1稳恒磁场
§ 9.4 安培环路定理内容回顾：
0L E d l
0?L B d l
静电场,
稳恒磁场,
静电场是保守场是否保守场?
例,无限长载流直导线的磁场 I
L
B
0L B d l (不恒为零 )
0B dl
若取闭合磁力线为积分回路 L,则对回路中任一线元：
2稳恒磁场
1,在垂直导线的平面内任取一闭合回路 L，包围电流；
I
B考虑一无限长载流直导线磁场,02 IB r
c o sB d l B d l
L B dl
（设 L方向与 I成右手螺旋关系）
dl：
0
2
I rd
r
Brd
L,2 o
L
I rd
r
oI
rrd?
I
r
一、安培环路定理的证明
B
dl
L
3稳恒磁场
2,在垂直平面内的任一回路 L，不包围电流；
I
L
1dl
I 1B?
2B?
2dl
0
1
12
IB
r
1r
2r
L
0
2
22
IB
r
1 1 2 2ddB l B l
对一对线元来说
1 1 1 2 2 2d c o s d c o sB l B l
00
12
12
dd22IIrrrr 0?
d?
环路不包围电流，则磁场环流为零
1?
2?
4稳恒磁场
3,在垂直平面内的任一回路 L，包围多个电流；
kII ~1
nk II ~1?
—— 在环路 L 中
—— 在环路 L 外
L
1I
2I
iI
1kI?
nI
kI
P
dL Bl
由叠加原理，
diL Bl
0
1
0
k
i
iI?
0
1
内
k
i
i
I
环路上各点的磁场为所有电流的贡献设 为第 i 根导线电流单独存在时产生的磁场。
iB
diL Bl
可得磁场环流：
且当 I与 L构成右手螺旋关系时取正，否则取负。
5稳恒磁场二、安培环路定理的内容在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任何闭合环路 L的线积分，等于 μ0乘以 穿过 L的所有电流强度代数和。
内o iL
i
B d l I
B —— 回路上的总磁感应强度
—— 在场中任取的一闭合线L
dl —— L绕行方向上的任一线元
内ii I —— 回路 L所包围的电流的代数和
0? —— 真空中的磁导率数学表达式：
720 4 1 0 NA
I
l
电流为正
6稳恒磁场若回路包围电流 I，则该电流必须穿过以 L为边界的所有曲面。
2,关于 及 的环流：B B
补充说明：
1,关于 L,安培环路定理适用于任何形状的闭合回路。
而 仅与 L所包围的电流有关。d
L Bl
L
I
3L
1L
2L
1I 2I
3,关于 I：
无限电流 闭合电流（与回路互相套合）
定理中的 是指所有电流共同产生的总场。B
7稳恒磁场例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。
解 系统具有轴对称性，圆周上各点的 B 相同
PId'dI
dB d'B
时过圆柱面外 P 点做一圆周rR?
cos dL Bl= dLBl rB 2
I0 0
2
IB
r
co s dL Bl dLBl rB 2
rR? 时在圆柱面内做一圆周
0? 0B?
R
I
r
P
L
三、安培环路定理的应用
dL Bl
dL Bl
8稳恒磁场例 求无限大平面电流的磁场解 系统具有面对称性
I
P ab
c d
dd da b b cBll BlB
dcba lBlB dd2Bab?
0 ab j
0
2
jB
ddc d d aB l B l
设平面内单位宽度的电流为 j
2Bab?dBl
（均匀场）
9稳恒磁场
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
2,选取合适的闭合积分路径；
3.选好积分回路的取向，确定回路内电流的正负；
4.由安培环路定理求出 B。
总结：
思考：
J?
10稳恒磁场
§ 9.5 磁场对电流的作用安培公式,d F Id l B
B?
lId?
Fd?
