1第十三章 机械波波源
S1
波源
S2
1,相干条件频率相同（简称 同频率 ） 振动方向相同（简称 同方向 ）
相位差恒定（简称 相差恒定 ）
2.波场中的强度分布
1 1 1 0 1
2 2 2 0 2
S c o s ( )
S c o s ( )
y A t
y A t
振动振动
P1
r
2r两振源在场点 P产生的谐振动分别为
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
场点 P是两个同方向、同频率的 S.H.V.的合成结果取决于两振动的相位差二、波的干涉
2第十三章 机械波
2 1 2 12 πΔ rr两谐振动的相差
221 2 1 22 c o sA A A A A
由于在波场中确定点有确定的相位差，所以每一点都有确定的 A。 从而在波场中形成了稳定的强度分布。
干涉的特点,强度分布稳定合成的振幅波的强度?
1 2 1 22 c o sI I I I I
12 c o s ( )y y y A t
该点合振动：
何处强？何处弱？
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
3第十三章 机械波
(1)当 21
21
2 ( ) 2rr k
,k=0,1,2,振动加强
(3)如
2 1 1 20
，即波源 S1,S2为同相,则：
122 ( )rr
{
(2 1)k
加强减弱
2k
波程差
12rr
2
{
(2 1) 2k
k? 加强减弱
12A A A
12A A A
(2)当 21
21
2 ( ) ( 2 1 )rr k
,k=0,1,2,振动减弱
12A A A 2m a x 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
12A A A
2m i n 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
4第十三章 机械波
A,B 为两相干波源，距离为 30 m,振幅相同,? 相同，
初相差为?,u = 400 m/s,f =100 Hz 。
例
A,B 连线上因干涉而静止的各点位置。求：
m 3012 rr?
解,
BAP
30mm 4
f
u?
14 π2 π 2 ππ π 30
16 π4
（ P 在 A 左侧）
（ P 在 B 右侧）
maxII? (在 两侧 干涉相长,不会出现静止点 )
r1
r2
若 P 在 A,B 中间 12 rr 1121 2302 rrrr
由题意
π2π 1ππ14 r π)12( k干涉相消
)12(141 kr 7,2,1,0k
(在 AB 之间距离 A 点为 1,3,5,…,29 m 处出现静止点 )
如果 P 在 A,B 两侧
5第十三章 机械波
§ 13-6 驻波一、形成驻波的条件波形不传播，是媒质质元的一种集体振动状态。
驻波由两列同振幅、传播方向相反的相干波（同方向、
同频率、相差恒定）叠加而成。
二、驻波方程设二列波的波动方程,1 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
u
2 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
ut＝ 0时，二波形重合二波叠加，则任一点振动位移
12 2 c o s c o sy y y A k x t
—— 驻波方程
6第十三章 机械波
0t?
u
u
4
Tt?
u
u
2
Tt?
u
u
3
4
Tt?
u
u
y
x
y
x
2A
y
x
2A
y
x
7第十三章 机械波
12 2 c o s c o sy y y A k x t
1,频率特点
02 c o s c o sy A t k x
各质点均以同频率作谐振动
（不同时刻，波形相同，但波幅大小不同）
三、驻波的特点固定时间 t＝ t0，即得 t0时的波形曲线方程2,波形特点
波形呈余弦函数分布，但波幅随时间变化。
8第十三章 机械波固定质点 x＝ x0，即得 x0处的振动方程
02 c o s c o sy A k x t
振幅是质点位置的函数，在波动的一个周期内，引起各质点的振幅不同。
波节波腹
3,振幅特点
波腹位置,2
k x x k
1
2xk
0,1,2k
波节位置,2 ( 2 1 )
2k x x k
(2 1) 4xk
相邻两节点、腹点间距离为,,
2
9第十三章 机械波
4,相位特点
to
同相
所有波节点将媒质划分为长 的许多段，2/?
同一分段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；
相邻段间各质点的振动相位相反 ;
驻波中不存在相位的传播。
（同时达到最大，同时回到平衡位置）
行波：各点振幅相同，但相位不同，依次达到最大
10第十三章 机械波
5,能量特点
驻波没有能量的定向传播。 能量只是在波节和波腹之间，
进行动能和势能的转化。
0t?
4
Tt?
2
Tt?
