1静电场静电场 习题课一计算电场强度的方法
一般方法,点电荷电场＋电场的叠加原理
对称场,高斯定理
0
2
04 π
dqd E r
r
0
2
04 πV
dVE d E r
r
注意
1、矢量积分,
2、积分变量,xO
P
x'x
'dx
E dE
2
0
'
4 ( ')
dx
xx
表示源电荷空间位置的变量表示场中某点空间位置的变量
e
10
1d n
i
iS
Φ E S q?
内
0
1
V dV
2静电场
3、利用数学工具，结合物理模型，准确写出计算公式点电荷，线电荷，面电荷是物理中抽象出来的模型。
点、线、面是几何概念，线是点的集合，面是线（点）的集合
0
2
04 π
dxd E r
r
2) 带电面（ ） 是带电线（ ）的集合
O xx dx
dl
d q d l d x dq
dxdl
dq dx
1) 带电线（ ）是点电荷（ dq）的集合?
002 π 2 π
dxdE
rr
Pr
3静电场
d q d x S dq dx
S
dq ds
dl
4) 带电体（ ）是带电线（ ）的集合
d q d l d S
ds,带电线的截面积
3) 带电体（ ）是带电面（ ）的集合
0022
dxdE
S?
dx
ds
dl
4静电场
o
o
例：带电园盘、带电圆锥面，圆柱面、半球面都可以看成是园环的集合，因每个带电园环的具体形状不同，相应的不同。看下面几例：
dq
drr
2d q r d r
2d q r d r
（ 1）带电园盘 R、
带电园环的电量,
（ 2）带电圆锥面，侧线长 L、底半径 R、面密度?
R
L
x
O
2d q r d x
2d q r d l
带电园环的电量：
2d q R d xx
O
（ 3）带电圆柱面 R,H,?
x? dx
带电园环的电量：
dx
x
dl
l r
5静电场例 均匀 带电半圆弧,半径 R，电荷线密度 λ，
xO
y
解,在 θ 处取一小段圆弧 dl,张角 dθ
dl
θ
dq dl Rd
求 圆心 O点电场强度。
2
04
dqdE R c o sxd E d E
s inyd E d E
若为半圆盘，电荷面密度 σ
在 θ 处取一小扇形,张角 dθ
在 r处取一小面积,径向宽度 dr，可视为点电荷
d q d S r d d r
2
04
Rd
R
dE
rdr
d?
6静电场例 无限长均匀带电柱面，电荷线密度为?
—— 整个圆柱面单位长度带电量
dl
2 R
—— 单位长度、单位弧长宽度带电量
2 dlR
—— 单位长度,dl宽度带电量'
7静电场例：半径为 R的无限长半圆柱面，沿轴线方向单位长度的电量为,求轴线上任一点的电场强度。
o?
' R d d
R
'
2
0022
d E dRR
把圆柱面划分为无数条无限长带电直线线密度 ＝？'?
c os
sin
x
y
dE dE
dE dE
220
00
sin sin2yE E d E dRR
2
0
EjR
0xE?由对称性可知：
xO
y
dl
θ
dE
dl
d?
8静电场
1,对称性分析；
2,根据对称性选择合适的高斯面；
3.求出通过高斯面的通量 Φ e，计算高斯面包围的电荷电量的代数和。
4,应用高斯定理求解,
（球对称、柱对称、面对称）
高斯面必须是闭合曲面
高斯面必须通过所求的点
高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算归纳高斯定理解题方法
9静电场例：一无限长带电圆柱体,利用高斯定理求处任一点 P的电场强度 。
cr rR?
P
e
S
E d S h r
解,此带电体电荷分布不均匀但电荷分布具有对称性 (轴对称 )
如图：取圆柱面为高斯面
2E rh
0
q
内
2 r ' ' 'q d r h c r内
2
02 ' '
rh c r d r 32
3 chr
2
03
crE
2 0
03?
crEr
','r dr
10静电场求：圆心 O处的电场强度
xo
y
练习：一均匀带电线弯成半径为 R的半园，带电如图所示。
已知电荷线密度的大小为 。
R
利用高斯定理求空间电场强度分布。
练习,半径为 R的非均匀带电球体，电荷分布具有对称性Ar A
r
11静电场求：圆心 O处的电场强度
xo
y
解,带电半园是无数点电荷 dq的集合
02
EiR
xxE E d E
2
04
d E R dR
dq在 O点处的场强：
0yE?
由对称性可知：
22
200
0
2 c o s 2 c o s4
Rd E dR
02 R
练习：一均匀带电线弯成半径为 R的半园，带电如图所示。
已知电荷线密度的大小为 。
d?
dq
dE
12静电场利用高斯定理求空间电场强度分布。
分析电场对称性解
2
0
4
S
qE d S E r
22
004 4 2' ' ' ''
RR Aq r d r A r d r A R
r
0
2
04
qErr
r’
dr’
r
2
0
4 '
S
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22
004 4 2' ' ' ' ''
rr Aq r d r A r d r A r
r
0
02?
AEr
R
:rR?
:rR?
练习,半径为 R的非均匀带电球体，电荷分布具有对称性Ar A
r
13静电场已知两杆电荷线密度为?，长度为 L，相距 L
解 q?d
x?x
xq dd
xq dd?
qd
2
0 )(4
ddd
xx
xxF
LL L xx xxF 32 0 2
0
2
)(4
dd
例两带电直杆间的电场力求
3
4ln
4 0
2
L 3L2L xO
14静电场
O x
杆对圆环的作用力
q
L解 xλq dd?