一、磁场对载流导线的作用根据力的叠加原理,
LLF d F I d l B
1.电流元在磁场中的受力例,B?
a
b
c 由 dF＝ IdlB sinθ可得：
dFb < dFc < dFa
2,载流导线在磁场中受力
L —— 积分路径,指沿载流导线积分 。
外磁场，不包括引入场中电流的场
11稳恒磁场例 如图所示，试求导线所受的安培力。
B
L
解,任取一电流元 Idl
Idl
受安培力 s ind F Id l B BIdl?
dF
整个导线所受安培力,F d F B Id l
I
BIL? （向上）
例 求半圆形导线所受的安培力。
I
B?
x
y
O
解,在 φ 处取一电流元 Idl Idl
d?
受安培力 s ind F Id l B BIdl?
dF
c o sxd F B Id l s inyd F B Id l
0xF?由对称性 s inyF d F B I d l 2BIR?
直径所受安培力,2F B IL B IR （方向沿 y轴）
I
12稳恒磁场例：
B
a
b
证明任意形状的载流导线 在均匀磁场中所受安培力等于载流直线 所受的安培力。
ab
ab
证明：
LF Id l B
()LI d l B I ab B
F I a b B
abF?
结论 1,起点、终点相同的平面曲线电流和直线电流，只要处于均匀磁场中，
它们所受安培力相同。
结论 2,任一闭合载流平面线圈在均匀磁场中所受安培力矢量和为零。
B
13稳恒磁场例 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动趋势解
1I
a
b
a
2I
1
2
3
4
xo
121 bBIf? a
IbI
2 102
323 bBIf? a
IbI
4 102
（向左）
（向右）
2
22 d sin 2
a
xaf I lB
xIxIaa d2 22 10 2ln2 210 II?
24 ff?
整个线圈所受的合力：
F f f13
线圈向左做平动31 ff
1
3
2
4
（向上）
（向下）
14稳恒磁场例 求非均匀磁场中载流导线所受安培力。
1I
d
a
b
L
2I
xo?
解,在 x处取电流元
2I dl
所受安培力 01
2 2
IdF I dl
x
dF
整个载流导线所受安培力：
01
2 2LL
IF d F I d l
x
c o sd l d x
0 1 2
2 c o sL
II dxF
x
0 1 2 c o sln
2 c o s
II dL
d
§ 9.4 安培环路定理内容回顾：
0L E d l
0?L B d l
静电场,
稳恒磁场,
静电场是保守场是否保守场?
例,无限长载流直导线的磁场 I
L
B
0L B d l (不恒为零 )
0B dl
若取闭合磁力线为积分回路 L,则对回路中任一线元：
2稳恒磁场
1,在垂直导线的平面内任取一闭合回路 L，包围电流；
I
B考虑一无限长载流直导线磁场,02 IB r
c o sB d l B d l
L B dl
（设 L方向与 I成右手螺旋关系）
dl：
0
2
I rd
r
Brd
L,2 o
L
I rd
r
oI
rrd?
I
r
一、安培环路定理的证明
B
dl
L
3稳恒磁场
2,在垂直平面内的任一回路 L，不包围电流；
I
L
1dl
I 1B?
2B?
2dl
0
1
12
IB
r
1r
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L
0
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1 1 2 2ddB l B l
对一对线元来说
1 1 1 2 2 2d c o s d c o sB l B l
00
12
12
dd22IIrrrr 0?
d?
环路不包围电流，则磁场环流为零
1?
2?
4稳恒磁场
3,在垂直平面内的任一回路 L，包围多个电流；
kII ~1
nk II ~1?
—— 在环路 L 中
—— 在环路 L 外
L
1I
2I
iI
1kI?
nI
kI
P
dL Bl
由叠加原理，
diL Bl
0
1
0
k
i
iI?
