1第十二章 气体动理论热学篇
研究对象,大量微观粒子组成的热力学系统。
（气体分子）
研究内容,与温度有关的热现象，即分子热运动。
标准态下,1mol气体有 6.022× 1023个分子
（无规则）
单个分子：无规则、偶然的热运动。
大量分子（整体）：遵守确定的热运动规律。
（统计规律）
2第十二章 气体动理论热学篇
描述方法：
研究方法：
1,宏观描述：
如 P,T,V等，可用仪器直接测定。
2,微观描述：
对系统状态宏观性质的描述对单个粒子性质的描述如 μ,p,Ek ……
1,热力学：
2,统计物理学：
由观察和实验总结得出的宏观理论。
（热力学定律）
用统计方法研究大量粒子无规则热运动规律的微观理论。
3第十二章 气体动理论概念
气体状态参量：
1,压强：
单位,Pa （ Nm-2） 帕斯卡
2,体积：
大量气体分子对容器壁单位面积的垂直作用力分子活动的空间 （并非分子大小的总和）
atm 标准大气压 cmHg 厘米汞柱
1atm = 76 cmHg =1.013× 105Pa
3,温度,物体冷热程度的量度
（反映分子热运动剧烈程度的量）
热力学温标,T= t +273.15 K
4第十二章 气体动理论概念
平衡态：
（热动平衡）
一个孤立系统，宏观状态参量都不随时间变化的状态。
在过程进行的每一时刻，系统都无限的接近平衡态。
宏观上各量均不变，而微观上分子热运动永不停息。
1
2
21
平衡过程：
（准静态过程）
5第十二章 气体动理论说明
(1) 平衡 （ 准静态）过程是一个无摩擦的、无限缓慢进行的理想化过程 ；
(3) 准静态过程在状态图上可用一条曲线表示,如图,
(2) 除一些进行得极快的过程（如爆炸过程）外,大多数情况下都可以把实际过程看成是准静态过程；
O V
p
图中每一个点代表一个平衡态，每一条曲线代表一个平衡过程。
6第十二章 气体动理论
理想气体状态方程：
1,理想气体：
玻意耳定律、查理定律、盖－吕萨克定律
2,理想气体状态方程：
任何情况下严格符合气体的 3个实验定律。（理想化模型）
（克拉珀龙方程）
m ol
mP V R T
M
概念
RT?P nKT
R—— 摩尔气体常量。 R=8.31J/mol.k
N0—— 阿佛加德罗常数。 N0=6.022× 1023/mol
K＝ R/N0—— 玻耳兹曼常数。 K=1.38× 10-23J/K
m—— 气体质量 Mmol—— 气体摩尔质量 ν—— 气体摩尔数
n—— 单位体积分子数
7第十二章 气体动理论
§ 12-1 分子运动的基本概念
§ 12-2 气体分子的热运动
§ 12-3 统计规律的特征
§ 12-5 麦克斯韦速率分布律
§ 12-6 温度的微观本质
§ 12-4 理想气体的压强公式第十二章 气体动理论
§ 12-7 能量均分定理
§ 12-8 玻耳兹曼分布律
§ 12-10 气体分子的碰撞和平均自由程
8第十二章 气体动理论一、分子热运动特征
(1) 在惯性支配下的自由运动。
永恒的运动、频繁的碰撞
(2) 分子间频繁的碰撞
(3) 单个分子：偶然的、无序的，其运动遵守力学规律
§ 12-2 气体分子的热运动
（每秒几十亿次）
分子迁移的很慢（如香水分子的扩散）
—— 这是作无规则热运动的分子频繁碰撞的结果。
整体,大量分子的热运动在整体上遵从确定的统计规律。
9第十二章 气体动理论
1,研究对象：大量偶然事件组成的整体
2,统计平均值二,统计规律的特征统计规律性 —— 大量偶然事件总体上所具有的确定的规律性。（与机械运动有着本质的区别）
N
MNMNM BBAA
BA NNN （大量的）
如：
xdN
N?
