1第六章 刚体动力学
§ 6-3 角动量和角动量守恒定律质点力学：
2
1
21
t
t F d t m m
刚体力学：能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态？
例
ω 静止时,0iim 0iim
转动时,0iim
结论：
无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。
即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态，
必须引入新的物理量 —— 角动量（动量矩）
2第六章 刚体动力学一,质点的角动量（动量矩）
v mrPrL O
其大小
s i ns i n vmrrpL O
特例：质点作圆周运动 vmrrpL
OL?
O? r?P?
S
1,定点：
2,定轴：
质点对 z轴的角动量，就是质点对 z轴与转动平面的交点 O
点的角动量
zL r P r m v
2zzL r m r m J
3第六章 刚体动力学质点对圆心的角动量。例质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态
r m?
o
L
行星在椭圆轨道上的角动量。
o 1r2r
1m?
2m?
直线运动的物体对 O点的角动量。
x
o
1r
2r
1m? 2m?
抛出物体对 O点的角动量。
x
y
o
r
m?
4第六章 刚体动力学
0F?当 时,P 守 恒
0M?当 时，
(质点角动量定理的积分形式 )
2
1 21
t
t F d t P P
d L d rmd t d t v ()d m d rrm
d t d t
v
Fdt dP?
dPF
dt?
二,质点的角动量定理和角动量守恒定律
0 vv mMFr
dLM
dt?
M dt dL?
2
1 21
t
t M d t L L
(质点角动量定理的微分形式 )
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量
L 守 恒 —— 角动量守恒定律
5第六章 刚体动力学
(2) 通常对有心力：
例如 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律
(1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用
1 s in
222
d r r dS
mm
d t d t
s in s indrL m r m rdtv
讨论行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
F?过 O点,M=0,角动量守恒
m
r? dr
6第六章 刚体动力学三,刚体作定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体各质点对 Z 轴的角动量方向相同
i 2iirm?ZJ?
im?
ir? iv
O(所有质元的角动量之和 )
Z
ZZ JL?
i v iiiZ rmL?
1,刚体定轴转动的角动量
2,刚体定轴转动的角动量定理
22
11 21
d d ( ) ( )t zt M t J J J
（角动量定理积分形式）
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量
()M d t d L d J （角动量定理微分形式）
7第六章 刚体动力学
3,刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?zM 0L 常量?Jω
若 定轴转动刚体所受合外力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。
1） J,ω均不变
回转仪
2） J,ω均变，但 L＝ Jω不变
茹可夫斯基凳
花样滑冰 跳水
mm
ω
1r
2r
旋转刚体
8第六章 刚体动力学均质细杆 (l,m)，一端悬挂，可在竖直面内自由转动。开始时处于静止，在杆的中心作一冲量 I，方向垂直于杆。求冲量作用结束时，杆获得的角速度。（假定冲量作用时间极短，在冲量作用的整个过程中杆不发生位移）
例解
O
I
已知：
F dt I （杆中心受的冲量）
重力不产生力矩,F对 O点产生力矩 M，
该段时间内，力矩的冲量矩为：
M dt
由刚体角动量定理,0
2
lIJ
2
Il
J
3
2
I
Ml
2
lF dt
2
lI
9第六章 刚体动力学测子弹速度例
1、子弹击中沙摆，沙摆在平面内运动。
已知 m,M,l,θ
θ
（完全非弹性碰撞）
碰撞在原静止处完成，水平方向 P守恒
0 ()m M m
摆上升过程中,E守恒 21 ( ) ( ) ( 1 c o s )
2 M m M m g l
2、子弹击中木杆，木杆作定轴转动。
已知 m,M,l,θ
θ碰撞在原静止处完成,M＝ 0,L守恒
22
0
1()
3m l M l m l杆向上摆过程中,E守恒
2 2 211()
23 M l m l ( 1 c o s ) ( 1 c o s )2
lM g m g l
10第六章 刚体动力学相对运动例
1、一人 m静止在船 M上,M＋ m以 υ0向右前进，当 m相对于船
M以 υ向左运动时,M的速度 V＝？
0?
