1第十三章 机械波第十三章 机械波什么是波动？
振动在空间的传播过程。
波动分类机械波 —— 机械振动在弹性介质中的传播
（声波、绳波、水面波 …… ）
电磁波 —— 交变电磁场在空间的传播几率波 —— 物质波，微观物理中的波动简谐波 —— 简谐振动在弹性介质中的传播
2第十三章 机械波
§ 13-1 机械波的产生和传播
§ 13-2 平面简谐波
§ 13-3 波的能量
§ 13-6 驻波
§ 13-4 惠更斯原理第十三章 机械波
§ 13-7 多普勒效应
§ 13-5 波的干涉
3第十三章 机械波一、机械波的产生
§ 13-1 机械波的产生和传播条件波源,作机械振动的物体｛
机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。
弹性介质,承担传播振动的物质如声带如空气
A
振源 A振动通过弹性力传播开去真空
4第十三章 机械波
x
横波纵波
u横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向 相互 平行 的波；
介质质点的振动方向和波传播方向 相互 垂直 的波；横波：
纵波：
0?t
4Tt?
2Tt?
Tt 43?
Tt?
Tt 45?
横 波
4Tt?
2Tt? Tt
43?Tt?
Tt 45?
Tt 23?
0?t
纵 波
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
5第十三章 机械波振动曲线
t
y
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进；
y
x
波动曲线
(2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；
(波动是振动状态的传播 )
(3) 波动曲线与振动曲线不同。
波形图：
某时刻 各点振动的位移 y 与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？
6第十三章 机械波二,机械波的几何描述在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。
沿波的传播方向作的有方向的线。
球面波 柱面波波面波线波面波线波面波线波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
x y
z
波面波线波前的形状决定了波的类型平面波
7第十三章 机械波波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。
同一波线上相邻两个相位差为 2? 的质点 之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离三、描述波动的参量单位时间内，波前进距离中完整波的数目。 频率与周期的关系为
1/ T
振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为
Tu
:?波 长 （ ）
:T周 期 （ ）
波长反映了波的空间周期性。
在无能量吸收的介质中，
波幅（波动的幅度）就是振源的振幅波 幅：
波速,u（ ）
频率,?（ ）
8第十三章 机械波波前为平面的简谐波简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。
平面简谐波
§ 13-2 平面简谐波本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、
各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。
说明简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。
9第十三章 机械波一、平面谐波的波动方程（波函数）
1.什么是波动方程?
波动方程 —— 描述介质中各质点的振动 位移 y 是如何随质点的 位置坐标 x 和 时间 t 的变化而变化的。
(,)y f x t?
2.如何建立波动方程?
已知条件,a.介质无耗 b.波以 u向 x方向传播
c.波线上一点 O的振动方程已知为,c o s ( )
oy A t
求：波线上任一点 P的振动方程？
P
xo x
u
解,P点作谐振动 A ω
时间上,P点振动落后于 O点 △ t
相位上,P点振动落后于 O点 △ φ 2tT
10第十三章 机械波
P
xo x
uO的振动,c o s ( )oy A t
P的振动,c o s ( )
Py A t t
c o s [ ( ) ]A t t
xt
u
()oy t t
(,) c o s [ ( ) ]xy f x t A t u—— 波动方程
△ t 是波从 O点传播到 P点所经历的时间，
x > 0,P点落后于 O点
x < 0,P点超前于 O点
2
T
u T
c o s[ 2 ( ) ]txyA T
2k?
c o s [ ]y A t k x
11第十三章 机械波讨论
1,式中各量的物理意义：
A：波幅,（各点振幅＝波源振幅） T：周期,（同振动周期）
λ：波长,u,波速 x,任一质点平衡位置坐标
y,任一质点在任一时刻的振动位移
2,若平面谐波沿 x轴负方向传播，则 P点比 O点超前，
c o s [ ( ) ]Py A t tc o s [ ( ) ]xAt
u
3,若已知 A点振动方程
ALc o s ( )
Ay A t
则波动方程：
c o s [ ( ) ]P xLy A t u
o x
u
c o s[ 2 ( ) ]txyA T
12第十三章 机械波讨论 4,任意两点 x
1,x2振动相差：
21[ ( ) ] [ ( ) ]xxtt
uu
21()xxu
2 x?
