1第十三章 机械波一平面简谐波沿 x轴正方向传播，已知其波函数为
m )10.050(c o s04.0 xty
)210.0250(π2c o s04.0 xty
m 04.0?A s 04.0502T
m 2010.0 2 m / s 50 0 Tu?
a,比较法 (与标准形式比较）
])(π2c o s [),( 0 xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解
(1) 波的波幅、波长、周期及波速；
(2) 质点振动的最大速度。
求
(1)
2第十三章 机械波
21π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
s 04.012 ttT
12π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
m 2012 xx?
2 2 1 1π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 )t x t x
m / s 500
12
12?
tt
xxu
0,0 4 5 0 π sin π ( 5 0 0,1 0 )y txtv
m / s m a x 28.65004.0v
b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）
m,yA 040m a x振幅波长周期波速
(2)
u?
3第十三章 机械波三,波动微分方程
无色散介质 一维波动方程
22
2 2 2
1yy
x u t
介质中的波速
(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程；
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；
(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1y y y y
x y z u t
说明
4第十三章 机械波波动过程振动状态（相位）的传播过程振动能量的传播过程
§ 13-3 波的能量机械波的能量是指在波动过程中传播振动的介质所具有的能量。
波形曲线向前平移的过程机械波 介质振动具有速度发生形变动能势能
5第十三章 机械波一,波的能量
mV
2 2 2 211 s in [ ( ) ]
22k
xW m V A t
uv
线元的动能为线元的 势能 （原长为势能零点）为设波沿 x 方向传播，取线元以绳波为例,c o s[ ( ) ]xy A t
u
线元的振动速度为
s in [ ( ) ]yxAttu
2)(21 xyxTW p
2 2 21 s in [ ( ) ]
2
xV A t
u
线元的总能量：
2 2 2s in [ ( ) ]
kP
xW W W V A t
u
m?
V?
6第十三章 机械波
(2) 质元机械能随 时空 周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量。因此：
波动过程是能量的传播过程。
讨论 (1) 在波的传播过程中，各质元的 动能和势能均同步变化,即 Wk=Wp,与作简谐振动的弹簧振子的振动能量变化规律是不同的。
如图所示：
x
y
u
O
A
B
A 点质元的动能、势能同时达到最小；
B 点质元的动能、势能同时达到最大；
,yx最 小 也 最 小v
,yx最 大 也 最 大v
7第十三章 机械波
(3)比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
21
2W k A?
2 2 2
0s i n [ ( ) ]
xW m A t
u
波动过程 振动过程波动过程，某质元具有的能量 w是时间 t的 周期函数 振动过程，质元总能量不变传播能量 不传播能量
kW pW
和 同相变化 pWkW 最大时,为 0
kWpW
最大时,为 0
讨论
8第十三章 机械波
(1) 能量密度
22
0
11
2
T
w w t AT d
2 2 2sin [ ( ) ]Wxw A t
Vu
二,关于波的能量的几个物理量
(2) 平均能量密度
—— 单位体积中波的能量
—— 一个周期内能量密度的平均值
(3) 波的强度（平均能流密度）
—— 单位时间内通过垂直于波线截面单位面积上的平均能量。
WI wu
TS
一个周期内通过 S的能量：
u? s
λ＝ uT
x
W w u T S
波的强度,221
2 Au
2A?
2 2 2s in [ ( ) ]
kP
xW W W V A t
u
9第十三章 机械波
2,球面波
2 2 2 21 1 2 21122A u S A u S
1S
2S
1r
2r
2 2 2 21 1 2 24 π 4 πA r A r1 1 2 2A r A r?
0 0(,) c o s [ ( ) ],0A ry r t t rru
令：
得：
介质无吸收时，球面波的振幅随 r 增大而减小,
则 球面简谐波的波函数为
0Ar A?
21/Ir?
1S 2S
u?