vi ixix NN vv ii N
N
2ix
2
x
v
v dNN
2
xv
21
2 iii N
N
21()
2 dN
N
10第十二章 气体动理论
3,概率的概念状态 A出现的概率 )(l i m NNW ANA
4,归一化概念把所有可能出现的状态的概率相加，其和应为 1。
—— 归一化条件1
i i
W
5,涨落由于微观状态千变万化，任一时刻统计平均值和实际测量值之间永远存在偏差，这种相对统计平均值出现偏差的现象即为涨落。
涨落是统计规律的一个重要特点。
统计规律必然伴随着涨落。
11第十二章 气体动理论三,伽尔顿板实验
若无小钉：必然事件若有小钉：偶然事件一个小球落在哪里有偶然性实验现象少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同
(2) 统计规律和涨落现象是分不开的。
结论
(1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律
12第十二章 气体动理论
§ 12-4 理想气体的压强公式宏观模型：
微观模型：
一、理想气体的模型统计假设：
在任何情况下严格符合气体三个实验定律。
大小不计，除碰撞瞬间没有相互作用力的弹性小球
②① ③
① 分子中心间距 >> 分子直径
② 二次碰撞间，分子作匀速直线运动；单个分子能量仅指动能，不考虑相互作用势能
③ 弹性碰撞，无能量损失平衡态下分子密度均匀分布，作热运动的分子向各方向运动的机会均等。
0x y z 222x y z 21
3
13第十二章 气体动理论二、压强公式求 A面压强：
压强 P—— 单位时间内，大量分子垂直作用于器壁单位面积的总冲量的统计平均值。
x
y
z
o
1l
2l
3l
A
ix?
分子总数为 N
容 积 V ＝ l1l2l3
分子质量 为 μ
分子数密度 n＝ N/V
1,一个分子与 A碰一次，分子动量改变
2 x （＝给 A面的冲量）
2,1s内一个分子与 A碰撞次数：
1
2xl?
给 A面的冲量：
x
1
2 2 xl
3,1s内 N个分子给 A面的冲量：
x
1
2 N 2 xI l
11
2 2
N
xi
xi
i
I l
4,根据压强定义：
2
2 3 1 2 3 1
N
xi
i
NIP
l l l l l N
2xn
14第十二章 气体动理论压强公式
2xPn
由统计假设：
221
3x
一个分子的平均平动动能：
21
2
213Pn
23Pn
结论：
1,压强 P是一个统计平均值,表征气体平衡态时宏观性质的物理量。只有对大量分子，压强公式才有意义。
2,压强公式是一个统计规律,表征宏观量 P与微观量 和n
的内在联系。
n?
每秒与壁单位面积碰撞次数增多每次碰撞分子施于壁的冲量增多 P?
15第十二章 气体动理论三、理想气体的温度公式理想气体状态方程,P nKT?
理想气体压强公式,2
3Pn
32 KT
2,分子平均平动动能只与温度 T有关，和气体种类无关。
1,上式给出宏观量 T和微观量 （单个分子平均动能）的关系，揭示了气体温度的统计意义。
T—— 气体分子平均平动动能的量度。
分子热运动剧烈程度的标志。
3,热力学温度零点永远不可能达到。
若 T=0，则 0 即热运动停止。
与分子运动论基本观点相矛盾。
16第十二章 气体动理论
§ 12-5 麦克斯韦速率分布律一、速率分布
宏观上足够小 —— 不计偏差，此区间内粒子速率均为?
微观上足够大 —— 区间内仍包含大量分子速率 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv …
分子数按速率的分布 ΔN1 ΔN2 … ΔNi …
分子数比率按速率的分布 ΔN1/N ΔN2/N … ΔNi/N …
17第十二章 气体动理论二、气体分子速率的实验测定能通过细槽的分子所满足的条件
LvvL 通过改变角速度 ω的大小，选择速率 v
改变细槽的宽度，选择不同的速率区间
vv 2L
18第十二章 气体动理论三、麦克斯韦速率分布律
—— 理想气体处于 平衡态时，各单位速率区间内分子数占总分子数的百分数按速率 υ的分布规律。
1,实验结论,?NNd )(vf vddN
N
与 υ和 dυ有关理想气体在平衡态下：
kTe
kTf
2/22/3 2)
π2(4)(
vvv
速率 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … v ～ v+dv …
分子数按速率的分布 dN1 dN2 … dN …
分子数比率按速率的分布 dN1/N dN2/N … dN/N …
19第十二章 气体动理论
—— 速率 v处单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
μ—— 一个分子的质量 k —— 玻尔兹曼常数
—— 麦克斯韦速率分布函数
2,f (υ) 的物理意义：
NNd )(vf vd
23 / 2 2 / 2( ) 4 ( )
2 π
kTfe
kT
vvv
vv d
d)(
N
Nf?
d( ) d Nf
N?vv
—— v～ v+dv 内的分子数占总分子数的百分比
( ) d dN f N?vv —— v～ v+dv 内的分子数
2
1
( )df vv —— v1～ v2 内的分子数占总分子数的百分比NN
0 ( )df
vv —— 整个速率区间内的分子数占总分子数的百分比
1?
