dd 2
万有引力 F 在全部路程中的功为
21 )( 2 dr Lr rrmMGA )11(
12 rr
GmM
(1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。 —— 保守力
M a
b
1r
2r
mF?
r?d?
结论上的元功为在位移元F? r?d 2rmMGF?
rd
(2) 质点 m移近质点 M时，万有引力作正功；
质点 m远离质点 M时，万有引力作负功。
11第三章 功和能四、摩擦力的功摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关 。
1M 2M
v?
F?
mgF
结论在这个过程中所作的功为摩擦力 F?
摩擦力 方向,切向且与速度反向
21MM F d s 21MM rdFA
21ss dsmg?
mg s)( 1ssmg 2
M1与 M2之间的路程
—— 非保守力
12第三章 功和能
§ 3-3 动能定理一,质点的动能定理
dA F dr c o sF d r
dm ds
dt
md
2
1
A d A m d 222 1 2 11122 kkm m E E
1?
2?2
t
1t
F
dr?
c o sF d s
F ds
在位移元 上的元功：F dr
m 从,外力作功：
1t 2t
—— 动能定理即：作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功等于质点在同一路程的始末两个状态动能的增量。
13第三章 功和能
(2) Ek 是一个状态量,A 是过程量。动能定理给出了力对质点的持续作用引起的质点运动状态变化的规律。
(1) 动能定律只用于 惯性系。
(3) 力对质点在某一过程中作的功，只与质点在始末状态的动能有关，而与运动过程中动能变化细节无关。
二,质点系的动能定理分别对 m1,m2用动能定理,
1m
2m
f
'f
1F 2F
1 1 1 0F f k kA A E E
2 ' 2 2 0F f k kA A E E
m1：
m2：
12 ' 1 1 0 2 2 0F f F f k k k kA A A A E E E E
0kkA A E E内外讨论
14第三章 功和能
(1) 引起运动状态变化，外力作功，内力也作功。
(2) 内力是成对出现的。内力之和为零，但内力作功之和一般不为零。
(3) 若 A外 ＋ A内 ＝ 0，系统动能守恒。
三,动能定理的应用
解题思路：
确定研究对象分析力及力的功选定研究过程及过程的初终态列方程并求解讨论
15第三章 功和能如图所示，物体 M的质量为 m，弹簧劲度系数为 k,A板及弹簧质量均可忽略不计，求自弹簧原长 O处，突然无初速度地加上物体 M时，弹簧的最大压缩量。
研究对象,M解例
2
max
1
2 kx?
x
分析力,N＝－ kxmg
研究过程,弹簧的压缩过程初态,x＝ 0 υ0＝ 0
终态,x＝ xmax υ0＝ 0
利用动能定理：
maxmgx 0?
m a x
2 mgx
k?
思考：
若将 m缓慢放置,
m平衡时,弹簧的压缩量？
maxx
）（ 21 zzmgA
22
12
11
22A k x k x
A M
16第三章 功和能把质量为 m的飞船从地球表面沿与铅垂夹角为 α的方向发射出去，求使 m脱离地球引力的最小初速度。
例
o
R
x
0?
解 研究对象：飞船 m
分析力,万有引力过程,m从地球表面运动到脱离引力场初态：
终态：
2
MmG
r
r＝ R υ＝ υ0 2
0
1
2kEmr＝ ∞ υ＝ 0
0kE?
利用动能定理：
MmG
R?
