1变化的磁场和变化的电场变化的磁场和变化的电场 习题课一,基本规律
1,法拉第电磁感应定律 m
i
d
dt?
2,楞次定律 —— 感应电流方向的判定定律感应电流的方向总是使其自身产生的磁通量反抗引起电流的磁通量的变化。
二,电动势
为维持回路中有恒定电流，回路中必有电源。
电源是一个能量转换的装置，不同电源转换能量的能力不同。
电动势是定量描述电源转换能量的能力的物理量。
2变化的磁场和变化的电场
1,电动势的定义 —— 单位正电荷从负极经电源内部移到正极非静电力作的功。
diKEl diKL El （ Fk存在于整个回路）
2,电动势的分类
动生电动势
kF q B kEB
()i v B d l
感生电动势
Vi L E d l S
dB dS
dt
VE
—— 涡旋电场
3变化的磁场和变化的电场
自感电动势 互感电动势
Ψ LI? d
dL
IL
t
2 1 2 1 1Ψ MI? 1
2 1 2 1
d
d
IM
t
I H B Φ L
I1 H1 B1 Φ21 M
三,磁场能量磁能密度 21
2m
Bw
磁场能量
2
2mm V
BW w dV dV
21
2 LI?四,麦克斯韦假设
VSD
VS
dd 0
S
t
BlE
SL
dd?
0
S
SB
d
S
t
DSJlH
SSL
ddd?
0
积分形式注意：
感生静电 EEE
感生静电 DDD
位移稳恒 BBB
位移传导 HHH
五,麦克斯韦方程组
5变化的磁场和变化的电场试求：棒的速率随时间变化的函数关系,
例 1：若开始时,细导体棒以速度 沿如图所示的矩形框运动
0v?
解 如图建立坐标棒所受安培力
F IBl?
F
lR
B
v
o x
M
N
M N
I
Blv?
iIR Bl R
22Bl
vR （向左）
()i v B d l
由牛顿第二运动定律
22d
d
Blm
t
vv
R
0
t
0
v
v
22d
dBl tvv m R
棒的速率随时间变化的函数关系为
22()e B l t mR
0vv
6变化的磁场和变化的电场解,(1)先求 t时刻通过线圈的磁通量建立坐标系如图
O x
h
n
d0
a
x dx
B
θc o sB d S
0
0
02
2 2 2 2
2 2
ad
ad
I xb d x
h x h x
0
0
22
2 0
0 0 0
22
22
02
()
2l n c o s
24 ()
2
a
d
a
d
a
hdI b I bx d x
t
ahx
hd
例 2：无限长直导线通交流电 导线离地面 h,O点在导线正下方，地面上有一 N匝平面矩形线圈 ( )总电阻为 R，法线方向竖直向上。
0 c o sI I t
ab?
求：矩形线圈中的感应电流。（忽略线圈自感）
7变化的磁场和变化的电场
22
0
0
22
0
()
2l n sin
4 ()
2
ahd
N I b
t
aR hd
1
i
dI
R dt
(2)通过矩形线圈在位置 OO处的 Φ 与位置 O’O’处的 Φ 相等
h
n
O O
O’ O’
8变化的磁场和变化的电场
r
'O
o
a
b c
d
例 3：边长为 2a 的正方形 abcd 回路在长直电流 I 的场中绕自身对称轴转动时，设开始时 abcd与 I在同一平面内。
I
解：
abcd求,t时刻正方形的
c
b
1r
2rI
过 abcd 回路所包围面积的磁通量和过 a’b’c’d’回路所包围面积的磁通量相等
b?
c?
a?
b? c?
d?0 2
1
lnIa rr
D
a b c d
2
1
0 2
2
r
r
I a d r
r
D
r
'O
o
t?
随回路转动到的位置而变
1r 2r
,是 t 的函数
1r
2r
r dr
222 2 c osr a D aD t
2 2 21 2 c osr a D aD t
i
d
dt?
0
21l n l n
Ia ddrr
dt dt
2
0
22
12
11 s inI a D t
rr
9变化的磁场和变化的电场方法二：
dBlv
0b c d a
( ) di a b c da b c d Bl v
( ) d ( ) dbdacB l B lvv
1 1 2 2 2d s i n d s i n
bd
i acB l B l1vv
12 avv 0
1
12
IB
r
0
2
22
IB
r
221 2 c o sr a D a D t
222 2 c o sr a D a D t1r
2r
2v
1v
2B
1B
D
c
b
o
2?
1?
