第3章 点 3.1 点的三面投影 点的构成形体的最基本元素，点只有空间位置而无大小。 3.1.1、点的三面投影的形成 图3-1（a）是空间点A的三面投影的直观图，即过A分别向H、V、W面的投影为a，a′，a″。图3-1（b）是点A的三面投影图。 约定：空间点用大写字母表示（如A），其在H面上的投影称为水平投影，用相应的小写字母表示（如a）；在V面上的投影称为正面投影，用相应的小写字母并在右上角加一撇表示（如a′）；在W面上的投影称为侧面投影，用相应的小写字母并在右上角加两撇表示（如a″）。 （tp3-1） 图3-1 点的三面投影 3.1.2、点的投影规律 由图3-1（a）可以看出，过空间点A的两条投影线Aa和A a′所决定的平面，与V面和H面同时垂直相交，交线分别是aax和a′ax，因此OX轴必然垂直于平面Aaax a′，也就垂直于aax和a′ax。而aax和a′ax是互相垂直的两条直线，当H面绕X轴旋转至与V面成为同一平面时，aax和a′ax就成为一条垂直于OX轴的直线，即a a′⊥OX，如图3-1（c）。同理，a′a″⊥OZ。aY在投影面展平之后，被分为aYH和aYW两个点，所以aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW，即aax= a″aZ。 （tp3-1） 图3-1 点的三面投影 从上面分析可以得出点的投影规律： 1、点的V面投影和H面投影的连线必定垂直于X轴，即a a′⊥OX。 2、点的V面投影和W面投影的连线必定垂直于Z轴，即a′a″⊥OZ。 3、点的H面投影到X轴的距离等于W面投影到Z轴的距离，即aax= a″aZ。 这三项正投影规律，就是称之为“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系。从图3-1（a）中还可看出，a′ax= a″aY =Aa，其中Aa是空间点A到H面的距离，即点的V投影到OX轴的距离等于点的W投影到OYW轴的距离。它们都等于点到H面的距离；aax= a″aZ =Aa′，其中Aa′是空间点A到V面的距离，即点的H投影到OX轴的距离等于点的W投影到OZ轴的距离。它们都等于点到V面的距离；a′aZ= aaY =Aa″，其中Aa″是空间点A到W面的距离。因此可得出：点的三个投影到各投影轴的距离，分别代表空间点到相应的投影面的距离。这也说明，在点的三面投影图中，每两个投影都具有一定的联系性。因此，只要给出一点的任何两个投影，就可求出第三投影。 （tp3-2） 图3-2 求一点的第三投影 例如图3-2（a），已知点A的水平投影a和正面投影a′，则可求出其侧面投影a″。 过a′引OZ轴的垂线a′aZ，如图3-2（b）。 在a′aZ的延长线上截得a″aZ = aax，a″即为所求。也可过a引OY轴的重线aaYH，并量取OaYH=OaYW，过aYW点作OYW轴的垂线，在a′aZ的延长线上截得a″，也得所求，如图3-2（c）。a″还可由图3-2（d）、（e）、（f）的方法求得。 如空间点位于投影面上（即点的三个距离中有一个距离等于零），则它的三个投影中必有两个投影位于投影轴上。反之，空间一个点的三个投影中如有二个投影位于投影轴上，该空间点必定位于某一投影面上。如图3-3（a），B点位于V面上，则B点到V面的距离为零。C点位于H面上，则C点到H面的距离为零。它们的第三投影一定在轴上，如图3-3（b）。 （tp3-3） 图3-3 求特殊点的第三投影 注释： tp3-1：插入图片jzztyst-tp-0301 tp3-1：插入图片jzztyst-tp-0301 tp3-2：插入图片jzztyst-tp-0302 tp3-3：插入图片jzztyst-tp-0303