21
11()A G m M
rr
2
0
10
2 m
0
2 GM
R
31 1,2 1 0 ms
—— 第二宇宙速度结论：第二宇宙速度与发射方向无关 。
（ 忽略空气阻力和地球自转 ）
17第三章 功和能
§ 3-4 势能 机械能守恒定律一,保守力作功特点,(1) 保守力作功只与始末位置有关，而与路径无关。
如重力作功、弹力作功、万有引力作功。
(2) 质点沿闭合路径运动一周，保守力作功为零。
如果质点在某空间任意位置，都受到一确定的保守力的作用，则称此空间存在着 保守场 。 如重力场，引力场 ……
二,势能
1,引入势能的条件,① 物体系
② 体系内物体间的相互作用力是保守力。
0 rdFA 保
18第三章 功和能
2,势能的定义：
定义：质点在保守力场中某点 a 的势能，在量值上等于质点从 a 点移动至零势能点 b的过程中保守力作的功。
PAE?保 ＝ －
()
()
b
P a P ba F d r E E 保 ＝
设末点 b为势能零点,EPb=0
则 A点势能：
()
()
b
Pa aE F d r 保
3,势能零点的选取,任意的通常,重力势能零点 —— 地面万有引力势能零点 —— r＝ ∞处弹力势能零点 —— 弹簧原长端点 x＝ 0处某点势能指该点与参考点势能之差。
（势能只有相对意义）
19第三章 功和能
4,势能的计算公式：
P ME F d r
参保重力势能,0
P zE m g d z m g z重引力势能：
2P r
M m M mE G d r G
rr
引弹力势能,0
21
2P xE k x d x k x弹
（可正可负）
（恒为负）
（恒为正）
5,势能曲线 （势能与位置坐标的函数曲线）
z
PE
O
重力势能
PE
弹性势能
E
kE
引力势能
PE
xO
PE r
O
pE mgz? 21
2pE kx? p
mMEG
r
20第三章 功和能例解二粒子间相互作用力为斥力：,k是常数,r为二者
3
kf
r?
f 'f
r2r
1r
o
(1) 建立坐标系 or,
设粒子由 r1→ r2,则斥力作功：
2
1
r
rA f d r
2
1
3
r
r
k dr
r
22
1222
kk
rr
（仅与始末位置有关）
f 是保守力
(2) 设 EP(∞)＝ 0，则
()P rE r f d r 参 3
r
k dr
r
22
k
r?
思考：
若取粒子的一般路径,该如何证明？
间距。
(2) 若是，求二者距 r 时的势能。设 EP(∞)＝ 0
问,(1) f是保守力吗？
21第三章 功和能三,机械能守恒定律质点系动能定理,
kA A A E外 保 内 非 内
pkA E A E外 非 内
kpA A E E E外 非 内当 0AA
外 非 内
0E
kpE E E 常 数
—— 机械能守恒定律
(3) 守恒定律是对一个系统而言的
(2) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态说明
(1) 守恒条件：
kA A E外 内
—— 功能原理
0AA外 非 内
22第三章 功和能四,能量守恒和转化定律能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。
能量守恒定律可以适用于任何变化过程
功是能量交换或转换的一种度量
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，
将机械能转换为电能 。
电流通过电热器能发热，把 电能又转换为热能 。
23第三章 功和能大海的能量 (冲浪 )
太阳能飞机
24第三章 功和能
· 自然界中,质量、电荷,(粒子物理中的 )重子 数、
轻子数、奇异数、宇称守恒定律 …… 。
守恒定律的意义
· 力学中,动量、角动量、机械能守恒定律
(2) 适用范围广：宏观、微观、高速、低速均适用。
守恒定律的特点
(1) 方法上：针对一过程,但不究过程细节，
给出始末态的情况。
★ 杨振宁、李政道：“弱作用下宇称不守恒”
荣获 1957年 Nobel Prize.
25第三章 功和能现代物理学中守恒定律 和 时空对称性 相联系
(自然界更普遍的属性 )
对称 --- 在某种,变换下,的不变性。
每一个守恒定律都相应于一种对称 (变换不变性 )
动量守恒定律 是空间平移对称性 的表现；
角动量守恒定律 是空间转动对称性 的表现；
能量守恒定律 是时间平移对称性 的表现。
26第三章 功和能解二：
长为 l的链条放在光滑桌面上,l=0时，链条静止，下垂部分为 a，求链条刚离开桌面时的速度。
例研究对象：
受力分析：
o
x
a
l
整个链条设 t时刻下垂部分为 x
x 段受重力作用,xg
l
mF?