20第十二章 气体动理论
xdN
N?
vi ixix NN vv ii N
N
2ix
2
x
v
v dNN
2
xv
21
2 iii N
N
21()
2dN dN
NN
—— 麦克斯韦速率分布函数
23 / 2 2 / 2( ) 4 ( )
2 π
kTfe
kT
vvv
速率 v处单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比物理意义,
vv d
d)(
N
Nf?
21第十二章 气体动理论
3,麦氏速率分布曲线,f(v)
vO v
( 速率分布曲线 )
由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。
N
Nd?vv d)(f
表示 速率分布 在 v～ v+ dv 中的 分子数占总分子数的百分数
v＋ dv··
N
Nf 2
1
d)(vv vv
1 v2
T
表示速率分布在 v1~v2 区间内的 分子数占总分子数的百分数
( ) d f0 vv
表示速率分布函数的归一化条件
小条面积：
宽条面积：
曲线下总面积,1?
22第十二章 气体动理论四、麦氏速率分布律的应用
1,最概然 （可几）速率 υp：
vO
T
( 速率分布曲线 )
pv
f(v)
0)(ddf令
2
p
kT?
得
2
mol
RT
M? 1,4 1 m o l
RT
M?
μ1
f(v)
vO
μ2(> μ1)
1pv2pv
T1f(v)
vO
T2(> T1)
1pv 2pv
23第十二章 气体动理论
2,利用 f (υ)求统计平均值：
平均速率
8 16
,π
k T RT
Mv
iiN
Nv 0 ( )d?
fvv
方均根速率
2 3 1 7 3,k T RT
μMv
22
0
3 ( ) d kTf
μv v v v
2
2 diiN N
NN
2v
)(vf
O Pv v 2v v
p 2?
)(?f
v
讨论分子的平均平动动能用 2v
讨论速率分布一般用 pv··
·讨论分子的碰撞次数用
pvvv2
d N
Nv
24第十二章 气体动理论讨论 1,下列各式的物理意义：
()f v ( )df vv
()Nf v ( )dNf vv
( )df0 vv
( ) dpNf0 vv
( )df
p
vv
2 ( ) dNf?
1 vv
( ) df0 v v v ( ) df 20 v v v 21 ( ) d
2 f
0 vv
2,υ1～ υ2 区间内分子的平均速率：
ii
i
vN
N
2
1
2
1
()
()
Nf
Nf
d
d
2
1
2
1
()
()
f
f
d
d
2
1
2
1
dN
dN
25第十二章 气体动理论
0v
a
有 N 个粒子，其速率分布函数为
0
00
00
20
2)(
0
vv
vvvv
vvvv
af
a
(1) 作速率分布曲线并求常数 a
(2) 速率大于 v0 和速率小于 v0 的粒子数解例求
)(vf
02v
03
2
v?a 12
1
00 aa vv
(1) 由归一化条件得
1dd 0
0
0 2
0 0
v
v
v vv
v
v aa
vO
(2)
2
3?
a0vNN
0v > v
NN 32
0v < v
1
3NN
26第十二章 气体动理论
§ 12-8 玻尔兹曼分布律一,重力场中粒子按高度的分布麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。
若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？
问题：
(非均匀的稳定分布 )
平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为
nkTp?
pp d?
p
hd
hgp dd
nkTp dd?
hgnp dd
h
h+dh
27第十二章 气体动理论
hgnnkT dd
hkTgnn dd
hnn hkT gnn 0 dd0?
kTghenn 0
nkTp? kTghep 0
hO
n
2T
1T
12 TT?
kTghk Ten 0
在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小,?越大,n减小越迅速； T 越高,n减小越缓慢。
式中 p0 是高度为零处的压强
0
m o lM g h RTpe
在 T均匀的条件下，大气压 P随 h按指数减小。
28第十二章 气体动理论二,玻尔兹曼分布
kTpenn 0
/ kTN C e
ghp
平衡态下温度为 T 的气体中，位于空间某一区间的分子数为
—— 玻耳兹曼分布律
kTghenn 0
它适用于任何形式的保守力场它表明，粒子总能量越大，该状态的粒子数越少。
—— 在温度为 T的平衡态下，处于保守场中的理想气体的分子数按能量的分布规律。
（玻耳兹曼因子）
从统计规律看，分子总是优先占据势能较低的状态。
29第十二章 气体动理论
§ 12-7 能量均分定理一,自由度 i
—— 确定一个物体在空间位置的独立坐标数。
1,自由运动质点的自由度 （平动自由度）
空间自由运动,i＝ 3
平面自由运动,i＝ 2
直线自由运动,i＝ 1
（如：飞机）
（如：轮船）
（如：汽车）
思考：
(1) 若质点在平面上作圆周运动,R2＝ x2＋ y2，
那么,i＝？
(2) 若质点在空间作曲线运动,i＝？
30第十二章 气体动理论
2,钢棒的自由度质心位置：
3i?平棒的方位取向：
2i?转
5i?
