1第七章 机械振动第七章 机械振动振动 （物理学中的一般定义）
一个物理量在某一确定值附近随时间作周期性的变化，
则该物理量的运动形式称为振动。
机械振动 电磁振动 微观振动振动分类振动受迫振动自由振动共振阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动物体在其平衡位臵附近作来回往复的运动 简谐振动简谐振动（ S.H.V）是一种最简单、最基本的振动。一般复杂的振动都是 S.H.V在一定条件下的合成,S.H.V是振动的基本模型。
,,,,,r E H Q i?（ 等等）
2第七章 机械振动
§ 7-1 简谐振动
§ 7-2 谐振动的合成
§ 7-3 阻尼振动和受迫振动简介
* § 7-5 两个自由度系统自由振动简介
* § 7-4 非谐振动的傅氏分解 频谱第七章 机械振动
3第七章 机械振动一、简谐振动的定义
1 用动力学方程定义物体离开平衡位臵的位移按余弦函数 (或正弦函数 )的规律随时间变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动。
§ 7-1 简谐振动
simple harmonic vibration (S.H.V.)
k m
x
0 x
kx
2
2
t
xmkx
d
d
02
2
xmkt xdd
m
k?2?
022
2
xt x?dd
2 用运动学方程定义
tAx c o s
s i nx A t或二者关系？
—— 振动方程
4第七章 机械振动说明 （ 1） 上述方程对于非机械振动也成立。
例 电磁震荡电路
C L
t
iL
C
q
d
d
q
012
2
qLCt qdd t
qi
d
d?
（ 2） 从运动学方程 tAx c o s
s i nAt2 c o sa A t
（ 3） 简谐振动的特点等幅性 周期性 )()( Ttxtx
物体所受的力与位移成正比而反向
c o s 2At2 c o sAt
5第七章 机械振动
1,x —— 位移二,振动参量 tAx c o s
描述位臵的物理量，广义上指振动的物理量
2,A —— 振幅 最大位移，恒为正，表征系统的能量
c o s t ≤1 x ≤A —— 振动的强弱
3,T ν ω —— 周期和频率
1T 2 2T —— 固有周期和频率
（ 1） 数学上，相位是一个角度，
物理上，相位是描写振动状态的一个参量。
圆频率或角频率
T ω ν 的大小由振动系统本身性质决定
4,（ ） —— t 时刻的相位（位相）t
6第七章 机械振动
（ 2） 用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的 周期性 。
—— 取决于时间零点的选择
c o s ( )x A t A
s i n ( ) 0At xOA? A
2t
0x?
A
32t
0x?
A
0t
相位确定了，振动状态就确定了。一个周期内，时间从 0— T物体运动所经历的状态各不相同，不同的状态正好对应着相位从 0— 的变化。2?
（ 3）,初相?
7第七章 机械振动
ω由振动系统本身决定弹簧振子,k
m
单摆,g
l
三,谐振动的描述
1,解析法
tAx c o s
振动三要素：振幅、周期和相位
) c o s ()( tωAtx?c o s0 Ax?
) s i n( tωAωv?s i n 0 Aωv
2
2 0
0 2Ax
v 1 0
0
tg ( )x v
A,由初始条件决定?
8第七章 机械振动例 一弹簧振子（ m,k），已知
,km 2,A cm?
当 t＝ 0时，
0 1,x cm? 0 0,
试写出振动方程。
解 谐振动，方程形式为,c o s ( )x A t
由初始条件：
0 c o s 1xA
0 s i n 0A
①
②
33
或 －
3
－
振动方程：
2 c o s ( )
3
kxt
m
由①可得,再由②可得：
9第七章 机械振动例 一轻弹簧（ k），下端挂一重物 m，用手拉物向下至 x处，
然后无初速度释放。试写出振动方程。
解,原点取在原长 建立坐标 O`x 如图
'O
x
x
分析小球受力，
mg
kx
可得：
2
2
dxm g k x m
dt
2
2
d x k xg
d t m
（不是谐振动）
原点取在平衡位臵 建立 ox轴
o
x
x 0()k x x?