三,平面波和球面波的振幅 （ 不吸收能量 ）
1,平面波
21 AA?22112 A uS 22212 A uS
介质无吸收时，平面波振幅不变。
12S S S
单位时间内通过这两个平面的能量
10第十三章 机械波
(1) 知某一时刻波前，
可用几何方法决定下一时刻波前；
说明
R1 R2
S1
S2
O1
S
2S
t tt
r u t
(1) 行进中的波面上任意一点都 可看作是新的子波源；
(3) 各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。
(2) 所有子波源各自向外发出许多子波；
§ 13-4 惠更斯原理一,惠更斯原理
(2) 惠更斯原理对任何波动过程都成立；
11第十三章 机械波二、惠更斯原理的应用衍射 —— 波在传播过程中遇到障碍物，其传播方向会发生改变，并能绕过障碍物的边缘继续向前传播。
衍射是波动的判据平面波经小孔衍射成球面波衍射是否明显？
视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较对一定波长的波 线度小衍射现象明显线度大衍射现象不明显一切波动都具有衍射现象
12第十三章 机械波水波通过窄缝时的衍射
13第十三章 机械波更容易听到男的还是女的说话的声音？
广播和电视哪个更容易收到?障碍物衍射：尺度与波长相比
14第十三章 机械波
§ 13-5 波的干涉一、波的叠加原理
(1) 波传播的独立性,两列或几列波在传播过程中相遇，相 遇后仍保持各自原来的 传播特性（波长、频率、波速、波形） 。
(2) 叠加原理,处于两列或几列波相遇处的质点其振动状态由两列或几列波各自提供的振动的 合成 。v
1 v
2
21 yyy
线性叠加满足线性波动方程，相应的介质叫线性介质只有各波都较弱时才满足线性叠加
15第十三章 机械波
16第十三章 机械波波源
S1
波源
S2
1,相干条件频率相同（简称 同频率 ） 振动方向相同（简称 同方向 ）
相位差恒定（简称 相差恒定 ）
2.波场中的强度分布
1 1 1 0 1
2 2 2 0 2
S c o s ( )
S c o s ( )
y A t
y A t
振动振动
P1
r
2r两振源在场点 P产生的谐振动分别为
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
场点 P是两个同方向、同频率的 S.H.V.的合成结果取决于两振动的相位差二、波的干涉
17第十三章 机械波
2 1 2 12 πΔ rr两谐振动的相差
221 2 1 22 c o sA A A A A
由于在波场中确定点有确定的相位差，所以每一点都有确定的 A。 从而在波场中形成了稳定的强度分布。
干涉的特点,强度分布稳定合成的振幅波的强度?
1 2 1 22 c o sI I I I I
12 c o s ( )y y y A t
该点合振动：
何处强？何处弱？
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
18第十三章 机械波
(1)当 21
21
2 ( ) 2rr k
,k=0,1,2,振动加强
(3)如
2 1 1 20
，即波源 S1,S2为同相,则：
122 ( )rr
{
( 2 1 )k
加强减弱
2k
波程差
12rr
2
{
( 2 1) 2k
k? 加强减弱
12A A A
12A A A
(2)当 21
21
2 ( ) ( 2 1 )rr k
,k=0,1,2,振动减弱
12A A A 2m a x 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
12A A A
2m i n 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
19第十三章 机械波
A,B 为两相干波源，距离为 30 m,振幅相同,? 相同，
初相差为?,u = 400 m/s,f =100 Hz 。
例
A,B 连线上因干涉而静止的各点位置。求：
m 3012 rr?
解,
BAP
30mm 4
f
u?
