1第六章 刚体动力学二,刚体定轴转动的微分方程
O ir? iF?if
i i i iF f m a
取一质量元
i i i iF f m a
切线方向
2s in s ini i i i i iF r f r m r
对整个刚体
2s i n s i n ()
i i i iiiF r f r m r
合内力矩 = 0
合外力矩 M
im?
s i n s i ni i i iF f m r
两边同乘
ir
2() iiiM m r外
2
iim r J令
（刚体对 z轴的转动惯量）
z z z z
dM J J dt —— 刚体定轴转动定律
2第六章 刚体动力学
z z zMJ
刚体在总外力矩 Mz的作用下，获得的角加速度 β与总外力矩的大小成正比，与 J成反比。
讨论 (1) 刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律
(2) M,J,β必须对同一转轴定义
(5) 与牛顿定律比较,amJFM,,
(3) M 正比于?,力矩越大,刚体的?越大
(4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同转动惯量 J反映了刚体转动时惯性的大小。
3第六章 刚体动力学三,转动惯量
2iirmJ定义式 质量不连续分布质量连续分布三个要素,(1) 总质量 (2) 质量分布 (3) 转轴的位置
(1) J 与刚体的总质量有关例如：均质两根等长的细木棒和细铁棒绕端点所在轴转动惯量 L
z
O xdx
M
2
0 d
LJ x x
木铁 JJ?
22J r d m r d V
2
0
dL MxxL 213 ML?
4第六章 刚体动力学
(2) J 与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl
O2 π
22
0dd
RJ R m R l
2 π2
0 d
RRl
m
R
O
m
r
drrrs dπ2d?
sm dd
23
200
22d
2d
mR mJ r m r m Rr
R
rRmrrrRm d2dπ2π 22
R
3 22 π
2 π
m RR
R m
5第六章 刚体动力学
O
L
xdx
M
z
2
0
2
3
1d MLxxJ L
L
O xdx
M
22
2
2
12
1d MLxxJ /L
/L
四,平行轴定理及垂直轴定理
z
L
C
M
z' 2MLJJ
z'z
z
(3) J 与转轴的位置有关
1,平行轴定理
'zJ
zJ
L
:刚体绕任意轴的转动惯量
:刚体绕通过质心轴的转动惯量
:两轴间垂直距离
6第六章 刚体动力学
2121 ML/J z?
2
2
3
1
2 ML
LMJJ
ZZ
例 均匀细棒的转动惯量
2,(薄板 )垂直轴定理
yxz JJJ
z
M L
z?
例如,求圆盘的任一条直径的转动惯量
2
2
1 mRJ
z?
yxz JJJ
yx JJ?
已知
2
4
1 mRJJ
yx
y
x
z
圆盘
R
C
m
x,y轴在薄板内；
z 轴垂直薄板。
z
x y
7第六章 刚体动力学五、转动定律的应用解题思路：
确定研究对象分析运动状态隔离分析受力由牛顿定律列方程 求解方程隔离分析力矩由转动定律列方程
8第六章 刚体动力学例求 它由此下摆?角时的? O
lm
C解 重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
c o s21 m g lM?
l
g
mlm glJ
M
2
c o s33c o s
2
1
2
tωdd?
mg
θω lg00 d2c o s3d lg s i n3?
一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置
9第六章 刚体动力学例解若 F＝ 2N，
mg＝ 2N，
相同的轮子，二轮的 β相同吗？
(1) 分析受力
mg
T
T
m g T m a
1M TR?
1M m gR?