2
0 2()
dxm g k x x m
dt
2
2 0
d x k x
d t m
c o s ( )x A t
二阶线性非齐次方程
10第七章 机械振动推论,若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位臵，而坐标原点取在新的平衡位臵上。
k m
k
m
k
m
k
m
2 mT k
以上各振动均为谐振动，周期相同，但平衡位臵不同
k
m
11
1F 2F
m
1k 2k
11F k x?
22F k x?
F kx?
12k x k x k x
12k k k
1k
m
2k
1F
2F
F
弹簧的串并联
1,并联
2.串联
1 1 1F k x?
2 2 2F k x?
F kx?
12F F F
12x x x
12
1 1 1
k k k
12第七章 机械振动
2.旋转矢量法用匀速圆周运动 几何地描述 S H V
规定 AA?
端点在 x轴上的投影式逆时针转?以角速度
t +?o
x
t
t = 0
A
A
·· )c o s ()( tAtx
谐振动
旋转矢量的大小 A—— 振幅
旋转矢量转动角速度 ω—— 谐振动的角频率
旋转矢量和参考方向的夹角 —— 相位
2Tt旋转一周，投影点完成一次全振动 —— 谐振动，
没有一个状态是相同，没有一个角度是相同的，
一个周期内，相位和状态一一对应。
x
13第七章 机械振动例 质点在 x轴上作谐振动，从 A→B→O→C→D,请指出各点时的相位，并说明相应的状态。
O AD C B x
解 0A 3
B
2O
23C
D
例 一弹簧振子，已知 A,ω，试写出振动方程。
(1)开始时物体运动到正向最大位移处,(2)开始时物体在 A/2处,
向 x正方向运动，
解
o xA
0
c o s ( )x A t
o xA
53
5c o s ( )3x A t
14第七章 机械振动例 一质点在 x轴上作谐振动,T为已知，问：质点从 A→A/2
和从 A/2→0 所需时间各为多少？
解 用相位分析问题
o xA
1
A→A/2,相位变化从 0→π/3,
1 3
由
1
1
2
Tt
1 6Tt
A/2→0,相位变化从 π/3→π/2,
2 6
2
由
2
2
2
Tt
2 12
Tt
15第七章 机械振动以振动平衡位臵为坐标原点，振动方向为纵轴,t为横轴的 x - t 关系曲线。
2c o sx A t
T
3,振动曲线
o
x
t
T
A
x
0
旋转矢量振动方程振动曲线位移时间曲线不是运动轨迹
16第七章 机械振动
o
()x cm
()ts
1
3
3?
2 3
解例 已知振动曲线，求振动方程。
x
1 2
3A cm?
2Ts?
2 s
T
1 3 c o s( )2xt
2 2 3 c o s ( )xt
由振动曲线 1，
1
2
t＝ 0时,x0＝ 0,υ0 > 0
由振动曲线 2,t＝ 0时,x0＝－ 3,υ0＝ 0
17第七章 机械振动相位差 利用相位差可比较两个振动的步调是否一致
1 1 1c o s ( )x A t
2 2 2c o s ( )x A t
同方向、同频率振动
21( ) ( )tt21
（初相差）
1,超前和落后
t
x
O
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2若 =? 2-? 1> 0,则
x2 比 x1 早 达到正最大,称 x2 比 x1 超前
(或 x1 比 x2 落后 )。
18第七章 机械振动
2 k
两振动步调相同
( 2 1 )k
x
to
A1
-A1
A2
- A2
x1
x2 T同相
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
2,同相和反相两振动步调相反
19第七章 机械振动
A?
比较谐振动的 x,υ,a 的相位
c o s ( )x A t
s i n ( )At
2 c o s ( )a A t
πc o s
2At
2 c o s πAt
T
o
x
t
a
A2?