3,钢体的自由度质心位置：
3i?平轴的方位取向：
3i?转绕轴转动角度：
6i?
4,理想气体分子的自由度单原子分子,i＝ 3 （如 He,Ne,Ar,Kr…… ）
双原子分子,i＝ 5
多原子分子,i＝ 6
（如 H2,O2…… ）
（如 H2O,NH3…… ）
（ CO2除外）
31第十二章 气体动理论二,能量按自由度均分定理理想气体分子的平均平动动能为
213
22v k T
2222 21212121 zyx vvvv
kTzyx 21212121 222 vvv
结论,在温度为 T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均为 kT21 —— 能量按自由度均分定理。
气体分子平动时，
每个自由度上具有相同的热运动能量。
能量均分定理是分子热运动动能的统计规律。
设气体分子自由度为 i，则该分子的平均总能量为
2
i kT
32第十二章 气体动理论三,理想气体的内能内能
＝平动动能＋转动动能理想气体的内能
—— 系统中与热现象有关的那部分能量
1
2kT
—— 一个分子、一个自由度上具有的平均动能；
3
2kT
—— 一个分子的平均平动动能；
2
ikT —— 自由度为 i 的一个分子的平均动能；
0 2
iN kT? —— 自由度为 i 的 1mol理想气体的内能；
2
i RT?
22m ol
m i iR T R T
M
—— 自由度为 i 的 νmol 理想气体的内能；
22m o l
m i iE R T R T
M
33第十二章 气体动理论讨论 1,一定量的理想气体的内能完全取决于气体分子的自由度 i 和温度 T，而与气体的 P,V无关。
22m o l
m i iE R T R T
M
22m o l
m i iE R T R T
M
2,对同一种气体△ T相同,则△ E相同，与具体过程无关。
3,对不同气体，如均为 1mol的 He,O2,H2O，温度升高相同的△ T,则内能的增量△ E分别为：
He,O2,H2O：
3
2E R T 52E R T 62E R T
34第十二章 气体动理论
§ 12-10 气体分子的碰撞和平均自由程
0r
斥力引力
r
(分子力与分子间距离的关系 )
0rr?
0?f
0rr?
0rr?
分子力表现为斥力分子力表现为引力由 分子力与分子距离的关系，有
m10 100r ( 平衡位置 )
分子碰撞过程：
引力作用下，分子加速靠近
r0处引力为零，
仍具动能斥力作用下，
减速靠近设动能为零时,r＝ d —— 分子的有效直径
35第十二章 气体动理论一,平均自由程 平均碰撞频率自由程 l,一个分子连续二次碰撞之间通过的路程。
平均自由程,l 对大量分子、多次碰撞的统计平均值碰撞频率 Z,一个分子在 1s内和其它分子碰撞的次数。
（偶然的、不可预测的）
平均碰撞频率,z
z
l?二者关系：
二,和 的统计规律z l
1)同种分子 分子有效直径 md 1010~?
2)一个分子动 其余不动相对运动速度为
3)弹性碰撞
4) 分子数密度为 n
u
36第十二章 气体动理论
2πZ n d u?
单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为
2πn d u
平均碰撞频率为
21/ πn d u一个分子平均自由时间上述是假定一个分子运动的结果。考虑到所有分子实际上都在运动时。例如，一个分子速度,
另一分子速度,则相对速度
u
37第十二章 气体动理论
2 2 2 2u
取平均
2 2 2u
平均值为零忽略速率方均与均方的差别，则 2 2 2u
22 πZ n d? v
2
1
2 πZ dn
lv
当所有分子是全同时,。则2u
平均自由程平均碰撞频率
2 82 π
π
RTZ n d
用宏观量 p,T表示的 平均碰撞频率和平均自由程：
22 π
kT
dp
l?