14 π2 π 2 ππ π 30
16 π4
（ P 在 A 左侧）
（ P 在 B 右侧）
maxII? (在 两侧 干涉相长,不会出现静止点 )
r1
r2
若 P 在 A,B 中间 12 rr 1121 2302 rrrr
由题意
π2π 1ππ14 r π)12( k干涉相消
)12(141 kr 7,2,1,0k
(在 AB 之间距离 A 点为 1,3,5,…,29 m 处出现静止点 )
如果 P 在 A,B 两侧
20第十三章 机械波
§ 13-6 驻波一、形成驻波的条件波形不传播，是媒质质元的一种集体振动状态。
驻波由两列同振幅、传播方向相反的相干波（同方向、
同频率、相差恒定）叠加而成。
二、驻波方程设二列波的波动方程,1 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
u
2 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
ut＝ 0时，二波形重合二波叠加，则任一点振动位移
12 2 c o s c o sy y y A k x t
—— 驻波方程
21第十三章 机械波
0t?
u
u
4
Tt?
u
u
2
Tt?
u
u
3
4
Tt?
u
u
y
x
y
x
2A
y
x
2A
y
x
22第十三章 机械波
12 2 c o s c o sy y y A k x t
1,频率特点
02 c o s c o sy A t k x
各质点均以同频率作谐振动
（不同时刻，波形相同，但波幅大小不同）
三、驻波的特点固定时间 t＝ t0，即得 t0时的波形曲线方程2,波形特点
波形呈余弦函数分布，但波幅随时间变化。
23第十三章 机械波固定质点 x＝ x0，即得 x0处的振动方程
02 c o s c o sy A k x t
振幅是质点位置的函数，在波动的一个周期内，引起各质点的振幅不同。
波节波腹
3,振幅特点
波腹位置,2
k x x k
1
2xk
0,1,2k
波节位置,2 ( 2 1 )
2k x x k
( 2 1 )
4xk
相邻两节点、腹点间距离为
2
24第十三章 机械波
4,相位特点
to
同相
所有波节点将媒质划分为长 的许多段，2/?
同一分段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；
相邻段间各质点的振动相位相反 ;
驻波中不存在相位的传播。
（同时达到最大，同时回到平衡位置）
行波：各点振幅相同，但相位不同，依次达到最大
25第十三章 机械波
5,能量特点
驻波没有能量的定向传播。 能量只是在波节和波腹之间，
进行动能和势能的转化。
0t?
4
Tt?
2
Tt?
势能动能势能
m )10.050(c o s04.0 xty
)210.0250(π2c o s04.0 xty
m 04.0?A s 04.0502T
m 2010.0 2 m / s 50 0 Tu?
a,比较法 (与标准形式比较）
])(π2c o s [),( 0 xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解
(1) 波的波幅、波长、周期及波速；
(2) 质点振动的最大速度。
求
(1)
2第十三章 机械波
21π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
s 04.012 ttT
12π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
m 2012 xx?
2 2 1 1π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 )t x t x
m / s 500
12
12?
tt
xxu
0,0 4 5 0 π sin π ( 5 0 0,1 0 )y txtv
m / s m a x 28.65004.0v
b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）
m,yA 040m a x振幅波长周期波速
(2)
u?
3第十三章 机械波三,波动微分方程
无色散介质 一维波动方程
22
2 2 2
1yy
x u t
介质中的波速
(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程；
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；
(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1y y y y
x y z u t
说明
4第十三章 机械波波动过程振动状态（相位）的传播过程振动能量的传播过程
§ 13-3 波的能量机械波的能量是指在波动过程中传播振动的介质所具有的能量。
波形曲线向前平移的过程机械波 介质振动具有速度发生形变动能势能
5第十三章 机械波一,波的能量
mV
2 2 2 211 s in [ ( ) ]
22k
xW m V A t
uv
线元的动能为线元的 势能 （原长为势能零点）为设波沿 x 方向传播，取线元以绳波为例,c o s[ ( ) ]xy A t
u
线元的振动速度为
s in [ ( ) ]yxAttu
2)(21 xyxTW p
2 2 21 s in [ ( ) ]
2
xV A t
u
线元的总能量：
2 2 2s in [ ( ) ]
kP
xW W W V A t
u
m?
V?