22()g la
l＝
2 2 2()
2
mg l a m
l
1＝
2
动能定理
22()
2
l
a
m m gx g d x l a
ll ＝
重力的功：
动能增量,21
2kEm
0kkA A E E内外
27第三章 功和能解三：
研究对象：
受力分析：
o
x
a
l
整个链条＋地球
22()g lal＝
0 ( )2maagl
功能原理
21 ()
22
lm m g
重力 mg＋支持力 N
保守内力 外力不作功
0AA外 非 内状态 1：
kpE E E 常 数选取 o点为势能零点状态 2：
=
kpA A E E E外 非 内
28第三章 功和能
1h
2h
S
求把水从蓄水池抽出所用的功。例
x
x dx
o
解
（缓慢抽出）
近似认为水是一层一层被抽出的外力大小等于重力设在 x 处取一层厚度为 dx 的水质量,d m s d x
所需外力,F sg d x （恒力作功）
将 dm 抽出外力需作功：
12()d A s g d x h h x
将水全部抽出：
2
120 ()
hA d A s g d x h h x
2 1 2
1()
2sg h h h
29第三章 功和能劲度系数为 k的轻质弹簧上挂一重物 M，另一端固定在铅例垂面 内圆环的最高点 A，设弹簧原长与圆环半径 R相等，
M自弹簧原长 C点无初速度沿圆环滑至最低点 B时所获得的动能。（设摩擦略去不计）
求：
R
A
R
B
C
解 研究对象,M＋弹簧＋地球受力分析,Mg kx N
只有保守内力作功 ∴ 机械能守恒取弹簧原长为弹性势能零点
B点为重力势能零点弹力势能零点重力势能零点状态 1 状态 2
0 0? 3
2 MgR? k
E 0?21
2 kR?
=
∴ 231
22kE M g R k R
30第三章 功和能二正点电荷 Q,q之间静电斥力大小为：例
2
QqFk
r?方向沿联线方向。 问：此力是保守力吗？
时的势能，设 r＝ ∞处,EP＝ 0
设 q处在 Q的电场中若是，求二电荷距 r
N
M
解
Q
r
r dr?
dr F?
F dr?
()
N
M
L
A c o sF d r
dr
2
N
M
r
r
Qqk d r
r
1()kQ q r
22
N
M
r
MNr
k Q q k Q q
rr
的功只与 M,N位置有关,∴ 是保守力F F
31第三章 功和能若取 r＝ ∞处,EP＝ 0，则 r 处的势能：
P rE F d r
2r
Qqk d r
r
kQq
r?
N
M
Q
r
r dr?
dr F?
r Fdr
万有引力、库仑力都是与 r2成反比的内力，均可引入势能。一般取 ∞处为势能零点。因为在 ∞处，两物体已分别孤立，不再是一个体系，相互作用内力已不存在，
设此状态的势能为零较为合理。
32第三章 功和能介绍逃逸速度与黑洞逃逸速度：
以脱离地球的引力为例物体脱离引力所需要的最小速率
33第三章 功和能以无限远作为势能零点
21 ()
2 e
MmmG
R
2
e
GM
R
若
e c
黑洞略去阻力，物体从地面出发，到脱离地球引力为止，整个过程中，仅保守内力（万有引力）作功。
∴ 系统机械能守恒
21 0
2 m
（此结论可用于任一星体）
0 2
2GMR
c?
视界半径
34第三章 功和能设想
1)把地球变成黑洞
1 1 2 4
0 2 2 1 6
2 2 6,6 7 1 0 5,9 8 1 0
3 1 0
GMR
c
8,8 6 mm?