研究对象：人 m＋船 M
水平方向：动量 P守恒惯性参考系中
0( ) ( )M m m V M V
2、一人 m静止在圆盘 (R,M)边缘，以共同的速度 ω0转动，当人相对于盘以 υ反向作圆运动时,M的 ω＝？
0?研究对象：人 m＋盘 M
M＝ 0，角动量 L守恒 惯性参考系中
2 2 2 2
0
11( ) ( )
22M R m R M R m R R
11第六章 刚体动力学圆形平板 R，平板与水平桌面间摩擦系数 μ，圆板绕过中心且垂直于板面的固定轴以 ω0旋转，去掉外力后，圆板将旋转多少圈后停止？需用多少时间？
例
0?
解一,r
dr
Mf→β →θ →n
设圆盘总质量为 m
fd M r d m g 22 mr r d r gR
总的力矩：
20 2
R
f
mM r r d r g
R
2
3 m g R
（恒力矩）
转动定理：
fM
J
4
3
g
R
22003
28
R
g
2
03
2 1 6
Rn
g
003
4
Rt
g
12第六章 刚体动力学
0?
r
dr
解二：
由转动动能定理：
2
3fM m g R
22
00
11
22fM d J J
2
3 m g R
22
0
1
4 mR
2
03
8
R
g
2
03
2 1 6
Rn
g
由角动量定理：
2
1 0
t
ft M d t J J
2
3 m g R t
2
0
1
2 mR
03
4
Rt
g
13第六章 刚体动力学
§ 6-4 进动
O
L
mg
M
dL
Ω陀螺的自旋角动量为
LJ
M dt dL? //dL M
当 ML? 时则 只改变方向，不改变大小（进动）L
高速自转的刚体在外力矩作用下自转轴绕另一轴转动的现象称为 进动角动量定理
14第六章 刚体动力学
O
Ω?
L?
sinL d?
进动角速度 Ω
sind L L d
而且
M dt dL?
s inM d t d L L d
所以
1
s ins in
MMd
Ω
d t JL
Ω?
以上只是近似讨论，只适用高速自转，即角动量定理
Ω
L?d
§ 6-3 角动量和角动量守恒定律质点力学：
2
1
21
t
t F d t m m
刚体力学：能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态？
例
ω 静止时,0iim 0iim
转动时,0iim
结论：
无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。
即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态，
必须引入新的物理量 —— 角动量（动量矩）
2第六章 刚体动力学一,质点的角动量（动量矩）
v mrPrL O
其大小
s i ns i n vmrrpL O
特例：质点作圆周运动 vmrrpL
OL?
O? r?P?
S
1,定点：
2,定轴：
质点对 z轴的角动量，就是质点对 z轴与转动平面的交点 O
点的角动量
zL r P r m v
2zzL r m r m J
3第六章 刚体动力学质点对圆心的角动量。例质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态
r m?
o
L
行星在椭圆轨道上的角动量。
o 1r2r
1m?
2m?
直线运动的物体对 O点的角动量。
x
o
1r
2r
1m? 2m?
抛出物体对 O点的角动量。
x
y
o
r
m?
4第六章 刚体动力学
0F?当 时,P 守 恒
0M?当 时，
(质点角动量定理的积分形式 )
2
1 21
t
t F d t P P
d L d rmd t d t v ()d m d rrm
d t d t
v
Fdt dP?
dPF
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二,质点的角动量定理和角动量守恒定律
0 vv mMFr
dLM
dt?
M dt dL?
2
1 21
t
t M d t L L
(质点角动量定理的微分形式 )
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量
L 守 恒 —— 角动量守恒定律
5第六章 刚体动力学
(2) 通常对有心力：
例如 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律
(1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用
1 s in
222
d r r dS
mm
d t d t
s in s indrL m r m rdtv
讨论行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
F?过 O点,M=0,角动量守恒
m
r? dr
6第六章 刚体动力学三,刚体作定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体各质点对 Z 轴的角动量方向相同
i 2iirm?ZJ?
im?
ir? iv
O(所有质元的角动量之和 )
Z
ZZ JL?
i v iiiZ rmL?