6第十三章 机械波
(2) 质元机械能随 时空 周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量。因此：
波动过程是能量的传播过程。
讨论 (1) 在波的传播过程中，各质元的 动能和势能均同步变化,即 Wk=Wp,与作简谐振动的弹簧振子的振动能量变化规律是不同的。
如图所示：
x
y
u
O
A
B
A 点质元的动能、势能同时达到最小；
B 点质元的动能、势能同时达到最大；
,yx最 小 也 最 小v
,yx最 大 也 最 大v
7第十三章 机械波
(3)比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
21
2W k A?
2 2 2
0s i n [ ( ) ]
xW m A t
u
波动过程 振动过程波动过程，某质元具有的能量 w是时间 t的 周期函数 振动过程，质元总能量不变传播能量 不传播能量
kW pW
和 同相变化 pWkW 最大时,为 0
kWpW
最大时,为 0
讨论
8第十三章 机械波
(1) 能量密度
22
0
11
2
T
w w t AT d
2 2 2sin [ ( ) ]Wxw A t
Vu
二,关于波的能量的几个物理量
(2) 平均能量密度
—— 单位体积中波的能量
—— 一个周期内能量密度的平均值
(3) 波的强度（平均能流密度）
—— 单位时间内通过垂直于波线截面单位面积上的平均能量。
WI wu
TS
一个周期内通过 S的能量：
u? s
λ＝ uT
x
W w u T S
波的强度,221
2 Au
2A?
2 2 2s in [ ( ) ]
kP
xW W W V A t
u
9第十三章 机械波
2,球面波
2 2 2 21 1 2 21122A u S A u S
1S
2S
1r
2r
2 2 2 21 1 2 24 π 4 πA r A r1 1 2 2A r A r?
0 0(,) c o s [ ( ) ],0A ry r t t rru
令：
得：
介质无吸收时，球面波的振幅随 r 增大而减小,
则 球面简谐波的波函数为
0Ar A?
21/Ir?
1S 2S
u?
三,平面波和球面波的振幅 （ 不吸收能量 ）
1,平面波
21 AA?22112 A uS 22212 A uS
介质无吸收时，平面波振幅不变。
12S S S
单位时间内通过这两个平面的能量
10第十三章 机械波
(1) 知某一时刻波前，
可用几何方法决定下一时刻波前；
说明
R1 R2
S1
S2
O1
S
2S
t tt
r u t
(1) 行进中的波面上任意一点都 可看作是新的子波源；
(3) 各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。
(2) 所有子波源各自向外发出许多子波；
§ 13-4 惠更斯原理一,惠更斯原理
(2) 惠更斯原理对任何波动过程都成立；
11第十三章 机械波二、惠更斯原理的应用衍射 —— 波在传播过程中遇到障碍物，其传播方向会发生改变，并能绕过障碍物的边缘继续向前传播。
衍射是波动的判据平面波经小孔衍射成球面波衍射是否明显？
视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较对一定波长的波 线度小衍射现象明显线度大衍射现象不明显一切波动都具有衍射现象
12第十三章 机械波水波通过窄缝时的衍射
13第十三章 机械波更容易听到男的还是女的说话的声音？
广播和电视哪个更容易收到?障碍物衍射：尺度与波长相比
14第十三章 机械波
§ 13-5 波的干涉一、波的叠加原理
(1) 波传播的独立性,两列或几列波在传播过程中相遇，相 遇后仍保持各自原来的 传播特性（波长、频率、波速、波形） 。
(2) 叠加原理,处于两列或几列波相遇处的质点其振动状态由两列或几列波各自提供的振动的 合成 。v
1 v
2
21 yyy
线性叠加满足线性波动方程，相应的介质叫线性介质只有各波都较弱时才满足线性叠加
15第十三章 机械波
16第十三章 机械波波源
S1
波源
S2
1,相干条件频率相同（简称 同频率 ） 振动方向相同（简称 同方向 ）
相位差恒定（简称 相差恒定 ）
2.波场中的强度分布
1 1 1 0 1
2 2 2 0 2
S c o s ( )
S c o s ( )
y A t
y A t
振动振动
P1
r
2r两振源在场点 P产生的谐振动分别为
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
场点 P是两个同方向、同频率的 S.H.V.的合成结果取决于两振动的相位差二、波的干涉
17第十三章 机械波
2 1 2 12 πΔ rr两谐振动的相差
221 2 1 22 c o sA A A A A
由于在波场中确定点有确定的相位差，所以每一点都有确定的 A。 从而在波场中形成了稳定的强度分布。
干涉的特点,强度分布稳定合成的振幅波的强度?
