?
场强计算与高斯定理习题课例：
r
E
02
解：
Ed?
E?
Ed
Odlld dl
S SdES dSE?c o s?侧 dSE?c o s?左 dSE?c o s
右 dSE?c o s?侧 dSE rlE?2?
0?
l
r
E
02
=
+
+=
== =
n?
E?
n?
n?
E?
E? l
r
r
P
问题 1、高斯面只包围了部分电荷，
部分电荷的场强还是整根均匀带电直线的场强？
求其场强？
l
S SdE
0?
l=
1 1
轴对称电场求出的场强是这一问题 2、对于一段有限长均匀带电直线段,能否用该方法
O
P
例：
解：
S SdES dSE?c o s?侧 dSE?c o s
左 dSE?c o s?右 dSE?c o s
= =
+ +
= 0 + ES + ES ES2= =
0?
S
02?
E
02?
02?
E
O x
B
A C
B?
A?
C?
Ed?
Ed
E?
n?
n? n?
S S
h h
S
E?
E?E?
例,如右图 求,E? 0
E
EE?
E
E
E
I II III
解：
EEE
I,0?E?
II、
000 22?
EEE
III,0?E?
0 0
x
E
O
关于高斯定理：
1、
内
iS qSdE
0
1
仅与?
内
iq
有关,E? 与所有电荷及其分布有关
2、如果? 已知,
00 Si SdEq
内但仅由
和高斯定理不能完全确定高斯面内电荷分布如? = 0，
0
内
iq
判断下面几种说法的正确性：
（ 1）如果高斯面上 E?
为零，则高斯面内必无电荷处处为
0S SdE,0
内
iq
Q
Q? S
（ 2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E? 处处为零
0
内
iq
，
内
iS qSdE
0
1
= 0,? 0?E?
（ 3）如果高斯面上 E? 处处不为零，
则高斯面内必有电荷
（ 4）如果高斯面内有电荷，
则高斯面上 E? 处处不为零由高斯定理求电场强度的思路：
电荷分布的对称性 电场分布的对称性?
适当的选取高斯面 nE nE //（ ），?
将 E 从积分号内提出，化积分方程为代数方
E程求
q
S
补偿法求电场强度例：求圆孔轴线上的 E?
P
R
O x
PO x
R
O
解：
)1(22
22
00 Rx
xE
22
02 Rx
x
=
= + Px
例：求轴线上的 E?
Px
2R
Px
1R
Px
+=
解：
)1(
2
)1(
2 2
1
2
0
2
2
2
0 Rx
x
Rx
xE
)(
2 2
2
22
1
2
0 Rx
x
Rx
x
=
1R
2R
O
x
例：求小球腔中的电场
P
O
P
O
O?
P
O?
POOPE P
00 33?
)(
3 0 POOP
OO?
03?
= =
小球腔内是均匀电场
OOE
03?
方向
OO?
O
O?
E?
= +
例：求通过圆锥侧面的电通量解：
侧侧 SdE
S SdE
底侧 SdESdE
底侧
0?
q
底底底 dSESdE?c o s rd rdS?2?
])2/([4 220 hr
qE
22 )2/(
2/c o s
hr
h
R
r d r
hr
h
hr
q
0 2222
0
2
)2/(
2/
])2/([4
底
h q
R O
n? E
r
dr
，
，
0?
q?
R hr r d rqh 0 2/322
0 ])2/([4? 0
)
)2/(
1(
4 220
R
hr
qh
= =
22
00 )2/(42 hR
hqq
=
底侧
0?
q
22
00 )2/(42 hR
hqq
=
例：无限长均匀带电半圆柱面沿轴向单位长度带电?
E?求：轴线上
P
Ed?
dl
1解：
R?
R
dE
02
，
dlRdl
R
dl
R
dl
RR
dE 2
0
2
0 22
1
c o sdEdE xs indEdE y
c o sdEdEE xx
c o s2
0 202
RdR
0
0
s in
2 02
R
s indEdEE yy
，
=
=
s in2
0 202
RdR
RR 0202 0c o s2
j
R
jEiEE yx
0
2
=
R
P
dl
Ed?
1
xdE
ydE
y
d
=?Rd
x
=
dl
P
Ed?
例：图为一球对称电荷分布的静电场的 rE ~ 曲线请指出它是下面哪一种带电体产生的？
（ 1）半径为 R 的均匀带电球面
（ 2）半径为 R 的均匀带电球体
（ 3）半径为 R,电荷体密度 Ar （ A 为常数）
的非均匀带电球体
（ 4）半径为 R,电荷体密度
r
A （ A 为常数）
的非均匀带电球体
2
1
r
E
rR
解,（ 1） Rr?,0?E,（ 2） Rr?,
rE
03?