2
令可见：速度 υ比位移 x 相位超 π/2；加速度 a 比速度 υ相位超前 π/2；加速度 a 与位移 x 反相。
一个物理量在某一确定值附近随时间作周期性的变化，
则该物理量的运动形式称为振动。
机械振动 电磁振动 微观振动振动分类振动受迫振动自由振动共振阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动物体在其平衡位臵附近作来回往复的运动 简谐振动简谐振动（ S.H.V）是一种最简单、最基本的振动。一般复杂的振动都是 S.H.V在一定条件下的合成,S.H.V是振动的基本模型。
,,,,,r E H Q i?（ 等等）
2第七章 机械振动
§ 7-1 简谐振动
§ 7-2 谐振动的合成
§ 7-3 阻尼振动和受迫振动简介
* § 7-5 两个自由度系统自由振动简介
* § 7-4 非谐振动的傅氏分解 频谱第七章 机械振动
3第七章 机械振动一、简谐振动的定义
1 用动力学方程定义物体离开平衡位臵的位移按余弦函数 (或正弦函数 )的规律随时间变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动。
§ 7-1 简谐振动
simple harmonic vibration (S.H.V.)
k m
x
0 x
kx
2
2
t
xmkx
d
d
02
2
xmkt xdd
m
k?2?
022
2
xt x?dd
2 用运动学方程定义
tAx c o s
s i nx A t或二者关系？
—— 振动方程
4第七章 机械振动说明 （ 1） 上述方程对于非机械振动也成立。
例 电磁震荡电路
C L
t
iL
C
q
d
d
q
012
2
qLCt qdd t
qi
d
d?
（ 2） 从运动学方程 tAx c o s
s i nAt2 c o sa A t
（ 3） 简谐振动的特点等幅性 周期性 )()( Ttxtx
物体所受的力与位移成正比而反向
c o s 2At2 c o sAt
5第七章 机械振动
1,x —— 位移二,振动参量 tAx c o s
描述位臵的物理量，广义上指振动的物理量
2,A —— 振幅 最大位移，恒为正，表征系统的能量
c o s t ≤1 x ≤A —— 振动的强弱
3,T ν ω —— 周期和频率
1T 2 2T —— 固有周期和频率
（ 1） 数学上，相位是一个角度，
物理上，相位是描写振动状态的一个参量。
圆频率或角频率
T ω ν 的大小由振动系统本身性质决定
4,（ ） —— t 时刻的相位（位相）t
6第七章 机械振动
（ 2） 用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的 周期性 。
—— 取决于时间零点的选择
c o s ( )x A t A
s i n ( ) 0At xOA? A
2t
0x?
A
32t
0x?
A
0t
相位确定了，振动状态就确定了。一个周期内，时间从 0— T物体运动所经历的状态各不相同，不同的状态正好对应着相位从 0— 的变化。2?
（ 3）,初相?
7第七章 机械振动
ω由振动系统本身决定弹簧振子,k
m
单摆,g
l
三,谐振动的描述
1,解析法
tAx c o s
振动三要素：振幅、周期和相位
) c o s ()( tωAtx?c o s0 Ax?
) s i n( tωAωv?s i n 0 Aωv
2
2 0
0 2Ax
v 1 0
0
tg ( )x v
A,由初始条件决定?
8第七章 机械振动例 一弹簧振子（ m,k），已知
,km 2,A cm?
当 t＝ 0时，
0 1,x cm? 0 0,
试写出振动方程。
解 谐振动，方程形式为,c o s ( )x A t
由初始条件：
0 c o s 1xA
0 s i n 0A
①
②
33
或 －
3
－
振动方程：
2 c o s ( )
3
kxt
m
由①可得,再由②可得：
9第七章 机械振动例 一轻弹簧（ k），下端挂一重物 m，用手拉物向下至 x处，
然后无初速度释放。试写出振动方程。
解,原点取在原长 建立坐标 O`x 如图
'O
x
x
分析小球受力，
mg
kx
可得：
2
2
dxm g k x m
dt
2
2
d x k xg
d t m
（不是谐振动）
原点取在平衡位臵 建立 ox轴
o
x
x 0()k x x?