1 2 1 22 c o sI I I I I
12 c o s ( )y y y A t
该点合振动：
何处强？何处弱？
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
18第十三章 机械波
(1)当 21
21
2 ( ) 2rr k
,k=0,1,2,振动加强
(3)如
2 1 1 20
，即波源 S1,S2为同相,则：
122 ( )rr
{
( 2 1 )k
加强减弱
2k
波程差
12rr
2
{
( 2 1) 2k
k? 加强减弱
12A A A
12A A A
(2)当 21
21
2 ( ) ( 2 1 )rr k
,k=0,1,2,振动减弱
12A A A 2m a x 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
12A A A
2m i n 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
19第十三章 机械波
A,B 为两相干波源，距离为 30 m,振幅相同,? 相同，
初相差为?,u = 400 m/s,f =100 Hz 。
例
A,B 连线上因干涉而静止的各点位置。求：
m 3012 rr?
解,
BAP
30mm 4
f
u?
14 π2 π 2 ππ π 30
16 π4
（ P 在 A 左侧）
（ P 在 B 右侧）
maxII? (在 两侧 干涉相长,不会出现静止点 )
r1
r2
若 P 在 A,B 中间 12 rr 1121 2302 rrrr
由题意
π2π 1ππ14 r π)12( k干涉相消
)12(141 kr 7,2,1,0k
(在 AB 之间距离 A 点为 1,3,5,…,29 m 处出现静止点 )
如果 P 在 A,B 两侧
20第十三章 机械波
§ 13-6 驻波一、形成驻波的条件波形不传播，是媒质质元的一种集体振动状态。
驻波由两列同振幅、传播方向相反的相干波（同方向、
同频率、相差恒定）叠加而成。
二、驻波方程设二列波的波动方程,1 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
u
2 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
ut＝ 0时，二波形重合二波叠加，则任一点振动位移
12 2 c o s c o sy y y A k x t
—— 驻波方程
21第十三章 机械波
0t?
u
u
4
Tt?
u
u
2
Tt?
u
u
3
4
Tt?
u
u
y
x
y
x
2A
y
x
2A
y
x
22第十三章 机械波
12 2 c o s c o sy y y A k x t
1,频率特点
02 c o s c o sy A t k x
各质点均以同频率作谐振动
（不同时刻，波形相同，但波幅大小不同）
三、驻波的特点固定时间 t＝ t0，即得 t0时的波形曲线方程2,波形特点
波形呈余弦函数分布，但波幅随时间变化。
23第十三章 机械波固定质点 x＝ x0，即得 x0处的振动方程
02 c o s c o sy A k x t
振幅是质点位置的函数，在波动的一个周期内，引起各质点的振幅不同。
波节波腹
3,振幅特点
波腹位置,2
k x x k
1
2xk
0,1,2k
波节位置,2 ( 2 1 )
2k x x k
( 2 1 )
4xk
相邻两节点、腹点间距离为
2
24第十三章 机械波
4,相位特点
to
同相
所有波节点将媒质划分为长 的许多段，2/?
同一分段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；
相邻段间各质点的振动相位相反 ;
驻波中不存在相位的传播。
（同时达到最大，同时回到平衡位置）
行波：各点振幅相同，但相位不同，依次达到最大
25第十三章 机械波
5,能量特点
驻波没有能量的定向传播。 能量只是在波节和波腹之间，
进行动能和势能的转化。
0t?
4
Tt?
2
Tt?
势能动能势能