I
正弦定理：
1
1
si n si n t
Dr
2
2
sin sin t
Dr
10变化的磁场和变化的电场
2
110 d sin
a
ab Bl 1v
2 0
0 11
D sin d
2
a I tl
rr
a
0
2
1
si n 22Ia D tar
2
0
2
1
s inIa D tr
同理
2
0
2
2
s i ncd I a D tr
i a b c d
2
0
22
12
11s inI a D t
rr
,中 方向与所取 方向一致
cd?ab? ()B?v dl
11变化的磁场和变化的电场
a c b
解：本题求感生电动势方法一：
i
d
dt?
ab ac c b
求 较方便的方法是作 oaco回路
ac?
o
oa c o oa ac c o
例 4,半径 R的圆柱形空间存在均匀磁场，已知 一长为
2R的棒放在位置 ab之间，一半在磁场内部，另一半在磁场外
0dBdt?
ab
求：棒两端的感应电动势
0oa co
ac oaco ddt oacdB Sdt
2
21
24
R d BRR
dt
23
4ac
dBR
dt
12变化的磁场和变化的电场求,作 ocbo回路
cb? o cb o cb
( d,0 )k o c b oEl
c b o c b o
dB S
dt
dB S
dt
21
12
dB R
dt
※ S'为扇形 ocb'的面积,因为磁通只通过这部分
b?
为等边三角形,,为等腰三角形,oca 0120o cb ocb
,相应的面积为
030c o b 02
0
30
360SR
21
12 R
a c b
o
2231
4 12ab
dBRR
dt
13变化的磁场和变化的电场方法二：
1 2k r d BE r Rdt
22 2k R dBE r Rr dt
12
cb
ab k kacE dl E dl
1 c o s
c
ac ka E d l c o s2
c
a
r d B dl
dt
1
2
dB h a c
dt
2
2
24
R d B RR
dt
b
ab ka E d l
2kE
1kE
a c b
hr
R
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23
4
dBR
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2
b
c b kc E d l
2 c os
b
kc E dl
2
c o s2b
c
R d B dl
r d t
dl
14变化的磁场和变化的电场
2kE
a c b
h
R
r
变量,,统一到r dl
l
,l tgh l htg 2c o sdd l h
cos hr 1 c o srh
2
2
c os c os
2 c oscb
R dB dh
dt h
2
3
62
R d B d
dt
2
2 3 6
R dB
dt
21
12
dBR
dt
ab ac c b 23
4 1 2
dBR
dt
O
2
c o s2bcb
c
R d B dl
r d t
dl
15变化的磁场和变化的电场例 5,横截面为矩形的一个环状螺旋管,N匝，尺寸如图，求 L
方法一：
每一匝线圈的磁通量
NL
II
d B dS
B dS BdS
2
b
a
NI hdr
r
ln2N Ih ba
2
ln2N N h bL Ia
dr
16变化的磁场和变化的电场从能量角度来讲，磁场集中在螺线管内方法二：
2
2
Bw
21
22
NI
r
22
228
NI
r
取半径为 r，横截面为 hdr的小矩形截面圆形的体积为
2d V rh d r
d W w d V?
W w d V
22
22 28
b
a
NI r hd r
r
22
ln4N I h ba
2
ln2N h bL a21
2W L I?
又：
dr
17变化的磁场和变化的电场解：
b v
x
y
a
It
无限长直导线通有电流,有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，矩形线框的滑动边与长直导线垂直，并且以匀速 (方向平行长直导线 )滑动，若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合；
例 5,
0 tI t I e
v
求：任意时刻 t 在矩形线框内的感应电动势
t B d S0
2
ab
a
It x t dy
y
0 ln2 abI t x t a
再求 对 t 的导数：()t?
dt
dt
0 ln
2
a b dI dxxI
a dt dt
0 0 1 l n2 t abI e v t a
()x t vt?
既有动生又有感生电动势
()xt
dy
L
i
d
dt?
18变化的磁场和变化的电场
i
d
dt?
0
0 1 l n2
t abv I e t
a
时，顺时针。1t
i?
方向,1t 时，逆时针；
(1)磁场分布均匀，且磁感应强度不随时间变化；
(2)非均匀的时变磁场 c o sB K x t
例 6,如图：有一弯成 角的金属架 COD放在磁场中，磁感应强度 的方向垂直于金属架 COD所在平面，一导体杆 MN
垂直于 OD边，并在金属架上以恒定速度 向右滑动，方向与 MN垂直，设 t =0时,x=0。
B
v
i?
求,下列两种情形，框架内的感应电动势
O D
C
N
M
B
v
y
x
19变化的磁场和变化的电场解,(1)由法拉第电磁感应定律：设回路绕行方向为 ONMO，则方向与 方向相同：
S
B
1
2B xy
y tg x x vt?
i
d
dt?
21
2
d Bt g x
dt?