24 rESdE
S
（ 3）
rdrdV 24?
rdrrAdVdq 24
rdrAdqq r 0 34?
4Ar?=
4
0
2 14 ArrE?
2
04
rAE
（ Rr? ）
r?
rd?
S
r
O
R
内
iq
0
1
内
iS qrESdE
0
2 14
rdrdV 24?
rdrArdr
r
AdVdq
44
2
（ 4）
rdrAdqq r 0 4?22 Ar?=
2
0
2 214 ArrE?
02?
AE? （常数）（ Rr? ）
场强计算与高斯定理习题课例：
r
E
02
解：
Ed?
E?
Ed
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S SdES dSE?c o s?侧 dSE?c o s?左 dSE?c o s
右 dSE?c o s?侧 dSE rlE?2?
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02
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+
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== =
n?
E?
n?
n?
E?
E? l
r
r
P
问题 1、高斯面只包围了部分电荷，
部分电荷的场强还是整根均匀带电直线的场强？
求其场强？
l
S SdE
0?
l=
1 1
轴对称电场求出的场强是这一问题 2、对于一段有限长均匀带电直线段,能否用该方法
O
P
例：
解：
S SdES dSE?c o s?侧 dSE?c o s
左 dSE?c o s?右 dSE?c o s
= =
+ +
= 0 + ES + ES ES2= =
0?
S
02?
E
02?
02?
E
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A?
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Ed
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E?
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例,如右图 求,E? 0
E
EE?
E
E
E
I II III
解：
EEE
I,0?E?
II、
000 22?
EEE
III,0?E?
0 0
x
E
O
关于高斯定理：
1、
内
iS qSdE
0
1
仅与?
内
iq
有关,E? 与所有电荷及其分布有关
2、如果? 已知,
00 Si SdEq
内但仅由
和高斯定理不能完全确定高斯面内电荷分布如? = 0，
0
内
iq
判断下面几种说法的正确性：
（ 1）如果高斯面上 E?
为零，则高斯面内必无电荷处处为
0S SdE,0
内
iq
Q
Q? S
（ 2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E? 处处为零
0
内
iq
，
内
iS qSdE
0
1
= 0,? 0?E?
（ 3）如果高斯面上 E? 处处不为零，
则高斯面内必有电荷
（ 4）如果高斯面内有电荷，
则高斯面上 E? 处处不为零由高斯定理求电场强度的思路：
电荷分布的对称性 电场分布的对称性?
适当的选取高斯面 nE nE //（ ），?
将 E 从积分号内提出，化积分方程为代数方
E程求
q
S
补偿法求电场强度例：求圆孔轴线上的 E?
P
R
O x
PO x
R
O
解：
)1(22
22
00 Rx
xE
22
02 Rx
x
=
= + Px
例：求轴线上的 E?
Px
2R
Px
1R
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解：
)1(
2
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=
1R
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O
x
例：求小球腔中的电场
P
O
P
O
O?
P
O?
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00 33?
)(
3 0 POOP
OO?
03?
= =
小球腔内是均匀电场
OOE
03?
方向
OO?
O
O?
E?
= +
例：求通过圆锥侧面的电通量解：
侧侧 SdE
S SdE
底侧 SdESdE
底侧
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q
底底底 dSESdE?c o s rd rdS?2?
])2/([4 220 hr
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底侧
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22
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例：无限长均匀带电半圆柱面沿轴向单位长度带电?
E?求：轴线上
P
Ed?
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1解：
R?
R
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02
，
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R
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R
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RR
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0 202
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j
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Ed?
1
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x
=
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P
Ed?
例：图为一球对称电荷分布的静电场的 rE ~ 曲线请指出它是下面哪一种带电体产生的？
（ 1）半径为 R 的均匀带电球面
（ 2）半径为 R 的均匀带电球体
（ 3）半径为 R,电荷体密度 Ar （ A 为常数）
的非均匀带电球体
（ 4）半径为 R,电荷体密度
r
A （ A 为常数）
的非均匀带电球体
2
1
r
E
rR
解,（ 1） Rr?,0?E,（ 2） Rr?,
rE
03?
24 rESdE
S
（ 3）
rdrdV 24?
rdrrAdVdq 24
rdrAdqq r 0 34?
4Ar?=
4
0
2 14 ArrE?
2
04
rAE
（ Rr? ）
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S
r
O
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1
内
iS qrESdE
0
2 14
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r
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44
2
（ 4）
rdrAdqq r 0 4?22 Ar?=
2
0
2 214 ArrE?
02?
AE? （常数）（ Rr? ）