2)把太阳变成黑洞
1 1 3 0
0 2 2 1 6
2 2 6,6 7 1 0 1,9 9 1 0
3 1 0
GMR
c
32,9 5 1 0 m
由于引力特大，以至于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。
黑洞 (black hole)：
35第三章 功和能第 3章结束
§ 3-1 功
§ 3-2 几种常见力的功
§ 3-3 动能定理
§ 3-4 势能 机械能守恒定律
§ 3-5 能量守恒定律
2第三章 功和能
§ 3-1 功功是能量变化的量度。
一、恒力的功
c o sA F S
M
F?
θ M
a b
A F r
x
y
z
O
a
b
M
Fr
rr d?
r?dθ
求质点 M 在变力作用下，沿曲线轨迹由 a 运动到 b，变力作的功 A＝？
一段上的功：F? 在 r?d
力和力的作用点位移的标积二、变力的功取位移微元 rd? 近似为恒力F?
d A F d r
r?
3第三章 功和能
c o s d
b
aLA F s
b La rFA?
d在 ab一段上的功F?
在自然坐标系中
sr dd
x
y
z
O
a
b
M
Fr
rr d?
r?dθ
(2) 功的正负与力的性质无关。
(1) A是标量，反映了能量的变化。 正负,取决于力与位移的 夹角 。如 则,/ 2,F d r 0A?
a
1m
2m
f
F
f
m
摩擦力作正功 摩擦力不作功讨论摩擦力作功一定是负的吗？
ds
4第三章 功和能讨论
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。
(4) 由于位移的大小与参照系的选择有关，因而功的大小也与所选的参照系有关。
12
b b b
na L a L a LA F d r F d r F d r
nAAA21
1( ) d
b
aL F F F r 2n
d
b
aL
A F r 合 力
(5) 合力的功等于各分力的功的代数和的问题
5第三章 功和能讨论 (6) 直角坐标系中，功的求法：
kFjFiFF zyx kdzjdyidxrd
b La zyxb La dzFdyFdxFrdFA )()( )(
(7) 自然坐标系中，功的求法：
FnFFFF nn ＝＋
b
La n
b
La rdFnFrdFA )()( )(
法向 切向
b
La sdFA )(?
6第三章 功和能三,功率力在单位时间内所作的功，称为 功率 。
1,平均功率
2,瞬时功率设力 在 内做功为F? t? A?
t
AP
dt
dA
t
AP
t
l i m
0
c o sFFdt rdF
F?
F?
P 当 θ＝ 0时,?FP＝
当 θ＝ π／ 2时,0＝P
描述力做功快慢的物理量
7第三章 功和能已知质点 m = 2kg,在 F = 12t 作用下由静止做直线运动解 ttmF dd6 v txt dd3 2v ttx d3d 2?
J1 4 4d3620 3 tt
W288312 2 tt
x xFA 0 d t ttF0 2 d3
v FP
例求 t = 0?2s内 F 作的功及 t = 2s 时的功率。
8第三章 功和能
§ 3-2 几种常见力的功一、重力的功
x
y
z
O
1M
2M
m
mg
②
①
质点重力 mg在曲线路径 M1M2上作的功：
21 1 d
M
M z zF
21 1 dZZ zmg ）（
）（ 21 zzmgA
A F d r
（重力乘以质点始末位置的高度差）
(1) 重力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。
(2) 质点上升时，重力作负功；
结论质点下降时，重力作正功。
质点沿闭合路径运动一周，重力做功为零。
2
1
()M x y zM F d x F d y F d z
9第三章 功和能二、弹力的功
21 dxx xkxA
(2) 弹性力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。
(3) 弹簧的形变减小时，弹性力作正功；弹簧的形变增大时，弹性力作负功。
2
2
2
1 2
1
2
1 kxkx
1x 2x
F?
ikxF
弹簧弹性力由 x1 到 x2 路程上弹性力的功为结论
xO形变量
(1) 通常意义下,x1,x2为质点始末位置对应的形变量。
质点沿闭合路径运动一周，弹力做功为零。
10第三章 功和能三、万有引力的功
rFA?dc o sd
c o sd)c o s (dd rrr
rrmMGA dd 2
万有引力 F 在全部路程中的功为
21 )( 2 dr Lr rrmMGA )11(
12 rr
GmM
(1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。 —— 保守力
M a
b
1r
2r
mF?
r?d?