1 2
2
dxB tg x
dt
2B tg v t
i?
在导体 MN内 方向由 M向 N，,说明 方向与所设绕行方向相反,(顺时针） 0i
i?
O D
C
N
M
B
v
y
x
20变化的磁场和变化的电场
(2)对于非均匀时变场，,
取回路绕行的正向为
ONMO，则：
c o sB K x t
y
drr d B d S B y d r y rtg
d 2
0 c os
x K r t tg dr 31 c o s
3 K x t tg
d B r tg d r 2 c o sK r t tg d r
i
d
dt?
321 s i n c o s
3 K x t t g K x v t t g
3 3 21 si n c o s
3K v t g t t t t
O D
C
N
M
B
v
y
x
1,法拉第电磁感应定律 m
i
d
dt?
2,楞次定律 —— 感应电流方向的判定定律感应电流的方向总是使其自身产生的磁通量反抗引起电流的磁通量的变化。
二,电动势
为维持回路中有恒定电流，回路中必有电源。
电源是一个能量转换的装置，不同电源转换能量的能力不同。
电动势是定量描述电源转换能量的能力的物理量。
2变化的磁场和变化的电场
1,电动势的定义 —— 单位正电荷从负极经电源内部移到正极非静电力作的功。
diKEl diKL El （ Fk存在于整个回路）
2,电动势的分类
动生电动势
kF q B kEB
()i v B d l
感生电动势
Vi L E d l S
dB dS
dt
VE
—— 涡旋电场
3变化的磁场和变化的电场
自感电动势 互感电动势
Ψ LI? d
dL
IL
t
2 1 2 1 1Ψ MI? 1
2 1 2 1
d
d
IM
t
I H B Φ L
I1 H1 B1 Φ21 M
三,磁场能量磁能密度 21
2m
Bw
磁场能量
2
2mm V
BW w dV dV
21
2 LI?四,麦克斯韦假设
VSD
VS
dd 0
S
t
BlE
SL
dd?
0
S
SB
d
S
t
DSJlH
SSL
ddd?
0
积分形式注意：
感生静电 EEE
感生静电 DDD
位移稳恒 BBB
位移传导 HHH
五,麦克斯韦方程组
5变化的磁场和变化的电场试求：棒的速率随时间变化的函数关系,
例 1：若开始时,细导体棒以速度 沿如图所示的矩形框运动
0v?
解 如图建立坐标棒所受安培力
F IBl?
F
lR
B
v
o x
M
N
M N
I
Blv?
iIR Bl R
22Bl
vR （向左）
()i v B d l
由牛顿第二运动定律
22d
d
Blm
t
vv
R
0
t
0
v
v
22d
dBl tvv m R
棒的速率随时间变化的函数关系为
22()e B l t mR
0vv
6变化的磁场和变化的电场解,(1)先求 t时刻通过线圈的磁通量建立坐标系如图
O x
h
n
d0
a
x dx
B
θc o sB d S
0
0
02
2 2 2 2
2 2
ad
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I xb d x
h x h x
0
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22
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02
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24 ()
2
a
d
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d
a
hdI b I bx d x
t
ahx
hd
例 2：无限长直导线通交流电 导线离地面 h,O点在导线正下方，地面上有一 N匝平面矩形线圈 ( )总电阻为 R，法线方向竖直向上。
0 c o sI I t
ab?
求：矩形线圈中的感应电流。（忽略线圈自感）
7变化的磁场和变化的电场
22
0
0
22
0
()
2l n sin
4 ()
2
ahd
N I b
t
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1
i
dI
R dt
(2)通过矩形线圈在位置 OO处的 Φ 与位置 O’O’处的 Φ 相等
h
n
O O
O’ O’
8变化的磁场和变化的电场
r
'O
o
a
b c
d
例 3：边长为 2a 的正方形 abcd 回路在长直电流 I 的场中绕自身对称轴转动时，设开始时 abcd与 I在同一平面内。
I
解：
abcd求,t时刻正方形的
c
b
1r
2rI
过 abcd 回路所包围面积的磁通量和过 a’b’c’d’回路所包围面积的磁通量相等
b?
c?
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b? c?
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1
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D
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1
0 2
2
r
r
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D
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'O
o
t?
随回路转动到的位置而变
1r 2r
,是 t 的函数
1r
2r
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222 2 c osr a D aD t
2 2 21 2 c osr a D aD t
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0
21l n l n
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2
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12
11 s inI a D t
rr
9变化的磁场和变化的电场方法二：
dBlv
0b c d a
( ) di a b c da b c d Bl v
( ) d ( ) dbdacB l B lvv
1 1 2 2 2d s i n d s i n
bd
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D
c
b
o
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1?