2 2 3 / 2
0
1
4 ( )x
qxE
Rx
d d dxxF E q E λ x
2 2 3 20
0
d
4 ( )
L q λ xxF
Rx?
qd
xE
R
例 已知圆环带电量为 q，杆的线密度为?，长为 L
求
22
0
11()
4
q λ
R RL
圆环在 dq 处产生的电场
一般方法,点电荷电场＋电场的叠加原理
对称场,高斯定理
0
2
04 π
dqd E r
r
0
2
04 πV
dVE d E r
r
注意
1、矢量积分,
2、积分变量,xO
P
x'x
'dx
E dE
2
0
'
4 ( ')
dx
xx
表示源电荷空间位置的变量表示场中某点空间位置的变量
e
10
1d n
i
iS
Φ E S q?
内
0
1
V dV
2静电场
3、利用数学工具，结合物理模型，准确写出计算公式点电荷，线电荷，面电荷是物理中抽象出来的模型。
点、线、面是几何概念，线是点的集合，面是线（点）的集合
0
2
04 π
dxd E r
r
2) 带电面（ ） 是带电线（ ）的集合
O xx dx
dl
d q d l d x dq
dxdl
dq dx
1) 带电线（ ）是点电荷（ dq）的集合?
002 π 2 π
dxdE
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Pr
3静电场
d q d x S dq dx
S
dq ds
dl
4) 带电体（ ）是带电线（ ）的集合
d q d l d S
ds,带电线的截面积
3) 带电体（ ）是带电面（ ）的集合
0022
dxdE
S?
dx
ds
dl
4静电场
o
o
例：带电园盘、带电圆锥面，圆柱面、半球面都可以看成是园环的集合，因每个带电园环的具体形状不同，相应的不同。看下面几例：
dq
drr
2d q r d r
2d q r d r
（ 1）带电园盘 R、
带电园环的电量,
（ 2）带电圆锥面，侧线长 L、底半径 R、面密度?
R
L
x
O
2d q r d x
2d q r d l
带电园环的电量：
2d q R d xx
O
（ 3）带电圆柱面 R,H,?
x? dx
带电园环的电量：
dx
x
dl
l r
5静电场例 均匀 带电半圆弧,半径 R，电荷线密度 λ，
xO
y
解,在 θ 处取一小段圆弧 dl,张角 dθ
dl
θ
dq dl Rd
求 圆心 O点电场强度。
2
04
dqdE R c o sxd E d E
s inyd E d E
若为半圆盘，电荷面密度 σ
在 θ 处取一小扇形,张角 dθ
在 r处取一小面积,径向宽度 dr，可视为点电荷
d q d S r d d r
2
04
Rd
R
dE
rdr
d?
6静电场例 无限长均匀带电柱面，电荷线密度为?
—— 整个圆柱面单位长度带电量
dl
2 R
—— 单位长度、单位弧长宽度带电量
2 dlR
—— 单位长度,dl宽度带电量'
7静电场例：半径为 R的无限长半圆柱面，沿轴线方向单位长度的电量为,求轴线上任一点的电场强度。
o?
' R d d
R
'
2
0022
d E dRR
把圆柱面划分为无数条无限长带电直线线密度 ＝？'?
c os
sin
x
y
dE dE
dE dE
220
00
sin sin2yE E d E dRR
2
0
EjR
0xE?由对称性可知：
xO
y
dl
θ
dE
dl
d?
8静电场
1,对称性分析；
2,根据对称性选择合适的高斯面；
3.求出通过高斯面的通量 Φ e，计算高斯面包围的电荷电量的代数和。
4,应用高斯定理求解,
（球对称、柱对称、面对称）
高斯面必须是闭合曲面
高斯面必须通过所求的点
高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算归纳高斯定理解题方法
9静电场例：一无限长带电圆柱体,利用高斯定理求处任一点 P的电场强度 。
cr rR?
P
e
S
E d S h r
解,此带电体电荷分布不均匀但电荷分布具有对称性 (轴对称 )
如图：取圆柱面为高斯面
2E rh
0
q
内
2 r ' ' 'q d r h c r内
2
02 ' '
rh c r d r 32
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2
03
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2 0
03?
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10静电场求：圆心 O处的电场强度
xo
y
练习：一均匀带电线弯成半径为 R的半园，带电如图所示。
已知电荷线密度的大小为 。
R
利用高斯定理求空间电场强度分布。
练习,半径为 R的非均匀带电球体，电荷分布具有对称性Ar A
r
11静电场求：圆心 O处的电场强度
xo
y
解,带电半园是无数点电荷 dq的集合
02
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xxE E d E
2
04
d E R dR
dq在 O点处的场强：
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由对称性可知：
22
200
0
2 c o s 2 c o s4
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02 R
练习：一均匀带电线弯成半径为 R的半园，带电如图所示。
已知电荷线密度的大小为 。
d?
dq
dE
12静电场利用高斯定理求空间电场强度分布。
分析电场对称性解
2
0
4
S
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22
004 4 2' ' ' ''
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练习,半径为 R的非均匀带电球体，电荷分布具有对称性Ar A
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13静电场已知两杆电荷线密度为?，长度为 L，相距 L
解 q?d
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2
0 )(4
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LL L xx xxF 32 0 2
0
2
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例两带电直杆间的电场力求
3
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2
L 3L2L xO
14静电场
O x
杆对圆环的作用力
q
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2 2 3 / 2
0
1
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2 2 3 20
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例 已知圆环带电量为 q，杆的线密度为?，长为 L
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圆环在 dq 处产生的电场