1,刚体定轴转动的角动量
2,刚体定轴转动的角动量定理
22
11 21
d d ( ) ( )t zt M t J J J
（角动量定理积分形式）
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量
()M d t d L d J （角动量定理微分形式）
7第六章 刚体动力学
3,刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?zM 0L 常量?Jω
若 定轴转动刚体所受合外力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。
1） J,ω均不变
回转仪
2） J,ω均变，但 L＝ Jω不变
茹可夫斯基凳
花样滑冰 跳水
mm
ω
1r
2r
旋转刚体
8第六章 刚体动力学均质细杆 (l,m)，一端悬挂，可在竖直面内自由转动。开始时处于静止，在杆的中心作一冲量 I，方向垂直于杆。求冲量作用结束时，杆获得的角速度。（假定冲量作用时间极短，在冲量作用的整个过程中杆不发生位移）
例解
O
I
已知：
F dt I （杆中心受的冲量）
重力不产生力矩,F对 O点产生力矩 M，
该段时间内，力矩的冲量矩为：
M dt
由刚体角动量定理,0
2
lIJ
2
Il
J
3
2
I
Ml
2
lF dt
2
lI
9第六章 刚体动力学测子弹速度例
1、子弹击中沙摆，沙摆在平面内运动。
已知 m,M,l,θ
θ
（完全非弹性碰撞）
碰撞在原静止处完成，水平方向 P守恒
0 ()m M m
摆上升过程中,E守恒 21 ( ) ( ) ( 1 c o s )
2 M m M m g l
2、子弹击中木杆，木杆作定轴转动。
已知 m,M,l,θ
θ碰撞在原静止处完成,M＝ 0,L守恒
22
0
1()
3m l M l m l杆向上摆过程中,E守恒
2 2 211()
23 M l m l ( 1 c o s ) ( 1 c o s )2
lM g m g l
10第六章 刚体动力学相对运动例
1、一人 m静止在船 M上,M＋ m以 υ0向右前进，当 m相对于船
M以 υ向左运动时,M的速度 V＝？
0?
研究对象：人 m＋船 M
水平方向：动量 P守恒惯性参考系中
0( ) ( )M m m V M V
2、一人 m静止在圆盘 (R,M)边缘，以共同的速度 ω0转动，当人相对于盘以 υ反向作圆运动时,M的 ω＝？
0?研究对象：人 m＋盘 M
M＝ 0，角动量 L守恒 惯性参考系中
2 2 2 2
0
11( ) ( )
22M R m R M R m R R
11第六章 刚体动力学圆形平板 R，平板与水平桌面间摩擦系数 μ，圆板绕过中心且垂直于板面的固定轴以 ω0旋转，去掉外力后，圆板将旋转多少圈后停止？需用多少时间？
例
0?
解一,r
dr
Mf→β →θ →n
设圆盘总质量为 m
fd M r d m g 22 mr r d r gR
总的力矩：
20 2
R
f
mM r r d r g
R
2
3 m g R
（恒力矩）
转动定理：
fM
J
4
3
g
R
22003
28
R
g
2
03
2 1 6
Rn
g
003
4
Rt
g
12第六章 刚体动力学
0?
r
dr
解二：
由转动动能定理：
2
3fM m g R
22
00
11
22fM d J J
2
3 m g R
22
0
1
4 mR
2
03
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g
2
03
2 1 6
Rn
g
由角动量定理：
2
1 0
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ft M d t J J
2
3 m g R t
2
0
1
2 mR
03
4
Rt
g
13第六章 刚体动力学
§ 6-4 进动
O
L
mg
M
dL
Ω陀螺的自旋角动量为
LJ
M dt dL? //dL M
当 ML? 时则 只改变方向，不改变大小（进动）L
高速自转的刚体在外力矩作用下自转轴绕另一轴转动的现象称为 进动角动量定理
14第六章 刚体动力学
O
Ω?
L?
sinL d?
进动角速度 Ω
sind L L d
而且
M dt dL?
s inM d t d L L d
所以
1
s ins in
MMd
Ω
d t JL
Ω?
以上只是近似讨论，只适用高速自转，即角动量定理
Ω
L?d