5,建立波动方程的方法：
确定传播方向，以及此波引起的 A点的振动方程；
任意点，不一定是波源?建立坐标；
在 x轴上任取一点 P，根据波的传播方向，写出 P点的振动超前或落后 A点的时间△ t；
在 A点振动方程中，加上△ t （超前时）或减去△ t （落后时），即得到此坐标系中的波动方程；
纵波、横波的波动方程形式相同；
2
x
13第十三章 机械波例 有一平面谐波在空间传播，已知波的传播方向，和由此波引起的 A点的振动方程为：
3 c o s ( 4 )2Ayt
求下列各情况下的波动方程。
A
y
xo
u
L
y
xo
u
A
A
y
xo
u
L L
y
xo
u
A
x
xt
u（落后）
3 c o s [ 4 ( ) ]2xyt u
x
xLt
u
（落后）
3 c o s [ 4 ( ) ]2xLyt u
x
xLt
u
3 c o s [ 4 ( ) ]2xLyt u
（超前） x
xLt
u
（超前）
3 c o s [ 4 ( ) ]2xLyt u
14第十三章 机械波二、波动方程的物理意义
1,x固定
(,) c o s [ ( ) ]xy f x t A t u
（ x＝ x0）
0( ) c o s [ ( ) ]xy f t A t
u
02c o s [ xAt
—— 坐标 x0处的质点的振动方程。
2,t固定 （ t＝ t0）
0( ) c o s [ ( ) ]
xy f x A t
u
—— t0时刻的波形曲线，即 t0时刻在波线上各质点离开平衡位置的真实拍照。 3,当 x,t均变化时,y＝ f（ x,t）表示任一时刻在波的传播方向上，任一质点的位移随时间的变化规律。
不同时刻对应着不同的波形曲线。随时间 t变化，
波形也在变化，可观察到波形向前传播。
摄像照像
15第十三章 机械波讨论
1,已知 t1时刻的波形曲线和波的传播方向，求△ t后的波形曲线和 t1时各点的振动方向。 (△ t<T/2)
u
x
u
x
2,已知 λ,T，则下列关系式成立,y
xo
u
1x 2x
两质点在同一时刻相位,φ1,φ2
2
x
同一质点在两时刻相位,φ1,φ2 2
tT
2 T
xt
∴
箭头表明 时刻各质点的振动方向1t
16第十三章 机械波讨论 3,已知 t＝ 0时刻的波形曲线和波的传播方向，如何写波动方程？
y u
xo
取某一点，写出该点振动方程取 o点,A ω φ
0t? 0 0y?
0 0
2
o点振动方程,c o s ( )
2oy A t
波动方程,c o s[ ( ) ]
2
xy A t
u
17第十三章 机械波一平面简谐波沿 x轴正方向传播，已知其波函数为
m )10.050(c o s04.0 xty
)210.0250(π2c o s04.0 xty
m 04.0?A s 04.0502T
m 2010.0 2 m / s 50 0 Tu?
a,比较法 (与标准形式比较）
])(π2c o s [),( 0 xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解
(1) 波的波幅、波长、周期及波速；
(2) 质点振动的最大速度。
求
(1)
18第十三章 机械波
21π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
s 04.012 ttT
12π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
m 2012 xx?
2 2 1 1π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 )t x t x
m / s 500
12
12?
tt
xxu
0,0 4 5 0 π sin π ( 5 0 0,1 0 )y txtv
m / s m a x 28.65004.0v
b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）
m,yA 040m a x振幅波长周期波速
(2)
u?