势能动能势能
11第十三章 机械波四、半波损失半波损失 —— 入射波在反射点振动相位与反射波在反射点振动相位相反的现象。
入射波反射波
x
实验表明：当波由波疏介质入射到波密介质，再返回波疏介质时，在反射点将发生半波损失。
若反射时无能量损失，则入射波和反射波合成产生驻波。
x
疏 密
x
疏密有半波损失固定端波节无半波损失自由端波腹
12第十三章 机械波有一波在固定端 x=0处 反射,设入 射波方程：
c o s 2 ( )txyA T入
x
y
o
入反无能量损失，求 反 射波波动方程、驻波方程、腹点、节点解：
例入射波在 o点的振动方程：
o c o s ( 2 )
tyA
T
反射波在 o点的振动方程：
o c o s ( 2 )
tyA
T
半波损失反射波的波动方程：
c o s [ 2 ( ) ]txyA T反合成驻波方程,y y y
入 反 2 c o s ( 2 ) c o s ( 2 )
22
xtA
T
2 2x k
腹点：
节点,2 ( 2 1 )
22
x k
0,1,2,324x k k
0,1,22x k k
13第十三章 机械波例：有一平面正弦波沿 X轴正向传播，
c o s ( 2 2 )txyA T
在 x=L处反射，设波从波疏介质上射入波密介质，波在传播中振幅不变。
求,(1)合成驻波的方程
(2)波腹波节的位置解,c o s ( 2 2 )txyA
T入
B点振动方程：
2c o s ( 2 )
B
tLyA
T
P点振动方程：
c o s ( 2 4 2 )t L xA T
2c o s [ 2 ]2 ( )tLyA
T
Lx
反
y
xo B
L
p
u
密疏反射波 B点振动方程,2c o s ( 2 )
B
tLyA
T
反 －
14第十三章 机械波
(1)合成驻波方程,y y y
入 反腹点
c o s( 2 2 ) 12Lx22 2Lx k
( 2 1 ) 0,1,24x L k k
节点
c o s ( 2 2 ) 02Lx2 2 ( 2 1 )22Lx k
0,1,22x L k k
c o s ( 2 2 ) c o s ( 2 4 2 )t x t L xAA TT＋
2 c o s ( 2 2 ) c o s ( 2 2 )22t L L xyA T
(2)
15第十三章 机械波五、有界弦（腔）的驻波 简正模式
1,两端固定限定：两端为波节
,2,12 nnl?
可能的模式简正模式
l
1
2l
22
2l
33
2l
特定的振动方式称为系统的简正模式。
16第十三章 机械波
2.一端固定 一端开口开口端 (自由端 )是波腹
2 1 ( 0,1,2,)2 4 4l n n n
l 至少是四分之一波长固定端是波节
1
4l
23
4l
35
4l
l
乐器 (共振腔 )
激光器 (纵模 )
波导管
l
S1
波源
S2
1,相干条件频率相同（简称 同频率 ） 振动方向相同（简称 同方向 ）
相位差恒定（简称 相差恒定 ）
2.波场中的强度分布
1 1 1 0 1
2 2 2 0 2
S c o s ( )
S c o s ( )
y A t
y A t
振动振动
P1
r
2r两振源在场点 P产生的谐振动分别为
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
场点 P是两个同方向、同频率的 S.H.V.的合成结果取决于两振动的相位差二、波的干涉
2第十三章 机械波
2 1 2 12 πΔ rr两谐振动的相差
221 2 1 22 c o sA A A A A
由于在波场中确定点有确定的相位差，所以每一点都有确定的 A。 从而在波场中形成了稳定的强度分布。
干涉的特点,强度分布稳定合成的振幅波的强度?
1 2 1 22 c o sI I I I I
12 c o s ( )y y y A t
该点合振动：
何处强？何处弱？
1 1 1 1 2 2 2 2
2 π 2 πc o s c o s
PPy A t r y A t r
3第十三章 机械波
(1)当 21
21
2 ( ) 2rr k
,k=0,1,2,振动加强
(3)如
2 1 1 20
，即波源 S1,S2为同相,则：
122 ( )rr
{
(2 1)k
加强减弱
2k
波程差
12rr
2
{
(2 1) 2k
k? 加强减弱
12A A A
12A A A
(2)当 21
21
2 ( ) ( 2 1 )rr k
,k=0,1,2,振动减弱
12A A A 2m a x 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
12A A A
2m i n 1 2 1 2 1 22 ( )I I I I I I I
4第十三章 机械波
A,B 为两相干波源，距离为 30 m,振幅相同,? 相同，
初相差为?,u = 400 m/s,f =100 Hz 。
例
A,B 连线上因干涉而静止的各点位置。求：
m 3012 rr?
解,
BAP
30mm 4
f
u?