38第十二章 气体动理论讨论 1,平衡态下，对确定的气体,是确定的值 。
lZ、
2,当平均速率 增大时，平均自由程 是否也随之增大？v l
ndZ 2π2
1 vl
估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率
m / s1070.1 3v
325 m107.2n
917,9 5 1 0 sZ
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次,
解例在标准状态下，有对氢气分子取,则102 1 0 md
第 12章结束
研究对象,大量微观粒子组成的热力学系统。
（气体分子）
研究内容,与温度有关的热现象，即分子热运动。
标准态下,1mol气体有 6.022× 1023个分子
（无规则）
单个分子：无规则、偶然的热运动。
大量分子（整体）：遵守确定的热运动规律。
（统计规律）
2第十二章 气体动理论热学篇
描述方法：
研究方法：
1,宏观描述：
如 P,T,V等，可用仪器直接测定。
2,微观描述：
对系统状态宏观性质的描述对单个粒子性质的描述如 μ,p,Ek ……
1,热力学：
2,统计物理学：
由观察和实验总结得出的宏观理论。
（热力学定律）
用统计方法研究大量粒子无规则热运动规律的微观理论。
3第十二章 气体动理论概念
气体状态参量：
1,压强：
单位,Pa （ Nm-2） 帕斯卡
2,体积：
大量气体分子对容器壁单位面积的垂直作用力分子活动的空间 （并非分子大小的总和）
atm 标准大气压 cmHg 厘米汞柱
1atm = 76 cmHg =1.013× 105Pa
3,温度,物体冷热程度的量度
（反映分子热运动剧烈程度的量）
热力学温标,T= t +273.15 K
4第十二章 气体动理论概念
平衡态：
（热动平衡）
一个孤立系统，宏观状态参量都不随时间变化的状态。
在过程进行的每一时刻，系统都无限的接近平衡态。
宏观上各量均不变，而微观上分子热运动永不停息。
1
2
21
平衡过程：
（准静态过程）
5第十二章 气体动理论说明
(1) 平衡 （ 准静态）过程是一个无摩擦的、无限缓慢进行的理想化过程 ；
(3) 准静态过程在状态图上可用一条曲线表示,如图,
(2) 除一些进行得极快的过程（如爆炸过程）外,大多数情况下都可以把实际过程看成是准静态过程；
O V
p
图中每一个点代表一个平衡态，每一条曲线代表一个平衡过程。
6第十二章 气体动理论
理想气体状态方程：
1,理想气体：
玻意耳定律、查理定律、盖－吕萨克定律
2,理想气体状态方程：
任何情况下严格符合气体的 3个实验定律。（理想化模型）
（克拉珀龙方程）
m ol
mP V R T
M
概念
RT?P nKT
R—— 摩尔气体常量。 R=8.31J/mol.k
N0—— 阿佛加德罗常数。 N0=6.022× 1023/mol
K＝ R/N0—— 玻耳兹曼常数。 K=1.38× 10-23J/K
m—— 气体质量 Mmol—— 气体摩尔质量 ν—— 气体摩尔数
n—— 单位体积分子数
7第十二章 气体动理论
§ 12-1 分子运动的基本概念
§ 12-2 气体分子的热运动
§ 12-3 统计规律的特征
§ 12-5 麦克斯韦速率分布律
§ 12-6 温度的微观本质
§ 12-4 理想气体的压强公式第十二章 气体动理论
§ 12-7 能量均分定理
§ 12-8 玻耳兹曼分布律
§ 12-10 气体分子的碰撞和平均自由程
8第十二章 气体动理论一、分子热运动特征
(1) 在惯性支配下的自由运动。
永恒的运动、频繁的碰撞
(2) 分子间频繁的碰撞
(3) 单个分子：偶然的、无序的，其运动遵守力学规律
§ 12-2 气体分子的热运动
（每秒几十亿次）
分子迁移的很慢（如香水分子的扩散）
—— 这是作无规则热运动的分子频繁碰撞的结果。
整体,大量分子的热运动在整体上遵从确定的统计规律。
9第十二章 气体动理论
1,研究对象：大量偶然事件组成的整体
2,统计平均值二,统计规律的特征统计规律性 —— 大量偶然事件总体上所具有的确定的规律性。（与机械运动有着本质的区别）
N
MNMNM BBAA
BA NNN （大量的）
如：
xdN
N?