19第十三章 机械波三,波动微分方程
无色散介质 一维波动方程
22
2 2 2
1yy
x u t
介质中的波速
(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程；
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；
(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1y y y y
x y z u t
说明
振动在空间的传播过程。
波动分类机械波 —— 机械振动在弹性介质中的传播
（声波、绳波、水面波 …… ）
电磁波 —— 交变电磁场在空间的传播几率波 —— 物质波，微观物理中的波动简谐波 —— 简谐振动在弹性介质中的传播
2第十三章 机械波
§ 13-1 机械波的产生和传播
§ 13-2 平面简谐波
§ 13-3 波的能量
§ 13-6 驻波
§ 13-4 惠更斯原理第十三章 机械波
§ 13-7 多普勒效应
§ 13-5 波的干涉
3第十三章 机械波一、机械波的产生
§ 13-1 机械波的产生和传播条件波源,作机械振动的物体｛
机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。
弹性介质,承担传播振动的物质如声带如空气
A
振源 A振动通过弹性力传播开去真空
4第十三章 机械波
x
横波纵波
u横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向 相互 平行 的波；
介质质点的振动方向和波传播方向 相互 垂直 的波；横波：
纵波：
0?t
4Tt?
2Tt?
Tt 43?
Tt?
Tt 45?
横 波
4Tt?
2Tt? Tt
43?Tt?
Tt 45?
Tt 23?
0?t
纵 波
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
5第十三章 机械波振动曲线
t
y
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进；
y
x
波动曲线
(2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；
(波动是振动状态的传播 )
(3) 波动曲线与振动曲线不同。
波形图：
某时刻 各点振动的位移 y 与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？
6第十三章 机械波二,机械波的几何描述在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。
沿波的传播方向作的有方向的线。
球面波 柱面波波面波线波面波线波面波线波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
x y
z
波面波线波前的形状决定了波的类型平面波
7第十三章 机械波波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。
同一波线上相邻两个相位差为 2? 的质点 之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离三、描述波动的参量单位时间内，波前进距离中完整波的数目。 频率与周期的关系为
1/ T
振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为
Tu
:?波 长 （ ）
:T周 期 （ ）
波长反映了波的空间周期性。
在无能量吸收的介质中，
波幅（波动的幅度）就是振源的振幅波 幅：
波速,u（ ）
频率,?（ ）
8第十三章 机械波波前为平面的简谐波简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。
平面简谐波
§ 13-2 平面简谐波本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、
各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。
说明简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。
9第十三章 机械波一、平面谐波的波动方程（波函数）
1.什么是波动方程?
波动方程 —— 描述介质中各质点的振动 位移 y 是如何随质点的 位置坐标 x 和 时间 t 的变化而变化的。
(,)y f x t?
2.如何建立波动方程?
已知条件,a.介质无耗 b.波以 u向 x方向传播
c.波线上一点 O的振动方程已知为,c o s ( )
oy A t
求：波线上任一点 P的振动方程？
P
xo x
u
解,P点作谐振动 A ω
时间上,P点振动落后于 O点 △ t
相位上,P点振动落后于 O点 △ φ 2tT
10第十三章 机械波
P
xo x
uO的振动,c o s ( )oy A t
P的振动,c o s ( )
Py A t t
c o s [ ( ) ]A t t
xt
u
()oy t t
(,) c o s [ ( ) ]xy f x t A t u—— 波动方程
△ t 是波从 O点传播到 P点所经历的时间，
x > 0,P点落后于 O点
x < 0,P点超前于 O点
2
T
u T
c o s[ 2 ( ) ]txyA T
2k?
c o s [ ]y A t k x
11第十三章 机械波讨论
1,式中各量的物理意义：
A：波幅,（各点振幅＝波源振幅） T：周期,（同振动周期）
λ：波长,u,波速 x,任一质点平衡位置坐标
y,任一质点在任一时刻的振动位移
2,若平面谐波沿 x轴负方向传播，则 P点比 O点超前，
c o s [ ( ) ]Py A t tc o s [ ( ) ]xAt
u
3,若已知 A点振动方程
ALc o s ( )
Ay A t
则波动方程：
c o s [ ( ) ]P xLy A t u
o x
u
c o s[ 2 ( ) ]txyA T
12第十三章 机械波讨论 4,任意两点 x
1,x2振动相差：
21[ ( ) ] [ ( ) ]xxtt
uu
21()xxu
2 x?
