1第六章 刚体动力学
§ 6-2 定轴转动刚体的动能 动能定理一,转动动能 z?
O ir? iv
im?
设系统包括有 N 个质量元
,其动能为im?
2
2
1
iiki mE v
22
2
1?
iirm
2221?iikik rmEE
刚体的总动能
22
2
1
iirm
2
2
1?J?
P
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取
21
2m?
2第六章 刚体动力学二,力矩的功
O
r?
F?'r? r?d
d
由功的定义
d A dFr
s inF r d
r F d
—— 力矩作功的微分形式若刚体在外力 F作用下，角坐标从 θ1→ θ2
21 dMA
若 M = C )( 12 MA
PMd
—— 力矩作功的积分形式
sinF d s
3第六章 刚体动力学讨论
(2) 合力矩的功
i
i
i
i
i
i AMMA
2
1
2
1
dd
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功
(3) 一对内力矩对刚体作功之和为零
（平动中，一对内力作功之和一般不为零）
(4) 力矩的瞬时功率 d A M dPM
d t d t
力的瞬时功率 PF
(5) 功的正负M与 同向,A>0
M与 反向,A<0
4第六章 刚体动力学三,定轴转动的动能定理
MJ dJ dt
对于整个运动过程
2
1
2
1
M d J d
22
21
1122A J J kE
在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩所作功的总和，等于在该过程中刚体动能的增量。
—— 绕定轴转动刚体的 动能定理
—— 力矩的持续作用规律设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由 θ1→ θ2，
角速度 ω1 → ω2,由刚体转动定理：
M d J d
5第六章 刚体动力学四,刚体的重力势能
Cm ghJE
2
2
1?
iip ghmE
C
ii mg h
m
hmmg
刚体的机械能质心的势能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
ch
0?PE
C im
ih
结论：刚体的重力势能即刚体的全部质量集中在质心上相对于势能零点具有的势能。
6第六章 刚体动力学一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，棒在水平位置由静止释放，
解二：
c o s21 m g lM?
00 dc o s2d mglMA
动能定理
021 2J 0s in2lm g
l
g sin32?
2
3
1 mlJ?
21)s in3( /
l
g
O lm
C
x
mg
例求 细棒下摆至 θ时的 ω
合外力矩 +
7第六章 刚体动力学
O lm
C
x
mg
+
解三,功能原理研究对象,细棒＋轴＋地球
∴ 系统机械能 E守恒取 O点所在位置为重力势能零点状态 1,
状态 2：
00?
( s in )2lmg212 J?
211 s i n 022J m g l
2
33s in s in s inm g l m g l g
Jl ml
213J m l?
8第六章 刚体动力学均质圆盘（ M,R）系一质量为 m的物体，在重力矩作用下加速运动。开始时系统处于静止。
求 物体下降距离为 s时，滑轮的 ω和 β。
解一：
例
R
M
m
转动定律 +
M 转动：
Mg
T
mg
T’
212T R J M R
m 平动,m g T m a aR
2
(2 )
mg
m M R
22
0 22
sR 2 2 2 m g ssR R m M
T1
（常量）
9第六章 刚体动力学解二：
R
M
m
动能定理
+
Mg
T
mg
T’
T1
研究对象,M＋ m （转动＋平动）
kA A E外 内 ＝
A A m g s外 内
221122
kE m J
2 2 2 21124m R M R
2
2
m g s
R m M
（并非匀速）
ddt 21
2 2
mg ds
R m M d ts
2
(2 )
mg
m M R
10第六章 刚体动力学解三：
R
M
m
功能原理
+
Mg
T
mg
T’
T1
研究对象,M＋ m＋地球
A A E外 非 内 ＝
∴ 系统机械能守恒取 m下落 s处为重力势能零点
s
EP＝ 0
状态 1：
状态 2：
PME m g s?
221122
PMm J E
212J M R? R
2
2
m g s
R m M
2
( 2 )
mg
m M R
11第六章 刚体动力学图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体 A装在转动架上，转轴 Z上装一半径为 r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。
重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为 t，
例解 01?PE 01?kE
22 222 /J/mE Zk v
)2()( 222 r/Jmr Z v
分析（机械能）：
m ghE P2
求 物体 A对 Z 轴的转动惯量 Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。
12第六章 刚体动力学
)(2 222 ZJmrrmgh v
)(2 1dd2dd 22 ZJmrrtthmg vv
atth dddd vv,
)12( 22 hgtmrJ Z 22
2
2
2
1
2
1 t
Jmr
mg rath
Z?
常量
ZJmr
mg ra
2
2
0)2()( 222 r/Jmrm gh Zv机械能守恒
13第六章 刚体动力学
§ 6-3 角动量和角动量守恒定律质点力学：
2
1
21
t
t F d t m m
刚体力学：能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态？
例
ω 静止时,0iim 0iim
转动时,0iim
结论：
无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。
即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态，
必须引入新的物理量 —— 角动量（动量矩）
14第六章 刚体动力学一,质点的角动量（动量矩）
v mrPrL O
其大小
s ins in vmrrpL O
特例：质点作圆周运动 vmrrpL
OL?
O? r?P?
S
1,定点：
2,定轴：
质点对 z轴的角动量，就是质点对 z轴与转动平面的交点 O
点的角动量
zL r P r m v
2zzL r m r m J
15第六章 刚体动力学质点对圆心的角动量。例质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态
r m?
o
L
行星在椭圆轨道上的角动量。
o 1r2r
1m?