0
1
内
k
i
i
I
环路上各点的磁场为所有电流的贡献设 为第 i 根导线电流单独存在时产生的磁场。
iB
diL Bl
可得磁场环流：
且当 I与 L构成右手螺旋关系时取正，否则取负。
5稳恒磁场二、安培环路定理的内容在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任何闭合环路 L的线积分，等于 μ0乘以 穿过 L的所有电流强度代数和。
内o iL
i
B d l I
B —— 回路上的总磁感应强度
—— 在场中任取的一闭合线L
dl —— L绕行方向上的任一线元
内ii I —— 回路 L所包围的电流的代数和
0? —— 真空中的磁导率数学表达式：
720 4 1 0 NA
I
l
电流为正
6稳恒磁场若回路包围电流 I，则该电流必须穿过以 L为边界的所有曲面。
2,关于 及 的环流：B B
补充说明：
1,关于 L,安培环路定理适用于任何形状的闭合回路。
而 仅与 L所包围的电流有关。d
L Bl
L
I
3L
1L
2L
1I 2I
3,关于 I：
无限电流 闭合电流（与回路互相套合）
定理中的 是指所有电流共同产生的总场。B
7稳恒磁场例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。
解 系统具有轴对称性，圆周上各点的 B 相同
PId'dI
dB d'B
时过圆柱面外 P 点做一圆周rR?
cos dL Bl= dLBl rB 2
I0 0
2
IB
r
co s dL Bl dLBl rB 2
rR? 时在圆柱面内做一圆周
0? 0B?
R
I
r
P
L
三、安培环路定理的应用
dL Bl
dL Bl
8稳恒磁场例 求无限大平面电流的磁场解 系统具有面对称性
I
P ab
c d
dd da b b cBll BlB
dcba lBlB dd2Bab?
0 ab j
0
2
jB
ddc d d aB l B l
设平面内单位宽度的电流为 j
2Bab?dBl
（均匀场）
9稳恒磁场
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
2,选取合适的闭合积分路径；
3.选好积分回路的取向，确定回路内电流的正负；
4.由安培环路定理求出 B。
总结：
思考：
J?
10稳恒磁场
§ 9.5 磁场对电流的作用安培公式,d F Id l B
B?
lId?
Fd?
一、磁场对载流导线的作用根据力的叠加原理,
LLF d F I d l B
1.电流元在磁场中的受力例,B?
a
b
c 由 dF＝ IdlB sinθ可得：
dFb < dFc < dFa
2,载流导线在磁场中受力
L —— 积分路径,指沿载流导线积分 。
外磁场，不包括引入场中电流的场
11稳恒磁场例 如图所示，试求导线所受的安培力。
B
L
解,任取一电流元 Idl
Idl
受安培力 s ind F Id l B BIdl?
dF
整个导线所受安培力,F d F B Id l
I
BIL? （向上）
例 求半圆形导线所受的安培力。
I
B?
x
y
O
解,在 φ 处取一电流元 Idl Idl
d?
受安培力 s ind F Id l B BIdl?
dF
c o sxd F B Id l s inyd F B Id l
0xF?由对称性 s inyF d F B I d l 2BIR?
直径所受安培力,2F B IL B IR （方向沿 y轴）
I
12稳恒磁场例：
B
a
b
证明任意形状的载流导线 在均匀磁场中所受安培力等于载流直线 所受的安培力。
ab
ab
证明：
LF Id l B
()LI d l B I ab B
F I a b B
abF?
结论 1,起点、终点相同的平面曲线电流和直线电流，只要处于均匀磁场中，
它们所受安培力相同。
结论 2,任一闭合载流平面线圈在均匀磁场中所受安培力矢量和为零。
B
13稳恒磁场例 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动趋势解
1I
a
b
a
2I
1
2
3
4
xo
121 bBIf? a
IbI
2 102
323 bBIf? a
IbI
4 102
（向左）
（向右）
2
22 d sin 2
a
xaf I lB
xIxIaa d2 22 10 2ln2 210 II?
24 ff?
整个线圈所受的合力：
F f f13
线圈向左做平动31 ff
1
3
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（向上）
（向下）
14稳恒磁场例 求非均匀磁场中载流导线所受安培力。
1I
d
a
b
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解,在 x处取电流元
2I dl
所受安培力 01
2 2
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整个载流导线所受安培力：
01
2 2LL
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x
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x
0 1 2 c o sln
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