5,建立波动方程的方法：
确定传播方向，以及此波引起的 A点的振动方程；
任意点，不一定是波源?建立坐标；
在 x轴上任取一点 P，根据波的传播方向，写出 P点的振动超前或落后 A点的时间△ t；
在 A点振动方程中，加上△ t （超前时）或减去△ t （落后时），即得到此坐标系中的波动方程；
纵波、横波的波动方程形式相同；
2
x
13第十三章 机械波例 有一平面谐波在空间传播，已知波的传播方向，和由此波引起的 A点的振动方程为：
3 c o s ( 4 )2Ayt
求下列各情况下的波动方程。
A
y
xo
u
L
y
xo
u
A
A
y
xo
u
L L
y
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u
A
x
xt
u（落后）
3 c o s [ 4 ( ) ]2xyt u
x
xLt
u
（落后）
3 c o s [ 4 ( ) ]2xLyt u
x
xLt
u
3 c o s [ 4 ( ) ]2xLyt u
（超前） x
xLt
u
（超前）
3 c o s [ 4 ( ) ]2xLyt u
14第十三章 机械波二、波动方程的物理意义
1,x固定
(,) c o s [ ( ) ]xy f x t A t u
（ x＝ x0）
0( ) c o s [ ( ) ]xy f t A t
u
02c o s [ xAt
—— 坐标 x0处的质点的振动方程。
2,t固定 （ t＝ t0）
0( ) c o s [ ( ) ]
xy f x A t
u
—— t0时刻的波形曲线，即 t0时刻在波线上各质点离开平衡位置的真实拍照。 3,当 x,t均变化时,y＝ f（ x,t）表示任一时刻在波的传播方向上，任一质点的位移随时间的变化规律。
不同时刻对应着不同的波形曲线。随时间 t变化，
波形也在变化，可观察到波形向前传播。
摄像照像
15第十三章 机械波讨论
1,已知 t1时刻的波形曲线和波的传播方向，求△ t后的波形曲线和 t1时各点的振动方向。 (△ t<T/2)
u
x
u
x
2,已知 λ,T，则下列关系式成立,y
xo
u
1x 2x
两质点在同一时刻相位,φ1,φ2
2
x
同一质点在两时刻相位,φ1,φ2 2
tT
2 T
xt
∴
箭头表明 时刻各质点的振动方向1t
16第十三章 机械波讨论 3,已知 t＝ 0时刻的波形曲线和波的传播方向，如何写波动方程？
y u
xo
取某一点，写出该点振动方程取 o点,A ω φ
0t? 0 0y?
0 0
2
o点振动方程,c o s ( )
2oy A t
波动方程,c o s[ ( ) ]
2
xy A t
u
17第十三章 机械波一平面简谐波沿 x轴正方向传播，已知其波函数为
m )10.050(c o s04.0 xty
)210.0250(π2c o s04.0 xty
m 04.0?A s 04.0502T
m 2010.0 2 m / s 50 0 Tu?
a,比较法 (与标准形式比较）
])(π2c o s [),( 0 xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解
(1) 波的波幅、波长、周期及波速；
(2) 质点振动的最大速度。
求
(1)
18第十三章 机械波
21π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
s 04.012 ttT
12π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 ) 2 πt x t x
m 2012 xx?
2 2 1 1π ( 5 0 0,1 0 ) π ( 5 0 0,1 0 )t x t x
m / s 500
12
12?
tt
xxu
0,0 4 5 0 π sin π ( 5 0 0,1 0 )y txtv
m / s m a x 28.65004.0v
b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）
m,yA 040m a x振幅波长周期波速
(2)
u?
19第十三章 机械波三,波动微分方程
无色散介质 一维波动方程
22
2 2 2
1yy
x u t
介质中的波速
(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程；
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；
(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1y y y y
x y z u t
说明
