1第七章 机械振动以振动平衡位置为坐标原点，振动方向为纵轴,t为横轴的 x - t 关系曲线。
2c o sx A t
T
3,振动曲线
o
x
t
T
A
x
0
旋转矢量振动方程振动曲线位移时间曲线不是运动轨迹
2第七章 机械振动
o
()x cm
()ts
1
3
3?
2 3
解例 已知振动曲线，求振动方程。
x
1 2
3A cm?
2Ts?
2 s
T
1 3 c o s( )2xt
2 2 3 c o s ( )xt
由振动曲线 1，
1
2
t＝ 0时,x0＝ 0,υ0 > 0
由振动曲线 2,t＝ 0时,x0＝－ 3,υ0＝ 0
3第七章 机械振动相位差 利用相位差可比较两个振动的步调是否一致
1 1 1c o s ( )x A t
2 2 2c o s ( )x A t
同方向、同频率振动
21( ) ( )tt21
（初相差）
1,超前和落后
t
x
O
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2若 =? 2-? 1> 0,则
x2 比 x1 早 达到正最大,称 x2 比 x1 超前
(或 x1 比 x2 落后 )。
4第七章 机械振动
2 k
两振动步调相同
( 2 1 )k
x
to
A1
-A1
A2
- A2
x1
x2 T同相
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
2,同相和反相两振动步调相反
5第七章 机械振动
A?
比较谐振动的 x,υ,a 的相位
c o s ( )x A t
s i n ( )At
2 c o s ( )a A t
πc o s
2At
2 c o s πAt
T
o
x
t
a
A2?
2
令可见：速度 υ比位移 x 相位超 π/2；加速度 a 比速度 υ相位超前 π/2；加速度 a 与位移 x 反相。
6第七章 机械振动例 一弹簧振子,m＝ 100g，把物体从平衡位置向下拉 10cm后释放，已知 T＝ 2s。求：
（ 1）物体第一次经过平衡位置时的速度，
（ 2）物体第一次在平衡位置上方 5cm处的加速度，
（ 3）物体从平衡位置下方 5cm处向上运动到平衡位置上方
5 cm处所需最短时间。
解 建立坐标如图，
o
x
10
10A cm?
2 ra d s
T
0
1 0 c o s ( ) ( )x t c m
（ 1） 1 0 s i n ( )t
2t
1 0 3 1,4 c m s
o x
7第七章 机械振动
o
x
10
（ 2）
1 0 c o s ( ) ( )x t c m
21 0 c o s ( )at
2
3t
o x10? 10
2 21 0 c o s( )
3a
225 c m s
（ 3）由旋转矢量图
o x10? 10
3
2
tT
2
Tt?
1
3s?
8第七章 机械振动四,几种常见的谐振动
1,单摆 o
由转动定理
MJ
mg
2
2
2s in
dm g l m l
dt
当 θ< 50时,sinθ≈θ
2
2 0
dg
d t l
（简谐振动）
g
l
2 2 lT
g
c o s ( )A t
角位移 角振幅设逆时针转动为正方向
9第七章 机械振动例 用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角 θ0，无初速度释放，偏角大小不同，（ 1）周期相同吗？（ 2）振幅 θA相同吗？（ 3） θ0是不是初相？ φ＝？
o
0?
解 单摆的振动方程：
c o s ( )A t
2 gT l —— 由系统决定
θA和 φ由初始条件决定
0 c o s ( )A
0 s i n ( )A
0A
（振幅）
初相,0
10第七章 机械振动
2,复摆设刚体对轴的转动惯量为 J，逆时针为正
MJ
5,s i n时
2
2
g 0mhd
Jdt
J
hm g
hm
JT
g2
（物理摆）
由转动定理
g s inm h J
（简谐振动）
令 2J mh?
可得 g
l
可见，单摆是复摆的特例
— 可绕固定光滑轴摆动的刚体
11第七章 机械振动五,谐振动的能量 （以弹簧振子为例）
1,动能 221 vmE k? )(s i n21 22 tkA
2
4
1d1 kAtE
TE
Tt
t kk
2,势能 221 kxE p? )(c o s2
1 22 tkA
3,机械能 221 kAEEE pk （简谐振动系统机械能守恒）
c o sx A t
s i nAt
2
m a x 2
1 kAE
k?
0m in?kE
PE
E
kE
PE
xO
21
2pE kx?
结论 1,系统的动能、势能都随 t作周期性变化，但系统总能量不变，且与振幅平方成正比。
结论 2,系统作一次全振动，能量转换 2次。即能量转化的周期
＝振动的周期的一半
21
4PE kA?
12第七章 机械振动例 质量为 m的平底船，底面积为 S，吃水深度为 h，不计水的阻力，求：船在竖直方向的振动周期 T。（水的密度为 ρ）
水面解 取水平面为坐标原点，
船上任意一点都可代表船的位置，取平衡时同水线上一点 P P
o
y
h建立动力学方程：
y
mg ()h y S g 2 2dym dt?
m g h S g
yS g 2 2dym dt?
2
2 0
d y S g y
mdt
2?
