1静电场
§ 8.4 静电场的环路定理 电势能
q 0q
r?
0d A F d l q E d l0
3
0
d4 πqq rlr
d d c o sr l r l drr?
0
2
0
d
4 π
qq r
r?
0
2
0
d
4 π
B
A
r
r
qq r
r?

1,点电荷的电场 l?d
dr
Ar
A
E?
0
0
11()
4 π AB
qq
rr
结论,A仅与 q0的 始末 位臵 有关,与路径无关,
一、静电场力做功特点
0dA q E dl
A dA
B
rB
2静电场
2,任何带电体的电场
dd 0( ) ( )bbab a L a LA F l q E l

b
La
n
i
i lEq)(
1
0 d)(



n
i
b
La i
lEq
1 )(
0 d


i biia
i
rr
qq )11(
4 0
0
结论
电场力作功只与始末位臵有关，与路径无关。
静电力是保守力,静电场是保守力场 。
电荷系 q1,q2,… 的电场中，移动 q0，有
nq
1?nqiq
2q1q
air
bira
b
L
q0
3静电场二、静电场环路定理任意静电场中，单位正电荷 (检验电荷 )沿闭合路径运动一周，静电力所作的功为：
0LA q E d l
即
0L E dl
在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。
在静电场中,电荷沿任意闭合路径运动一周，静电力做功为零。
—— 静电场的安培环路定理
1200( ) ( )
baa L b Lq E d l q E d l
0?
L1
L2
a
b
12
00( ) ( )
bb
a L a Lq E d l q E d l
4静电场
E
电场线平行但不均匀分布，是否是静电场的电场线?
dEl
dcba lElE dd 21
0? 不是静电场
a b
cd
思考：
12E a b E cd
dba El dcb El
dddacdE l E l
5静电场三、电势能
0 dAB ABA q E l
0,BAA W W 0,BAA W W
即：电荷在电场中某点的 电势能,在数值上等于把该电荷从该点移动到电势能零参考点时，静电力作的功。
令 0
BW? 0A AW q E d l 参 考 点即,q0在电场中 AB两点 电势能之差 等 于把 q0自 A点移至 B
点过程中静电力作的功。
ABWWpE
任何力做功都会引起能量的变化,
A
B
q0
6静电场
(1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。
(3) 选势能零点原则：
(2) 电荷在某点 电势能的值与零点选取有关,而两点的 差值与零点选取无关 。
实际应用中取 大地、仪器外壳接地 等为势能零点 。
当 (源 )电荷分布在有限范围内时 (有限大小带电体 )，
势能零点一般选在 无穷远处 。
无限大带电体，一般 任选一点 为 势能零点 。
说明即：电势能是相对的，电势能差是绝对的。
7静电场
§ 8.5 电势 电势差一、电势
0q
Wu a
a
"0"
0
"0" d
a
a
a lEq
Au
电势定义单位正电荷自该点?“势能零点”过程中电场力作的功。
单位正电荷在该点具有的电势能
零参考点的选取同一问题中，电势零参考点需同电势能零参考点一致。
电势是标量，其正负不是由源电荷决定，而由积分式确定。
负电荷电场中电势不一定为负；
正电荷电场中电势不一定为正。
8静电场
电势差单位正电荷自 a?b 过程中电场力作的功。
00
aba b a b WWu u u qq
0
dbab
a
A El
q
电势和电势能的区别
0ppW q u?
pu
—— 描写电场中 P点性质的物理量，是场点的单值函数。
pW
—— 进入场中的电荷 q在 P点具有的势能，属于 q和电场系统共有。
二者关系：
源电荷场中 q0所在点处的电势，
不包括 q0的电场
9静电场
2） 与势能零点的选取无关。abu
()bb a b a baaA F d l q E d l W W q u u
1） 等于单位正电荷从 电场力作的功 ；
或等于 从 的线积分（沿任意路径）。
abu ab?
E ab?
q?3） 在电场中从,电场力作功：ab?
0A?
0A?
电场力作正功,q从高电势点 低电势点。
电场力作负功,q从低电势点 高电势点。
说明：
0 0 0
dba b a bab
a
W W Au E l
q q q
10静电场
" 0 " d
iP
i
u E l E E 及,
由 得：
" 0 " ( ) d
iP
i
u E l
注意：电势零点 P0必须是共同的。
" 0 " d
iP
i
El i
i
u
2,任意带电体的电势二、电势的叠加原理
P
dl
1,点电荷的电势
dP Pu E l
0
2
0
1
4 rr
qE
0 dd rrl r
q（取无穷远处为参考点）
2
0
dr4
r
q
r?