vi ixix NN vv ii N
N
2ix
2
x
v
v dNN
2
xv
21
2 iii N
N
21()
2 dN
N
10第十二章 气体动理论
3,概率的概念状态 A出现的概率 )(l i m NNW ANA
4,归一化概念把所有可能出现的状态的概率相加，其和应为 1。
—— 归一化条件1
i i
W
5,涨落由于微观状态千变万化，任一时刻统计平均值和实际测量值之间永远存在偏差，这种相对统计平均值出现偏差的现象即为涨落。
涨落是统计规律的一个重要特点。
统计规律必然伴随着涨落。
11第十二章 气体动理论三,伽尔顿板实验
若无小钉：必然事件若有小钉：偶然事件一个小球落在哪里有偶然性实验现象少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同
(2) 统计规律和涨落现象是分不开的。
结论
(1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律
12第十二章 气体动理论
§ 12-4 理想气体的压强公式宏观模型：
微观模型：
一、理想气体的模型统计假设：
在任何情况下严格符合气体三个实验定律。
大小不计，除碰撞瞬间没有相互作用力的弹性小球
②① ③
① 分子中心间距 >> 分子直径
② 二次碰撞间，分子作匀速直线运动；单个分子能量仅指动能，不考虑相互作用势能
③ 弹性碰撞，无能量损失平衡态下分子密度均匀分布，作热运动的分子向各方向运动的机会均等。
0x y z 222x y z 21
3
13第十二章 气体动理论二、压强公式求 A面压强：
压强 P—— 单位时间内，大量分子垂直作用于器壁单位面积的总冲量的统计平均值。
x
y
z
o
1l
2l
3l
A
ix?
分子总数为 N
容 积 V ＝ l1l2l3
分子质量 为 μ
分子数密度 n＝ N/V
1,一个分子与 A碰一次，分子动量改变
2 x （＝给 A面的冲量）
2,1s内一个分子与 A碰撞次数：
1
2xl?
给 A面的冲量：
x
1
2 2 xl
3,1s内 N个分子给 A面的冲量：
x
1
2 N 2 xI l
11
2 2
N
xi
xi
i
I l
4,根据压强定义：
2
2 3 1 2 3 1
N
xi
i
NIP
l l l l l N
2xn
14第十二章 气体动理论压强公式
2xPn
由统计假设：
221
3x
一个分子的平均平动动能：
21
2
213Pn
23Pn
结论：
1,压强 P是一个统计平均值,表征气体平衡态时宏观性质的物理量。只有对大量分子，压强公式才有意义。
2,压强公式是一个统计规律,表征宏观量 P与微观量 和n
的内在联系。
n?
每秒与壁单位面积碰撞次数增多每次碰撞分子施于壁的冲量增多 P?
15第十二章 气体动理论三、理想气体的温度公式理想气体状态方程,P nKT?
理想气体压强公式,2
3Pn
32 KT
2,分子平均平动动能只与温度 T有关，和气体种类无关。
1,上式给出宏观量 T和微观量 （单个分子平均动能）的关系，揭示了气体温度的统计意义。
T—— 气体分子平均平动动能的量度。
分子热运动剧烈程度的标志。
3,热力学温度零点永远不可能达到。
若 T=0，则 0 即热运动停止。
与分子运动论基本观点相矛盾。
16第十二章 气体动理论
§ 12-5 麦克斯韦速率分布律一、速率分布
宏观上足够小 —— 不计偏差，此区间内粒子速率均为?
微观上足够大 —— 区间内仍包含大量分子速率 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv …
分子数按速率的分布 ΔN1 ΔN2 … ΔNi …
分子数比率按速率的分布 ΔN1/N ΔN2/N … ΔNi/N …
17第十二章 气体动理论二、气体分子速率的实验测定能通过细槽的分子所满足的条件
LvvL 通过改变角速度 ω的大小，选择速率 v
改变细槽的宽度，选择不同的速率区间
vv 2L
18第十二章 气体动理论三、麦克斯韦速率分布律
—— 理想气体处于 平衡态时，各单位速率区间内分子数占总分子数的百分数按速率 υ的分布规律。
1,实验结论,?NNd )(vf vddN
N
与 υ和 dυ有关理想气体在平衡态下：
kTe
kTf
2/22/3 2)
π2(4)(
vvv
速率 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … v ～ v+dv …
分子数按速率的分布 dN1 dN2 … dN …
分子数比率按速率的分布 dN1/N dN2/N … dN/N …
19第十二章 气体动理论
—— 速率 v处单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
μ—— 一个分子的质量 k —— 玻尔兹曼常数
—— 麦克斯韦速率分布函数
2,f (υ) 的物理意义：
NNd )(vf vd
23 / 2 2 / 2( ) 4 ( )
2 π
kTfe
kT
vvv
vv d
d)(
N
Nf?
d( ) d Nf
N?vv
—— v～ v+dv 内的分子数占总分子数的百分比
( ) d dN f N?vv —— v～ v+dv 内的分子数
2
1
( )df vv —— v1～ v2 内的分子数占总分子数的百分比NN
0 ( )df
vv —— 整个速率区间内的分子数占总分子数的百分比
1?