Sg
m
2 mT Sg
2 hg
（谐振动）
13第七章 机械振动例 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l,质量为 m,竖直部分杆长为 2l,质量为 2m,细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。
求 杆作微小摆动时的周期。
解
2g0
lmlkx?
g c o s 2 g sin2lM m m l
2( 2 g )M m l k l
0( ) c o sk x x l
cos 1
sin
xl
14第七章 机械振动
2
2
2
d ( 2 g )
d
θJ m l k l θ
t
222 32)2(
3
1
3
1 mllmmlJ ）（
2
2
d 2 g 0
d3
m k l
t m l
ml
klm
3
g2
klm
mlT
g2
3π2
) c o s (0 tω
2( 2 g )M m l k l
15第七章 机械振动能量的方法 (t 时刻系统的能量 )
22
0
1 1 1( ) g ( s in )
2 2 2E J k x x m l
2 g c o sml θ?
2
02 ()
g
c o s 2 g sin 0
2
dd
J k l x x
d t d t
m l d d
ml
d t d t
2
2
2 ( 2 g ) 0
dJ m l k l
dt
（ 其它步骤同上 ）
0dEdt∵ 系统能量守恒
16第七章 机械振动
§ 7-3 阻尼振动和受迫振动一,阻尼振动
k m
xo
x
F弹 性 f
阻 力
F k x弹 力 f阻 力动力学方程：
2
2
d x d xm k x
d t d t
阻尼系数,/2nm
固有角频率：
20 /km
2
2
02 20
d x dxnx
dt dt
解的形式？
17第七章 机械振动
220n1,
阻尼越小，越接近谐振动,阻尼越大，“周期”越长对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式欠阻尼振动 (小阻尼 )
2,22
0n
过阻尼振动 (大阻尼 )
3,22
0n
临界阻尼振动物体作振幅 A减小的振动。
物体回不到平衡位置，或可通过一次平衡位置，能量就消耗完了。
物体最快回到平衡位置。
过阻尼临界阻尼欠阻尼
x
t0
相对过阻尼，临界阻尼情况下，物体停于平衡位置所需时间最短。
18第七章 机械振动
2
2
02 2 c o s
xx x f t
tt
dd
dd
二,受迫振动振动系统在周期性驱动力的作用下的振动。
弹性力阻尼力周期性策动力
kx?
0 c o sF F t
dx
dt
2
02 c o s
xxm k x F t
tt
dd
2 m20 km 0Ff
m?
令
x
t
0 时，速度和振幅都达到极大，即发生共振
19第七章 机械振动小号吹出的波足以把玻璃杯振碎
20第七章 机械振动
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成同年 7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁
2c o sx A t
T
3,振动曲线
o
x
t
T
A
x
0
旋转矢量振动方程振动曲线位移时间曲线不是运动轨迹
2第七章 机械振动
o
()x cm
()ts
1
3
3?
2 3
解例 已知振动曲线，求振动方程。
x
1 2
3A cm?
2Ts?
2 s
T
1 3 c o s( )2xt
2 2 3 c o s ( )xt
由振动曲线 1，
1
2
t＝ 0时,x0＝ 0,υ0 > 0
由振动曲线 2,t＝ 0时,x0＝－ 3,υ0＝ 0
3第七章 机械振动相位差 利用相位差可比较两个振动的步调是否一致
1 1 1c o s ( )x A t
2 2 2c o s ( )x A t
同方向、同频率振动
21( ) ( )tt21
（初相差）
1,超前和落后
t
x
O
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2若 =? 2-? 1> 0,则
x2 比 x1 早 达到正最大,称 x2 比 x1 超前
(或 x1 比 x2 落后 )。
4第七章 机械振动
2 k
两振动步调相同
( 2 1 )k
x
to
A1
-A1
A2
- A2
x1
x2 T同相
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
2,同相和反相两振动步调相反
5第七章 机械振动
A?
比较谐振动的 x,υ,a 的相位
c o s ( )x A t
s i n ( )At
2 c o s ( )a A t
πc o s
2At
2 c o s πAt
T
o
x
t
a
A2?
2
令可见：速度 υ比位移 x 相位超 π/2；加速度 a 比速度 υ相位超前 π/2；加速度 a 与位移 x 反相。
6第七章 机械振动例 一弹簧振子,m＝ 100g，把物体从平衡位置向下拉 10cm后释放，已知 T＝ 2s。求：
（ 1）物体第一次经过平衡位置时的速度，
（ 2）物体第一次在平衡位置上方 5cm处的加速度，
（ 3）物体从平衡位置下方 5cm处向上运动到平衡位置上方
5 cm处所需最短时间。
解 建立坐标如图，
o
x
10
10A cm?
2 ra d s
T
0
1 0 c o s ( ) ( )x t c m
（ 1） 1 0 s i n ( )t
2t
1 0 3 1,4 c m s
o x
7第七章 机械振动
o
x
10
（ 2）
1 0 c o s ( ) ( )x t c m
21 0 c o s ( )at
2
3t
o x10? 10
2 21 0 c o s( )
3a
225 c m s
（ 3）由旋转矢量图
o x10? 10
3
2
tT
2
Tt?