14 π2 π 2 ππ π 30
16 π4
（ P 在 A 左侧）
（ P 在 B 右侧）
maxII? (在 两侧 干涉相长,不会出现静止点 )
r1
r2
若 P 在 A,B 中间 12 rr 1121 2302 rrrr
由题意
π2π 1ππ14 r π)12( k干涉相消
)12(141 kr 7,2,1,0k
(在 AB 之间距离 A 点为 1,3,5,…,29 m 处出现静止点 )
如果 P 在 A,B 两侧
5第十三章 机械波
§ 13-6 驻波一、形成驻波的条件波形不传播，是媒质质元的一种集体振动状态。
驻波由两列同振幅、传播方向相反的相干波（同方向、
同频率、相差恒定）叠加而成。
二、驻波方程设二列波的波动方程,1 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
u
2 c o s [ ( ) ] c o s ( )
xy A t A t k x
ut＝ 0时，二波形重合二波叠加，则任一点振动位移
12 2 c o s c o sy y y A k x t
—— 驻波方程
6第十三章 机械波
0t?
u
u
4
Tt?
u
u
2
Tt?
u
u
3
4
Tt?
u
u
y
x
y
x
2A
y
x
2A
y
x
7第十三章 机械波
12 2 c o s c o sy y y A k x t
1,频率特点
02 c o s c o sy A t k x
各质点均以同频率作谐振动
（不同时刻，波形相同，但波幅大小不同）
三、驻波的特点固定时间 t＝ t0，即得 t0时的波形曲线方程2,波形特点
波形呈余弦函数分布，但波幅随时间变化。
8第十三章 机械波固定质点 x＝ x0，即得 x0处的振动方程
02 c o s c o sy A k x t
振幅是质点位置的函数，在波动的一个周期内，引起各质点的振幅不同。
波节波腹
3,振幅特点
波腹位置,2
k x x k
1
2xk
0,1,2k
波节位置,2 ( 2 1 )
2k x x k
(2 1) 4xk
相邻两节点、腹点间距离为,,
2
9第十三章 机械波
4,相位特点
to
同相
所有波节点将媒质划分为长 的许多段，2/?
同一分段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；
相邻段间各质点的振动相位相反 ;
驻波中不存在相位的传播。
（同时达到最大，同时回到平衡位置）
行波：各点振幅相同，但相位不同，依次达到最大
10第十三章 机械波
5,能量特点
驻波没有能量的定向传播。 能量只是在波节和波腹之间，
进行动能和势能的转化。
0t?
4
Tt?
2
Tt?
势能动能势能
11第十三章 机械波四、半波损失半波损失 —— 入射波在反射点振动相位与反射波在反射点振动相位相反的现象。
入射波反射波
x
实验表明：当波由波疏介质入射到波密介质，再返回波疏介质时，在反射点将发生半波损失。
若反射时无能量损失，则入射波和反射波合成产生驻波。
x
疏 密
x
疏密有半波损失固定端波节无半波损失自由端波腹
12第十三章 机械波有一波在固定端 x=0处 反射,设入 射波方程：
c o s 2 ( )txyA T入
x
y
o
入反无能量损失，求 反 射波波动方程、驻波方程、腹点、节点解：
例入射波在 o点的振动方程：
o c o s ( 2 )
tyA
T
反射波在 o点的振动方程：
o c o s ( 2 )
tyA
T
半波损失反射波的波动方程：
c o s [ 2 ( ) ]txyA T反合成驻波方程,y y y
入 反 2 c o s ( 2 ) c o s ( 2 )
22
xtA
T
2 2x k
腹点：
节点,2 ( 2 1 )
22
x k
0,1,2,324x k k
0,1,22x k k
13第十三章 机械波例：有一平面正弦波沿 X轴正向传播，
c o s ( 2 2 )txyA T
在 x=L处反射，设波从波疏介质上射入波密介质，波在传播中振幅不变。
求,(1)合成驻波的方程
(2)波腹波节的位置解,c o s ( 2 2 )txyA
T入
B点振动方程：
2c o s ( 2 )
B
tLyA
T
P点振动方程：
c o s ( 2 4 2 )t L xA T
2c o s [ 2 ]2 ( )tLyA
T
Lx
反
y
xo B
L
p
u
密疏反射波 B点振动方程,2c o s ( 2 )
B
tLyA
T
反 －
14第十三章 机械波
(1)合成驻波方程,y y y
入 反腹点
c o s( 2 2 ) 12Lx22 2Lx k
( 2 1 ) 0,1,24x L k k
节点
c o s ( 2 2 ) 02Lx2 2 ( 2 1 )22Lx k
0,1,22x L k k
c o s ( 2 2 ) c o s ( 2 4 2 )t x t L xAA TT＋
2 c o s ( 2 2 ) c o s ( 2 2 )22t L L xyA T
(2)
15第十三章 机械波五、有界弦（腔）的驻波 简正模式
1,两端固定限定：两端为波节
,2,12 nnl?
可能的模式简正模式
l
1
2l
22
2l
33
2l
特定的振动方式称为系统的简正模式。
16第十三章 机械波
2.一端固定 一端开口开口端 (自由端 )是波腹
2 1 ( 0,1,2,)2 4 4l n n n
l 至少是四分之一波长固定端是波节
1
4l
23
4l
35
4l
l
乐器 (共振腔 )
激光器 (纵模 )
波导管
l