04
q
r
（球对称）
0r
电势叠加原理
11静电场三、电势的计算方法一,已知电荷分布，根据电势叠加原理
0
d
4Q
qu du
r?


已知场强分布，根据电势定义
"0" dpp lEu
方法二：
对点电荷系：
0
04,i
i
quu
r
对连续电荷分布：
0
d,0
4

q
quu
r
12静电场
r
qu
04
dd
2204
d
xR
l

2
220
0
d
4
R l
Rx


22
04
2
xR
R


均匀带电圆环半径为 R，电荷线密度为?(或圆环带电量 q)
解建立如图坐标系，选取弧线元 dl
例圆环轴线上一点的电势求,
lq dd
R
PO x
dl
r
pu du
22
04
q
Rx?

x
取无限远处为势能零参考点
13静电场
o
x
p
例：均匀带电园盘,求中心轴线任一点的电势。,R?
rdr
02
o
Ru?

在 r处取宽为 dr的带电园环解：
10 22 2
02 ()
R rdr
rx
10 22 202 ( )
R rdru
rx

122 2
0
2 r d rdu=
4 ( )rx



22
0
= ( )2 R x x
讨论：
2
0044
Rqu
xx

0x? 处：
xR 处：
可视为点电荷
2d q r d r
14静电场例,计算电量为 Q 的带电球面 球心 O点 的电势
04 π
qdu
R?
d
04 πQQ
qu d u
R?
d
04π
Q
R?
R
Q
o
解：在球面上任取一电荷元 dq dq
则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势变换此问题：求 整个空间 电势的分布？
(书上例 8.20、例 8.21)
比较复杂 用电势定义求解,此方法必须掌握
15静电场
0
2
04
0
q
r
rE


r > R
r < R
带电球面为有限大小的带电体
2
0
0 4
R
q dr
r

0u 令
2
04

p pr
qu E d l d r
r
R
p p p Ru E d l E d l E d l

外内
2) 处?rR
1) 处r>R
04
q
r
04
q
R
04
p
qu
R
rR?3) 处
R
Q
o
已知电场强度的分布：
16静电场均匀带电球面是个等势体。
球面内部和球面处电势均为
04
q
R
球外电势的分布同点电荷电势分布。
E
rO
u
ro
2
1E
r?
R
1u
r?
04
qR
R
书上 例 8.23,两同心球面组合，求空间电势分布根据上面的结论，采用电势叠加原理，也可以用电势定义求解结论：
17静电场
( ),( )E r u rq例：带电球面 中心有一点电荷 。求,RQ
rR
E
rR



1 2
0
2 2
0
4
4
q
E
r
Qq
E
r


rR
u r R
rR



QO
q R
1
00
2
0
3
0
44
4
4
qQ
u
rR
qQ
u
r
qQ
u
R




18静电场半径为 R,带电量为 q 的均匀带电球体解 由高斯定理：
求 带电球体的电势分布例
+
+
+ + +
+ R
r PRr? 3
0
1 4 R
qrE

Rr? 2
0
2 4 r
qE

对球外一点 P
对球内一点 P1
rEu p d
1
内 RRr rErE dd 21 )3(8 223
0
rRq
rEu p d2外?
r r
rq
2
04
d
r
q
04
P1
19静电场例 无限长均匀带电直线
0r
ru E d r
u
r
r0
0
> 0
r0?
0
02
λEr
ε r
0 0ru?
选
0
0
02
r
r
r d r
r

0
02
r
r
dr
r

0
0
ln
2
r
r