2
0 2()
dxm g k x x m
dt
2
2 0
d x k x
d t m
c o s ( )x A t
二阶线性非齐次方程
10第七章 机械振动推论,若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位臵，而坐标原点取在新的平衡位臵上。
k m
k
m
k
m
k
m
2 mT k
以上各振动均为谐振动，周期相同，但平衡位臵不同
k
m
11
1F 2F
m
1k 2k
11F k x?
22F k x?
F kx?
12k x k x k x
12k k k
1k
m
2k
1F
2F
F
弹簧的串并联
1,并联
2.串联
1 1 1F k x?
2 2 2F k x?
F kx?
12F F F
12x x x
12
1 1 1
k k k
12第七章 机械振动
2.旋转矢量法用匀速圆周运动 几何地描述 S H V
规定 AA?
端点在 x轴上的投影式逆时针转?以角速度
t +?o
x
t
t = 0
A
A
·· )c o s ()( tAtx
谐振动
旋转矢量的大小 A—— 振幅
旋转矢量转动角速度 ω—— 谐振动的角频率
旋转矢量和参考方向的夹角 —— 相位
2Tt旋转一周，投影点完成一次全振动 —— 谐振动，
没有一个状态是相同，没有一个角度是相同的，
一个周期内，相位和状态一一对应。
x
13第七章 机械振动例 质点在 x轴上作谐振动，从 A→B→O→C→D,请指出各点时的相位，并说明相应的状态。
O AD C B x
解 0A 3
B
2O
23C
D
例 一弹簧振子，已知 A,ω，试写出振动方程。
(1)开始时物体运动到正向最大位移处,(2)开始时物体在 A/2处,
向 x正方向运动，
解
o xA
0
c o s ( )x A t
o xA
53
5c o s ( )3x A t
14第七章 机械振动例 一质点在 x轴上作谐振动,T为已知，问：质点从 A→A/2
和从 A/2→0 所需时间各为多少？
解 用相位分析问题
o xA
1
A→A/2,相位变化从 0→π/3,
1 3
由
1
1
2
Tt
1 6Tt
A/2→0,相位变化从 π/3→π/2,
2 6
2
由
2
2
2
Tt
2 12
Tt
15第七章 机械振动以振动平衡位臵为坐标原点，振动方向为纵轴,t为横轴的 x - t 关系曲线。
2c o sx A t
T
3,振动曲线
o
x
t
T
A
x
0
旋转矢量振动方程振动曲线位移时间曲线不是运动轨迹
16第七章 机械振动
o
()x cm
()ts
1
3
3?
2 3
解例 已知振动曲线，求振动方程。
x
1 2
3A cm?
2Ts?
2 s
T
1 3 c o s( )2xt
2 2 3 c o s ( )xt
由振动曲线 1，
1
2
t＝ 0时,x0＝ 0,υ0 > 0
由振动曲线 2,t＝ 0时,x0＝－ 3,υ0＝ 0
17第七章 机械振动相位差 利用相位差可比较两个振动的步调是否一致
1 1 1c o s ( )x A t
2 2 2c o s ( )x A t
同方向、同频率振动
21( ) ( )tt21
（初相差）
1,超前和落后
t
x
O
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2若 =? 2-? 1> 0,则
x2 比 x1 早 达到正最大,称 x2 比 x1 超前
(或 x1 比 x2 落后 )。
18第七章 机械振动
2 k
两振动步调相同
( 2 1 )k
x
to
A1
-A1
A2
- A2
x1
x2 T同相
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
2,同相和反相两振动步调相反
19第七章 机械振动
A?
比较谐振动的 x,υ,a 的相位
c o s ( )x A t
s i n ( )At
2 c o s ( )a A t
πc o s
2At
2 c o s πAt
T
o
x
t
a
A2?
2
令可见：速度 υ比位移 x 相位超 π/2；加速度 a 比速度 υ相位超前 π/2；加速度 a 与位移 x 反相。