I
正弦定理：
1
1
si n si n t
Dr
2
2
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Dr
10变化的磁场和变化的电场
2
110 d sin
a
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0 11
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2
a I tl
rr
a
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2
1
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同理
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2
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2
0
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12
11s inI a D t
rr
,中 方向与所取 方向一致
cd?ab? ()B?v dl
11变化的磁场和变化的电场
a c b
解：本题求感生电动势方法一：
i
d
dt?
ab ac c b
求 较方便的方法是作 oaco回路
ac?
o
oa c o oa ac c o
例 4,半径 R的圆柱形空间存在均匀磁场，已知 一长为
2R的棒放在位置 ab之间，一半在磁场内部，另一半在磁场外
0dBdt?
ab
求：棒两端的感应电动势
0oa co
ac oaco ddt oacdB Sdt
2
21
24
R d BRR
dt
23
4ac
dBR
dt
12变化的磁场和变化的电场求,作 ocbo回路
cb? o cb o cb
( d,0 )k o c b oEl
c b o c b o
dB S
dt
dB S
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21
12
dB R
dt
※ S'为扇形 ocb'的面积,因为磁通只通过这部分
b?
为等边三角形,,为等腰三角形,oca 0120o cb ocb
,相应的面积为
030c o b 02
0
30
360SR
21
12 R
a c b
o
2231
4 12ab
dBRR
dt
13变化的磁场和变化的电场方法二：
1 2k r d BE r Rdt
22 2k R dBE r Rr dt
12
cb
ab k kacE dl E dl
1 c o s
c
ac ka E d l c o s2
c
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1
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b
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b
c b kc E d l
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b
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R d B dl
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dl
14变化的磁场和变化的电场
2kE
a c b
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R
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变量,,统一到r dl
l
,l tgh l htg 2c o sdd l h
cos hr 1 c o srh
2
2
c os c os
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21
12
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ab ac c b 23
4 1 2
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dt
O
2
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c
R d B dl
r d t
dl
15变化的磁场和变化的电场例 5,横截面为矩形的一个环状螺旋管,N匝，尺寸如图，求 L
方法一：
每一匝线圈的磁通量
NL
II
d B dS
B dS BdS
2
b
a
NI hdr
r
ln2N Ih ba
2
ln2N N h bL Ia
dr
16变化的磁场和变化的电场从能量角度来讲，磁场集中在螺线管内方法二：
2
2
Bw
21
22
NI
r
22
228
NI
r
取半径为 r，横截面为 hdr的小矩形截面圆形的体积为
2d V rh d r
d W w d V?
W w d V
22
22 28
b
a
NI r hd r
r
22
ln4N I h ba
2
ln2N h bL a21
2W L I?
又：
dr
17变化的磁场和变化的电场解：
b v
x
y
a
It
无限长直导线通有电流,有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，矩形线框的滑动边与长直导线垂直，并且以匀速 (方向平行长直导线 )滑动，若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合；
例 5,
0 tI t I e
v
求：任意时刻 t 在矩形线框内的感应电动势
t B d S0
2
ab
a
It x t dy
y
0 ln2 abI t x t a
再求 对 t 的导数：()t?
dt
dt
0 ln
2
a b dI dxxI
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0 0 1 l n2 t abI e v t a
()x t vt?
既有动生又有感生电动势
()xt
dy
L
i
d
dt?
18变化的磁场和变化的电场
i
d
dt?
0
0 1 l n2
t abv I e t
a
时，顺时针。1t
i?
方向,1t 时，逆时针；
(1)磁场分布均匀，且磁感应强度不随时间变化；
(2)非均匀的时变磁场 c o sB K x t
例 6,如图：有一弯成 角的金属架 COD放在磁场中，磁感应强度 的方向垂直于金属架 COD所在平面，一导体杆 MN
垂直于 OD边，并在金属架上以恒定速度 向右滑动，方向与 MN垂直，设 t =0时,x=0。
B
v
i?
求,下列两种情形，框架内的感应电动势
O D
C
N
M
B
v
y
x
19变化的磁场和变化的电场解,(1)由法拉第电磁感应定律：设回路绕行方向为 ONMO，则方向与 方向相同：
S
B
1
2B xy
y tg x x vt?
i
d
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21
2
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1 2
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i?
在导体 MN内 方向由 M向 N，,说明 方向与所设绕行方向相反,(顺时针） 0i
i?
O D
C
N
M
B
v
y
x
20变化的磁场和变化的电场
(2)对于非均匀时变场，,
取回路绕行的正向为
ONMO，则：
c o sB K x t
y
drr d B d S B y d r y rtg
d 2
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x K r t tg dr 31 c o s
3 K x t tg
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i
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