20第十二章 气体动理论
xdN
N?
vi ixix NN vv ii N
N
2ix
2
x
v
v dNN
2
xv
21
2 iii N
N
21()
2dN dN
NN
—— 麦克斯韦速率分布函数
23 / 2 2 / 2( ) 4 ( )
2 π
kTfe
kT
vvv
速率 v处单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比物理意义,
vv d
d)(
N
Nf?
21第十二章 气体动理论
3,麦氏速率分布曲线,f(v)
vO v
( 速率分布曲线 )
由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。
N
Nd?vv d)(f
表示 速率分布 在 v～ v+ dv 中的 分子数占总分子数的百分数
v＋ dv··
N
Nf 2
1
d)(vv vv
1 v2
T
表示速率分布在 v1~v2 区间内的 分子数占总分子数的百分数
( ) d f0 vv
表示速率分布函数的归一化条件
小条面积：
宽条面积：
曲线下总面积,1?
22第十二章 气体动理论四、麦氏速率分布律的应用
1,最概然 （可几）速率 υp：
vO
T
( 速率分布曲线 )
pv
f(v)
0)(ddf令
2
p
kT?
得
2
mol
RT
M? 1,4 1 m o l
RT
M?
μ1
f(v)
vO
μ2(> μ1)
1pv2pv
T1f(v)
vO
T2(> T1)
1pv 2pv
23第十二章 气体动理论
2,利用 f (υ)求统计平均值：
平均速率
8 16
,π
k T RT
Mv
iiN
Nv 0 ( )d?
fvv
方均根速率
2 3 1 7 3,k T RT
μMv
22
0
3 ( ) d kTf
μv v v v
2
2 diiN N
NN
2v
)(vf
O Pv v 2v v
p 2?
)(?f
v
讨论分子的平均平动动能用 2v
讨论速率分布一般用 pv··
·讨论分子的碰撞次数用
pvvv2
d N
Nv
24第十二章 气体动理论讨论 1,下列各式的物理意义：
()f v ( )df vv
()Nf v ( )dNf vv
( )df0 vv
( ) dpNf0 vv
( )df
p
vv
2 ( ) dNf?
1 vv
( ) df0 v v v ( ) df 20 v v v 21 ( ) d
2 f
0 vv
2,υ1～ υ2 区间内分子的平均速率：
ii
i
vN
N
2
1
2
1
()
()
Nf
Nf
d
d
2
1
2
1
()
()
f
f
d
d
2
1
2
1
dN
dN
25第十二章 气体动理论
0v
a
有 N 个粒子，其速率分布函数为
0
00
00
20
2)(
0
vv
vvvv
vvvv
af
a
(1) 作速率分布曲线并求常数 a
(2) 速率大于 v0 和速率小于 v0 的粒子数解例求
)(vf
02v
03
2
v?a 12
1
00 aa vv
(1) 由归一化条件得
1dd 0
0
0 2
0 0
v
v
v vv
v
v aa
vO
(2)
2
3?
a0vNN
0v > v
NN 32
0v < v
1
3NN
26第十二章 气体动理论
§ 12-8 玻尔兹曼分布律一,重力场中粒子按高度的分布麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。
若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？
问题：
(非均匀的稳定分布 )
平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为
nkTp?
pp d?
p
hd
hgp dd
nkTp dd?
hgnp dd
h
h+dh
27第十二章 气体动理论
hgnnkT dd
hkTgnn dd
hnn hkT gnn 0 dd0?
kTghenn 0
nkTp? kTghep 0
hO
n
2T
1T
12 TT?
kTghk Ten 0
在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小,?越大,n减小越迅速； T 越高,n减小越缓慢。
式中 p0 是高度为零处的压强
0
m o lM g h RTpe
在 T均匀的条件下，大气压 P随 h按指数减小。
28第十二章 气体动理论二,玻尔兹曼分布
kTpenn 0
/ kTN C e
ghp
平衡态下温度为 T 的气体中，位于空间某一区间的分子数为
—— 玻耳兹曼分布律
kTghenn 0
它适用于任何形式的保守力场它表明，粒子总能量越大，该状态的粒子数越少。
—— 在温度为 T的平衡态下，处于保守场中的理想气体的分子数按能量的分布规律。
（玻耳兹曼因子）
从统计规律看，分子总是优先占据势能较低的状态。
29第十二章 气体动理论
§ 12-7 能量均分定理一,自由度 i
—— 确定一个物体在空间位置的独立坐标数。
1,自由运动质点的自由度 （平动自由度）
空间自由运动,i＝ 3
平面自由运动,i＝ 2
直线自由运动,i＝ 1
（如：飞机）
（如：轮船）
（如：汽车）
思考：
(1) 若质点在平面上作圆周运动,R2＝ x2＋ y2，
那么,i＝？
(2) 若质点在空间作曲线运动,i＝？
30第十二章 气体动理论
2,钢棒的自由度质心位置：
3i?平棒的方位取向：
2i?转
5i?