2m?
直线运动的物体对 O点的角动量。
x
o
1r
2r
1m? 2m?
抛出物体对 O点的角动量。
x
y
o
r
m?
§ 6-2 定轴转动刚体的动能 动能定理一,转动动能 z?
O ir? iv
im?
设系统包括有 N 个质量元
,其动能为im?
2
2
1
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22
2
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刚体的总动能
22
2
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2
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P
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取
21
2m?
2第六章 刚体动力学二,力矩的功
O
r?
F?'r? r?d
d
由功的定义
d A dFr
s inF r d
r F d
—— 力矩作功的微分形式若刚体在外力 F作用下，角坐标从 θ1→ θ2
21 dMA
若 M = C )( 12 MA
PMd
—— 力矩作功的积分形式
sinF d s
3第六章 刚体动力学讨论
(2) 合力矩的功
i
i
i
i
i
i AMMA
2
1
2
1
dd
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功
(3) 一对内力矩对刚体作功之和为零
（平动中，一对内力作功之和一般不为零）
(4) 力矩的瞬时功率 d A M dPM
d t d t
力的瞬时功率 PF
(5) 功的正负M与 同向,A>0
M与 反向,A<0
4第六章 刚体动力学三,定轴转动的动能定理
MJ dJ dt
对于整个运动过程
2
1
2
1
M d J d
22
21
1122A J J kE
在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩所作功的总和，等于在该过程中刚体动能的增量。
—— 绕定轴转动刚体的 动能定理
—— 力矩的持续作用规律设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由 θ1→ θ2，
角速度 ω1 → ω2,由刚体转动定理：
M d J d
5第六章 刚体动力学四,刚体的重力势能
Cm ghJE
2
2
1?
iip ghmE
C
ii mg h
m
hmmg
刚体的机械能质心的势能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
ch
0?PE
C im
ih
结论：刚体的重力势能即刚体的全部质量集中在质心上相对于势能零点具有的势能。
6第六章 刚体动力学一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，棒在水平位置由静止释放，
解二：
c o s21 m g lM?
00 dc o s2d mglMA
动能定理
021 2J 0s in2lm g
l
g sin32?
2
3
1 mlJ?
21)s in3( /
l
g
O lm
C
x
mg
例求 细棒下摆至 θ时的 ω
合外力矩 +
7第六章 刚体动力学
O lm
C
x
mg
+
解三,功能原理研究对象,细棒＋轴＋地球
∴ 系统机械能 E守恒取 O点所在位置为重力势能零点状态 1,
状态 2：
00?
( s in )2lmg212 J?
211 s i n 022J m g l
2
33s in s in s inm g l m g l g
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213J m l?
8第六章 刚体动力学均质圆盘（ M,R）系一质量为 m的物体，在重力矩作用下加速运动。开始时系统处于静止。
求 物体下降距离为 s时，滑轮的 ω和 β。
解一：
例
R
M
m
转动定律 +
M 转动：
Mg
T
mg
T’
212T R J M R
m 平动,m g T m a aR
2
(2 )
mg
m M R
22
0 22
sR 2 2 2 m g ssR R m M
T1
（常量）
9第六章 刚体动力学解二：
R
M
m
动能定理
+
Mg
T
mg
T’
T1
研究对象,M＋ m （转动＋平动）
kA A E外 内 ＝
A A m g s外 内
221122
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2 2 2 21124m R M R
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（并非匀速）
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10第六章 刚体动力学解三：
R
M
m
功能原理
+
Mg
T
mg
T’
T1
研究对象,M＋ m＋地球
A A E外 非 内 ＝
∴ 系统机械能守恒取 m下落 s处为重力势能零点
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EP＝ 0
状态 1：
状态 2：
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221122
PMm J E
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11第六章 刚体动力学图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体 A装在转动架上，转轴 Z上装一半径为 r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。
重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为 t，
例解 01?PE 01?kE
22 222 /J/mE Zk v
)2()( 222 r/Jmr Z v
分析（机械能）：
m ghE P2
求 物体 A对 Z 轴的转动惯量 Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。
12第六章 刚体动力学
)(2 222 ZJmrrmgh v
)(2 1dd2dd 22 ZJmrrtthmg vv
atth dddd vv,
)12( 22 hgtmrJ Z 22
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2
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Jmr
mg rath
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常量
ZJmr
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2
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13第六章 刚体动力学
§ 6-3 角动量和角动量守恒定律质点力学：
2
1
21
t
t F d t m m
刚体力学：能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态？
例
ω 静止时,0iim 0iim
转动时,0iim
结论：
无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。
即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态，
必须引入新的物理量 —— 角动量（动量矩）
14第六章 刚体动力学一,质点的角动量（动量矩）
v mrPrL O
其大小
s ins in vmrrpL O
特例：质点作圆周运动 vmrrpL
OL?
O? r?P?
S
1,定点：
2,定轴：
质点对 z轴的角动量，就是质点对 z轴与转动平面的交点 O
点的角动量
zL r P r m v
2zzL r m r m J
15第六章 刚体动力学质点对圆心的角动量。例质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态
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行星在椭圆轨道上的角动量。
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1m?
2m?
直线运动的物体对 O点的角动量。
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抛出物体对 O点的角动量。
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