结论上的元功为在位移元F? r?d 2rmMGF?
rd
(2) 质点 m移近质点 M时，万有引力作正功；
质点 m远离质点 M时，万有引力作负功。
11第三章 功和能四、摩擦力的功摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关 。
1M 2M
v?
F?
mgF
结论在这个过程中所作的功为摩擦力 F?
摩擦力 方向,切向且与速度反向
21MM F d s 21MM rdFA
21ss dsmg?
mg s)( 1ssmg 2
M1与 M2之间的路程
—— 非保守力
12第三章 功和能
§ 3-3 动能定理一,质点的动能定理
dA F dr c o sF d r
dm ds
dt
md
2
1
A d A m d 222 1 2 11122 kkm m E E
1?
2?2
t
1t
F
dr?
c o sF d s
F ds
在位移元 上的元功：F dr
m 从,外力作功：
1t 2t
—— 动能定理即：作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功等于质点在同一路程的始末两个状态动能的增量。
13第三章 功和能
(2) Ek 是一个状态量,A 是过程量。动能定理给出了力对质点的持续作用引起的质点运动状态变化的规律。
(1) 动能定律只用于 惯性系。
(3) 力对质点在某一过程中作的功，只与质点在始末状态的动能有关，而与运动过程中动能变化细节无关。
二,质点系的动能定理分别对 m1,m2用动能定理,
1m
2m
f
'f
1F 2F
1 1 1 0F f k kA A E E
2 ' 2 2 0F f k kA A E E
m1：
m2：
12 ' 1 1 0 2 2 0F f F f k k k kA A A A E E E E
0kkA A E E内外讨论
14第三章 功和能
(1) 引起运动状态变化，外力作功，内力也作功。
(2) 内力是成对出现的。内力之和为零，但内力作功之和一般不为零。
(3) 若 A外 ＋ A内 ＝ 0，系统动能守恒。
三,动能定理的应用
解题思路：
确定研究对象分析力及力的功选定研究过程及过程的初终态列方程并求解讨论
15第三章 功和能如图所示，物体 M的质量为 m，弹簧劲度系数为 k,A板及弹簧质量均可忽略不计，求自弹簧原长 O处，突然无初速度地加上物体 M时，弹簧的最大压缩量。
研究对象,M解例
2
max
1
2 kx?
x
分析力,N＝－ kxmg
研究过程,弹簧的压缩过程初态,x＝ 0 υ0＝ 0
终态,x＝ xmax υ0＝ 0
利用动能定理：
maxmgx 0?
m a x
2 mgx
k?
思考：
若将 m缓慢放置,
m平衡时,弹簧的压缩量？
maxx
）（ 21 zzmgA
22
12
11
22A k x k x
A M
16第三章 功和能把质量为 m的飞船从地球表面沿与铅垂夹角为 α的方向发射出去，求使 m脱离地球引力的最小初速度。
例
o
R
x
0?
解 研究对象：飞船 m
分析力,万有引力过程,m从地球表面运动到脱离引力场初态：
终态：
2
MmG
r
r＝ R υ＝ υ0 2
0
1
2kEmr＝ ∞ υ＝ 0
0kE?
利用动能定理：
MmG
R?
21
11()A G m M
rr
2
0
10
2 m
0
2 GM
R
31 1,2 1 0 ms
—— 第二宇宙速度结论：第二宇宙速度与发射方向无关 。
（ 忽略空气阻力和地球自转 ）
17第三章 功和能
§ 3-4 势能 机械能守恒定律一,保守力作功特点,(1) 保守力作功只与始末位置有关，而与路径无关。
如重力作功、弹力作功、万有引力作功。
(2) 质点沿闭合路径运动一周，保守力作功为零。
如果质点在某空间任意位置，都受到一确定的保守力的作用，则称此空间存在着 保守场 。 如重力场，引力场 ……
二,势能
1,引入势能的条件,① 物体系
② 体系内物体间的相互作用力是保守力。
0 rdFA 保
18第三章 功和能
2,势能的定义：
定义：质点在保守力场中某点 a 的势能，在量值上等于质点从 a 点移动至零势能点 b的过程中保守力作的功。
PAE?保 ＝ －
()
()
b
P a P ba F d r E E 保 ＝
设末点 b为势能零点,EPb=0
则 A点势能：
()
()
b
Pa aE F d r 保
3,势能零点的选取,任意的通常,重力势能零点 —— 地面万有引力势能零点 —— r＝ ∞处弹力势能零点 —— 弹簧原长端点 x＝ 0处某点势能指该点与参考点势能之差。
（势能只有相对意义）
19第三章 功和能
4,势能的计算公式：
P ME F d r
参保重力势能,0
P zE m g d z m g z重引力势能：
2P r
M m M mE G d r G
rr
引弹力势能,0
21
2P xE k x d x k x弹
（可正可负）
（恒为负）
（恒为正）
5,势能曲线 （势能与位置坐标的函数曲线）
z
PE
O
重力势能
PE
弹性势能
E
kE
引力势能
PE
xO
PE r
O
pE mgz? 21
2pE kx? p
mMEG
r
20第三章 功和能例解二粒子间相互作用力为斥力：,k是常数,r为二者
3
kf
r?
f 'f
r2r
1r
o
(1) 建立坐标系 or,
设粒子由 r1→ r2,则斥力作功：
2
1
r
rA f d r
2
1
3
r
r
k dr
r
22
1222
kk
rr
（仅与始末位置有关）
f 是保守力
(2) 设 EP(∞)＝ 0，则
()P rE r f d r 参 3
r
k dr
r
22
k
r?
思考：
若取粒子的一般路径,该如何证明？
间距。
(2) 若是，求二者距 r 时的势能。设 EP(∞)＝ 0
问,(1) f是保守力吗？
21第三章 功和能三,机械能守恒定律质点系动能定理,
kA A A E外 保 内 非 内
pkA E A E外 非 内
kpA A E E E外 非 内当 0AA
外 非 内
0E
kpE E E 常 数
—— 机械能守恒定律
(3) 守恒定律是对一个系统而言的
(2) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态说明
(1) 守恒条件：
kA A E外 内
—— 功能原理
0AA外 非 内
22第三章 功和能四,能量守恒和转化定律能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。
能量守恒定律可以适用于任何变化过程
功是能量交换或转换的一种度量
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，
将机械能转换为电能 。
电流通过电热器能发热，把 电能又转换为热能 。
23第三章 功和能大海的能量 (冲浪 )
太阳能飞机
24第三章 功和能
· 自然界中,质量、电荷,(粒子物理中的 )重子 数、
轻子数、奇异数、宇称守恒定律 …… 。
守恒定律的意义
· 力学中,动量、角动量、机械能守恒定律
(2) 适用范围广：宏观、微观、高速、低速均适用。
守恒定律的特点
(1) 方法上：针对一过程,但不究过程细节，
给出始末态的情况。
★ 杨振宁、李政道：“弱作用下宇称不守恒”
荣获 1957年 Nobel Prize.
25第三章 功和能现代物理学中守恒定律 和 时空对称性 相联系
(自然界更普遍的属性 )
对称 --- 在某种,变换下,的不变性。
每一个守恒定律都相应于一种对称 (变换不变性 )
动量守恒定律 是空间平移对称性 的表现；
角动量守恒定律 是空间转动对称性 的表现；
能量守恒定律 是时间平移对称性 的表现。
26第三章 功和能解二：
长为 l的链条放在光滑桌面上,l=0时，链条静止，下垂部分为 a，求链条刚离开桌面时的速度。
例研究对象：
受力分析：
o
x
a
l
整个链条设 t时刻下垂部分为 x
x 段受重力作用,xg
l
mF?
22()g la
l＝
2 2 2()
2
mg l a m
l
1＝
2
动能定理
22()
2
l
a
m m gx g d x l a
ll ＝
重力的功：
动能增量,21
2kEm
0kkA A E E内外
27第三章 功和能解三：
研究对象：
受力分析：
o
x
a
l
整个链条＋地球
22()g lal＝
0 ( )2maagl
功能原理
21 ()
22
lm m g
重力 mg＋支持力 N
保守内力 外力不作功
0AA外 非 内状态 1：
kpE E E 常 数选取 o点为势能零点状态 2：
=
kpA A E E E外 非 内
28第三章 功和能
1h
2h
S
求把水从蓄水池抽出所用的功。例
x
x dx
o
解
（缓慢抽出）
近似认为水是一层一层被抽出的外力大小等于重力设在 x 处取一层厚度为 dx 的水质量,d m s d x
所需外力,F sg d x （恒力作功）
将 dm 抽出外力需作功：
12()d A s g d x h h x
将水全部抽出：
2
120 ()
hA d A s g d x h h x
2 1 2
1()
2sg h h h
29第三章 功和能劲度系数为 k的轻质弹簧上挂一重物 M，另一端固定在铅例垂面 内圆环的最高点 A，设弹簧原长与圆环半径 R相等，
M自弹簧原长 C点无初速度沿圆环滑至最低点 B时所获得的动能。（设摩擦略去不计）
求：
R
A
R
B
C
解 研究对象,M＋弹簧＋地球受力分析,Mg kx N
只有保守内力作功 ∴ 机械能守恒取弹簧原长为弹性势能零点
B点为重力势能零点弹力势能零点重力势能零点状态 1 状态 2
0 0? 3
2 MgR? k
E 0?21
2 kR?
=
∴ 231
22kE M g R k R
30第三章 功和能二正点电荷 Q,q之间静电斥力大小为：例
2
QqFk
r?方向沿联线方向。 问：此力是保守力吗？
时的势能，设 r＝ ∞处,EP＝ 0
设 q处在 Q的电场中若是，求二电荷距 r
N
M
解
Q
r
r dr?
dr F?
F dr?
()
N
M
L
A c o sF d r
dr
2
N
M
r
r
Qqk d r
r
1()kQ q r
22
N
M
r
MNr
k Q q k Q q
rr
的功只与 M,N位置有关,∴ 是保守力F F
31第三章 功和能若取 r＝ ∞处,EP＝ 0，则 r 处的势能：
P rE F d r
2r
Qqk d r
r
kQq
r?
N
M
Q
r
r dr?
dr F?
r Fdr
万有引力、库仑力都是与 r2成反比的内力，均可引入势能。一般取 ∞处为势能零点。因为在 ∞处，两物体已分别孤立，不再是一个体系，相互作用内力已不存在，
设此状态的势能为零较为合理。
32第三章 功和能介绍逃逸速度与黑洞逃逸速度：
以脱离地球的引力为例物体脱离引力所需要的最小速率
33第三章 功和能以无限远作为势能零点
21 ()
2 e
MmmG
R
2
e
GM
R
若
e c
黑洞略去阻力，物体从地面出发，到脱离地球引力为止，整个过程中，仅保守内力（万有引力）作功。
∴ 系统机械能守恒
21 0
2 m
（此结论可用于任一星体）
0 2
2GMR
c?
视界半径
34第三章 功和能设想
1)把地球变成黑洞
1 1 2 4
0 2 2 1 6
2 2 6,6 7 1 0 5,9 8 1 0
3 1 0
GMR
c
8,8 6 mm?
2)把太阳变成黑洞
1 1 3 0
0 2 2 1 6
2 2 6,6 7 1 0 1,9 9 1 0
3 1 0
GMR
c
32,9 5 1 0 m
由于引力特大，以至于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。
黑洞 (black hole)：
35第三章 功和能第 3章结束