3,钢体的自由度质心位置：
3i?平轴的方位取向：
3i?转绕轴转动角度：
6i?
4,理想气体分子的自由度单原子分子,i＝ 3 （如 He,Ne,Ar,Kr…… ）
双原子分子,i＝ 5
多原子分子,i＝ 6
（如 H2,O2…… ）
（如 H2O,NH3…… ）
（ CO2除外）
31第十二章 气体动理论二,能量按自由度均分定理理想气体分子的平均平动动能为
213
22v k T
2222 21212121 zyx vvvv
kTzyx 21212121 222 vvv
结论,在温度为 T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均为 kT21 —— 能量按自由度均分定理。
气体分子平动时，
每个自由度上具有相同的热运动能量。
能量均分定理是分子热运动动能的统计规律。
设气体分子自由度为 i，则该分子的平均总能量为
2
i kT
32第十二章 气体动理论三,理想气体的内能内能
＝平动动能＋转动动能理想气体的内能
—— 系统中与热现象有关的那部分能量
1
2kT
—— 一个分子、一个自由度上具有的平均动能；
3
2kT
—— 一个分子的平均平动动能；
2
ikT —— 自由度为 i 的一个分子的平均动能；
0 2
iN kT? —— 自由度为 i 的 1mol理想气体的内能；
2
i RT?
22m ol
m i iR T R T
M
—— 自由度为 i 的 νmol 理想气体的内能；
22m o l
m i iE R T R T
M
33第十二章 气体动理论讨论 1,一定量的理想气体的内能完全取决于气体分子的自由度 i 和温度 T，而与气体的 P,V无关。
22m o l
m i iE R T R T
M
22m o l
m i iE R T R T
M
2,对同一种气体△ T相同,则△ E相同，与具体过程无关。
3,对不同气体，如均为 1mol的 He,O2,H2O，温度升高相同的△ T,则内能的增量△ E分别为：
He,O2,H2O：
3
2E R T 52E R T 62E R T
34第十二章 气体动理论
§ 12-10 气体分子的碰撞和平均自由程
0r
斥力引力
r
(分子力与分子间距离的关系 )
0rr?
0?f
0rr?
0rr?
分子力表现为斥力分子力表现为引力由 分子力与分子距离的关系，有
m10 100r ( 平衡位置 )
分子碰撞过程：
引力作用下，分子加速靠近
r0处引力为零，
仍具动能斥力作用下，
减速靠近设动能为零时,r＝ d —— 分子的有效直径
35第十二章 气体动理论一,平均自由程 平均碰撞频率自由程 l,一个分子连续二次碰撞之间通过的路程。
平均自由程,l 对大量分子、多次碰撞的统计平均值碰撞频率 Z,一个分子在 1s内和其它分子碰撞的次数。
（偶然的、不可预测的）
平均碰撞频率,z
z
l?二者关系：
二,和 的统计规律z l
1)同种分子 分子有效直径 md 1010~?
2)一个分子动 其余不动相对运动速度为
3)弹性碰撞
4) 分子数密度为 n
u
36第十二章 气体动理论
2πZ n d u?
单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为
2πn d u
平均碰撞频率为
21/ πn d u一个分子平均自由时间上述是假定一个分子运动的结果。考虑到所有分子实际上都在运动时。例如，一个分子速度,
另一分子速度,则相对速度
u
37第十二章 气体动理论
2 2 2 2u
取平均
2 2 2u
平均值为零忽略速率方均与均方的差别，则 2 2 2u
22 πZ n d? v
2
1
2 πZ dn
lv
当所有分子是全同时,。则2u
平均自由程平均碰撞频率
2 82 π
π
RTZ n d
用宏观量 p,T表示的 平均碰撞频率和平均自由程：
22 π
kT
dp
l?
38第十二章 气体动理论讨论 1,平衡态下，对确定的气体,是确定的值 。
lZ、
2,当平均速率 增大时，平均自由程 是否也随之增大？v l
ndZ 2π2
1 vl
估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率
m / s1070.1 3v
325 m107.2n
917,9 5 1 0 sZ
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次,
解例在标准状态下，有对氢气分子取,则102 1 0 md
第 12章结束