1 ( ) 2M m g m a R R m a R
(2) 分析受力
F
2 2M F R R
21MM 21
10第六章 刚体动力学例 如图，轮轴绕 o轴转动。轮（ R,J2），轴（ r,J1），通过绳分别挂着 m1,m2，求转动时轮轴的角加速度 β
解
m2m
1
o
R
r
规定正方向 （顺时针为正）
＋转动部分（轮＋轴）
2mg
1T
1mg
1T
2T
2 1 1 2()T R T r J J
平动部分（ m1,m2）
①
⑤
2 2 2 2m g T m a
1 1 1 1T m g m a
②
③
角量与线量的关系
1ar
2aR
④
五式联立，可解 T1,T2,a1,a2,β
2T
11第六章 刚体动力学力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
F m a? MJ
0F? 静止 匀速直线 0M? 静止 匀角速转动
m— 平动时惯性大小的量度 J— 转动时惯性大小的量度总结力的持续作用规律：
空间,22
01122F d r m m
时间：
0F d t m m
力矩的持续作用规律：
空间,?Md
时间,?M dt
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取一质量元
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切线方向
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对整个刚体
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合外力矩 M
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（刚体对 z轴的转动惯量）
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2第六章 刚体动力学
z z zMJ
刚体在总外力矩 Mz的作用下，获得的角加速度 β与总外力矩的大小成正比，与 J成反比。
讨论 (1) 刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律
(2) M,J,β必须对同一转轴定义
(5) 与牛顿定律比较,amJFM,,
(3) M 正比于?,力矩越大,刚体的?越大
(4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同转动惯量 J反映了刚体转动时惯性的大小。
3第六章 刚体动力学三,转动惯量
2iirmJ定义式 质量不连续分布质量连续分布三个要素,(1) 总质量 (2) 质量分布 (3) 转轴的位置
(1) J 与刚体的总质量有关例如：均质两根等长的细木棒和细铁棒绕端点所在轴转动惯量 L
z
O xdx
M
2
0 d
LJ x x
木铁 JJ?
22J r d m r d V
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dL MxxL 213 ML?
4第六章 刚体动力学
(2) J 与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl
O2 π
22
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5第六章 刚体动力学
O
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M
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2
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2
3
1d MLxxJ L
L
O xdx
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22
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1d MLxxJ /L
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四,平行轴定理及垂直轴定理
z
L
C
M
z' 2MLJJ
z'z
z
(3) J 与转轴的位置有关
1,平行轴定理
'zJ
zJ
L
:刚体绕任意轴的转动惯量
:刚体绕通过质心轴的转动惯量
:两轴间垂直距离
6第六章 刚体动力学
2121 ML/J z?
2
2
3
1
2 ML
LMJJ
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例 均匀细棒的转动惯量
2,(薄板 )垂直轴定理
yxz JJJ
z
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例如,求圆盘的任一条直径的转动惯量
2
2
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已知
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4
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yx
y
x
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圆盘
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m
x,y轴在薄板内；
z 轴垂直薄板。
z
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7第六章 刚体动力学五、转动定律的应用解题思路：
确定研究对象分析运动状态隔离分析受力由牛顿定律列方程 求解方程隔离分析力矩由转动定律列方程
8第六章 刚体动力学例求 它由此下摆?角时的? O
lm
C解 重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
c o s21 m g lM?
l
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M
2
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2
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θω lg00 d2c o s3d lg s i n3?
一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置
9第六章 刚体动力学例解若 F＝ 2N，
mg＝ 2N，
相同的轮子，二轮的 β相同吗？
(1) 分析受力
mg
T
T
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1M TR?
1M m gR?
1 ( ) 2M m g m a R R m a R
(2) 分析受力
F
2 2M F R R
21MM 21
10第六章 刚体动力学例 如图，轮轴绕 o轴转动。轮（ R,J2），轴（ r,J1），通过绳分别挂着 m1,m2，求转动时轮轴的角加速度 β
解
m2m
1
o
R
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规定正方向 （顺时针为正）
＋转动部分（轮＋轴）
2mg
1T
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1T
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平动部分（ m1,m2）
①
⑤
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1 1 1 1T m g m a
②
③
角量与线量的关系
1ar
2aR
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五式联立，可解 T1,T2,a1,a2,β
2T
11第六章 刚体动力学力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
F m a? MJ
0F? 静止 匀速直线 0M? 静止 匀角速转动
m— 平动时惯性大小的量度 J— 转动时惯性大小的量度总结力的持续作用规律：
空间,22
01122F d r m m
时间：
0F d t m m
力矩的持续作用规律：
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