1
3s?
8第七章 机械振动四,几种常见的谐振动
1,单摆 o
由转动定理
MJ
mg
2
2
2s in
dm g l m l
dt
当 θ< 50时,sinθ≈θ
2
2 0
dg
d t l
（简谐振动）
g
l
2 2 lT
g
c o s ( )A t
角位移 角振幅设逆时针转动为正方向
9第七章 机械振动例 用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角 θ0，无初速度释放，偏角大小不同，（ 1）周期相同吗？（ 2）振幅 θA相同吗？（ 3） θ0是不是初相？ φ＝？
o
0?
解 单摆的振动方程：
c o s ( )A t
2 gT l —— 由系统决定
θA和 φ由初始条件决定
0 c o s ( )A
0 s i n ( )A
0A
（振幅）
初相,0
10第七章 机械振动
2,复摆设刚体对轴的转动惯量为 J，逆时针为正
MJ
5,s i n时
2
2
g 0mhd
Jdt
J
hm g
hm
JT
g2
（物理摆）
由转动定理
g s inm h J
（简谐振动）
令 2J mh?
可得 g
l
可见，单摆是复摆的特例
— 可绕固定光滑轴摆动的刚体
11第七章 机械振动五,谐振动的能量 （以弹簧振子为例）
1,动能 221 vmE k? )(s i n21 22 tkA
2
4
1d1 kAtE
TE
Tt
t kk
2,势能 221 kxE p? )(c o s2
1 22 tkA
3,机械能 221 kAEEE pk （简谐振动系统机械能守恒）
c o sx A t
s i nAt
2
m a x 2
1 kAE
k?
0m in?kE
PE
E
kE
PE
xO
21
2pE kx?
结论 1,系统的动能、势能都随 t作周期性变化，但系统总能量不变，且与振幅平方成正比。
结论 2,系统作一次全振动，能量转换 2次。即能量转化的周期
＝振动的周期的一半
21
4PE kA?
12第七章 机械振动例 质量为 m的平底船，底面积为 S，吃水深度为 h，不计水的阻力，求：船在竖直方向的振动周期 T。（水的密度为 ρ）
水面解 取水平面为坐标原点，
船上任意一点都可代表船的位置，取平衡时同水线上一点 P P
o
y
h建立动力学方程：
y
mg ()h y S g 2 2dym dt?
m g h S g
yS g 2 2dym dt?
2
2 0
d y S g y
mdt
2?
Sg
m
2 mT Sg
2 hg
（谐振动）
13第七章 机械振动例 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l,质量为 m,竖直部分杆长为 2l,质量为 2m,细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。
求 杆作微小摆动时的周期。
解
2g0
lmlkx?
g c o s 2 g sin2lM m m l
2( 2 g )M m l k l
0( ) c o sk x x l
cos 1
sin
xl
14第七章 机械振动
2
2
2
d ( 2 g )
d
θJ m l k l θ
t
222 32)2(
3
1
3
1 mllmmlJ ）（
2
2
d 2 g 0
d3
m k l
t m l
ml
klm
3
g2
klm
mlT
g2
3π2
) c o s (0 tω
2( 2 g )M m l k l
15第七章 机械振动能量的方法 (t 时刻系统的能量 )
22
0
1 1 1( ) g ( s in )
2 2 2E J k x x m l
2 g c o sml θ?
2
02 ()
g
c o s 2 g sin 0
2
dd
J k l x x
d t d t
m l d d
ml
d t d t
2
2
2 ( 2 g ) 0
dJ m l k l
dt
（ 其它步骤同上 ）
0dEdt∵ 系统能量守恒
16第七章 机械振动
§ 7-3 阻尼振动和受迫振动一,阻尼振动
k m
xo
x
F弹 性 f
阻 力
F k x弹 力 f阻 力动力学方程：
2
2
d x d xm k x
d t d t
阻尼系数,/2nm
固有角频率：
20 /km
2
2
02 20
d x dxnx
dt dt
解的形式？
17第七章 机械振动
220n1,
阻尼越小，越接近谐振动,阻尼越大，“周期”越长对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式欠阻尼振动 (小阻尼 )
2,22
0n
过阻尼振动 (大阻尼 )
3,22
0n
临界阻尼振动物体作振幅 A减小的振动。
物体回不到平衡位置，或可通过一次平衡位置，能量就消耗完了。
物体最快回到平衡位置。
过阻尼临界阻尼欠阻尼
x
t0
相对过阻尼，临界阻尼情况下，物体停于平衡位置所需时间最短。
18第七章 机械振动
2
2
02 2 c o s
xx x f t
tt
dd
dd
二,受迫振动振动系统在周期性驱动力的作用下的振动。
弹性力阻尼力周期性策动力
kx?
0 c o sF F t
dx
dt
2
02 c o s
xxm k x F t
tt
dd
2 m20 km 0Ff
m?
令
x
t
0 时，速度和振幅都达到极大，即发生共振
19第七章 机械振动小号吹出的波足以把玻璃杯振碎
20第七章 机械振动
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成同年 7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁
