1第 8章 静电场
( ),( )E r u rq例：带电球面 中心有一点电荷 。求,RQ
rR
rR


0
1 2
0
0
2 2
0
4
4
q
Er
r
Qq
Er
r


rR
rR
rR



QO
q R
1
00
2
0
3
0
44
4
4
qQ
u
rR
qQ
u
r
qQ
u
R




2第 8章 静电场半径为 R,带电量为 q 的均匀带电球体解 由高斯定理：
求 带电球体的电势分布例
+
+
+ + +
+ R
r PRr? 3
0
1 4 R
qrE

Rr? 2
0
2 4 r
qE

对球外一点 P
对球内一点 P1
rEu p d
1
内 RRr rErE dd 21 )3(8 223
0
rRq
rEu p d2外?
r r
rq
2
04
d
r
q
04
P1
3第 8章 静电场例 无限长均匀带电直线
0r
ru E d r
u
r
r0
0
> 0
r0?
0
02
λEr
ε r
0 0ru?
选
0
0
02
r
r
r d r
r

0
02
r
r
dr
r

0
0
ln
2
r
r

4第 8章 静电场一、等势面
+
§ 8.6 等势面 电场强度和电势的关系
（描绘电势的空间分布）
（点电荷） （无限大平面） （电偶极子）
1,等势面 —— 在电场中电势相等的点所连成的曲面。
规定：相邻等势面之间电势差相等。
+
5第 8章 静电场
2,等势面的性质等势面?E?
(1) 沿等势面移动电荷 q0，静电力做功为零。
0 d
b
ab aA q E l 0 d
b
aq E l
0 ()abq u u 0?
(2) 等势面与电力线互相垂直。
(3) 规定相邻两等势面的电势差相等。
等势面密集 —— 电场较强；
等势面稀疏 —— 电场较弱；
(4) 电场强度的方向总是指向电势降低的方向。
6第 8章 静电场二,电势与电场强度的微分关系
u
u+du
取两个相邻的等势面，等势面法线方向为
nqEd?
lqElEqA dc o sdd
uquuuqA d)]d([d
d
d
uE
n
unElE dddc o s
E
n?d
n
把点电荷从 P移到 Q，电场力作功为：
n?,设 E? 的方向与
n? 相同，
Q
l?d
'P
P
7第 8章 静电场
unElθE dddc o s另一种理解
ulE l dd d
dl
uE
l
nl dd? dd
dd
uu
ln?
电势沿等势面法线方向的变化率最大电场强度在 l 方向的投影 等于电势沿该方向 变化率的负值任意一场点 P处电场强度的大小等于 沿过该点等势面法线方向上电势的变化率,负号表示电场强度的方向指向电势降低的方向。
0d
d
uEn
n

8第 8章 静电场在直角坐标系中，
x
uE
x

y
uE
y

z
uE
z

某点的电场强度等于该点 电势梯度的负值,这就是电势与电场强度的微分关系。
)g r a d ()( ukzujyuixuE
分别将 x,y,z轴作为 l 的方向，
—— 电场强度沿 x方向的投影等于电势沿
x方向的变化率的负值
9第 8章 静电场思考,以下说法对吗？
0E?
大Eu 高 小Eu 低
0E?0u? 均匀Eu 均匀注意：
E 的大小，取决于 du
dn
的大小，而不是 u的大小如：均匀带电球面内部空间
04
Qu
R
带电球面内是等势体，即 u的变化率恒定为零，所以面内 E＝ 0
10第 8章 静电场例 利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。
2204
1)(
xR
qxuu

解,
)4 1( 22
0 xR
q
xx
uE
x



23220 )(4
1
xR
qx

0 zy EE
322
20
1
4 ()
qxEi
Rx
例 求 （ 2,3,0）点的电场强度。已知 226 6 7u x x y z
解,66)126( xyxuE x 242 xyuE y
jijEiEE yx 2466 014 zzuE z
11第 8章 静电场一、导体的静电平衡
§ 8.7 静电场中的导体
1.静电平衡导体进入电场，当相互作用过程结束后，
空间出现一个稳定唯一的电荷分布，对应着一个稳定地静电场。
2.导体静电平衡的条件
(导体和电场相互作用结束的标志 )
导体内部任何一点处的电场强度为零；
导体表面处的电场强度的方向，都与导体表面垂直。
导体表面是等势面。
导体是等势体，导体内部电势相等。
0 'E E E
推论：
原场 感应场
12第 8章 静电场
+ + +
+
+++
+
++
（ 导体内部无电荷）
0
1d0
i
S
E S q
d 0 0i
S
E S q,
0E?
1 实心导体带电 Q
2 有空腔导体带电 Q
0iq
S
若空腔内无电荷
S
电荷分布在表面上
（内表面和外表面上都有电荷？）
二、静电平衡时导体上的电荷分布
＋ Q
13第 8章 静电场
d0AB ABU E l若内表面带电
S +
-
A B
结论：电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
矛盾 导体是等势体
d0AB ABU E l
空腔内有电荷
1
d 0 0i
S
E S q,
qq内
q?
q?2S
Qq?
1S
电荷分布在表面上 （内表面？）
2
d 0 0i
S
E S q,
结论：当空腔内有电荷 时,内表面因 静电感应 出现等值异号的电荷,外表面有感应电荷 （ 电荷守恒 ）q?
q?
q?
+ +
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
+
+ +
+
+
+ +
14第 8章 静电场
+
++
++
+
++ + ++
E?
0E?
为表面电荷面密度?
0
d
S
SES?

0
SES?

0
E
表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比
1 导体表面电场强度与电荷面密度的关系
2 孤立导体表面电荷分布与该处曲率有关
,E曲率越大，,E曲率越小，
球面各点曲率相等，因而电荷均匀分布三、导体表面的 E
15第 8章 静电场带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即 尖端放电 。
尖端放电现象
16第 8章 静电场前面讨论的问题是：已知电荷分布，求,。E u
本节讨论的问题是,当导体进入电场，达到静电平衡后，先 确定电荷的分布,再求静电平衡后的,。E u
确定电荷分布的依据：
电荷守恒定律；
静电平衡条件；
电场叠加原理；
高斯定理，环路定理。
四、小结
17第 8章 静电场如图所示,导体球附近有一点电荷 q 。
解：
接地 即
044
00
lqRQ qlRQ
0u?
q
R
o
l
由导体是个等势体,O点的电势为 0 则接地后导体上感应电荷的电量设感应电量为 Q
Q q?
0
例求
18第 8章 静电场
1R
2R
3R
q?
q?
例 有一外半径 R1＝ 10cm和内半径 R2＝ 7cm的金属球壳，在球壳内放一半径 R3＝ 5cm的同心金属球，若使球壳和金属球均带有 q＝ 10-8C的正电荷,问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？
解 根据静电平衡的条件求电荷分布
130 ( )E r R
2
3 2 2
0
,d
S
qR r R E S

作球形高斯面
2S
2 2
04 π
qE
r
1S
作球形高斯面
1S 2S
r
19第 8章 静电场
4S
r 3R
130 ( )E r R
2 3 22
0
()4 π qE R r Rr
根据静电平衡条件
3 1 20 ( )E R r R
3
30d0 i
iS
E S q
4
1 4 0 0,d 2i
iS
r R E S q q
412
0
2 ()
4 π
qE r R
r
3S
r
1R
2R
q?
q2?
q?
20第 8章 静电场
1R
2R
3R
q?
q?
2q?
0 d

Ou E l
3 2 1
3 2 11 2 3 40
d d d dR R RR R RE l E l E l E l
3
0 3 2 1
112( ) 2.3 1 10 V
4 πO
qu
R R R
130 ( )E r R
2 3 22
0
()4 π qE R r Rr
3 1 20 ( )E R r R
412
0
2 ( )
4 π
qE R r
r
总结 (有导体存在时静电场的计算方法 )
1,静电平衡的条件和性质,
2,电荷守恒定律
3,确定电荷分布,然后求解
0?内E Cu?导 体
21第 8章 静电场例 金属球 B与金属球壳 A同心放置,
求,
q Q
已知：球 B半径为
0R
带电为,金属壳 A内外半径分别为
12RR，
，带电为
A
B
o
0R
q
2R
Q
1R
(1) 将 A 接地后再断开，电荷和电势的分布；
(2) 再将 B 接地，电荷和电势的分布。
解
0Au? 0Q
A与地断开后,电荷守恒
A 接地时，内表面电荷为 -q(1)
AQq
01
01
11 ()
4?


qu R r R
rR
分布在内表面还是外表面？
0
0 0 1
11
4 ( ) ( )
qu r R
RR10 ( )u r R
( 外表面电荷 )
22第 8章 静电场
q?
A
B
o
0R
2R
1R
设 B上的电量为 q?
0E?内 Qq内
(2)
Q内高斯定理
Q Q q外内 Q q q外
0 0 1 2
1
4B
q q q qu
R R R?

0?
B 球圆心处的电势
01
1 0 2 0 1 2
q R Rq
R R R R R R
2
0
12
02
0 1 0 2
01
4
4
11
44










qq
rR
r
qq
R r R
R
q q q
r R R
R r R?
u?
（利用叠加原理）
23第 8章 静电场
1Q 2Q
例：利用静电平衡条件：,求二平行等大导体板
（,）上电荷分布。,不考虑边缘效应。
0E内 ＝
Sd1Q 2Q
解,如图设：,,,
1? 2? 4?3?
1? 2? 4?3?
12,PP
分别位于两导体板内
1P 2P 根据静电平衡条件,可得：0E?
14
23




点,（ 1）
1 2 3 4
0
1 ( ) 0
2
1P
1 2 3 4
0
1 ( ) 0
2
点,（ 2）
2P
由以上二式可得,相背二面等量同号相对二面等量异号根据电荷守恒：
1 2 1
3 4 2
S S Q
S S Q





（ 3）
（ 4）
24第 8章 静电场联立 （ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4） 得：
12
14
12
23
2
2
QQ
S
QQ
S







两平行带电板电荷分布规律（不考虑边缘效应）
讨论分析：
Q Q
14
23 0
Q
S




Q Q?
14
23
0
Q
S





1Q 2Q
思考：电荷的分布规律？
25第 8章 静电场求：导体板两表面的面电荷密度 。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
例 面电荷密度为?0 的均匀带电无限大平面旁，
解,设导体电荷密度为?1,?2,
电荷守恒：
导体内场强为零：
0 12
0 0 0
02 2 2
0 2 1
1 +?2 = 0
0?1?2
E２ E１?
0
12 2

（设向右为正 ）
E0
0210 EEE
26第 8章 静电场下面结果哪个正确?若导体板接地，思考
0
（ A）
0? 02?
0
（ B）
0? 02
0
（ C）
0? 0

注意：
导体接地表示,u地 ＝ u导体 ＝ 0
有限大带电体 u∞＝ 0，接地导体 u导体 ＝ 0，二者不矛盾
孤立带电导体接地 —— 电荷全部入地非孤立带电导体接地 —— 部分电荷入地