第6章 直线与平面 直线和平面之间以及两平面之间的相对位置，一般有三种情况，即平行、相交和垂直。本章主要是研究它们的投影特性和作图方法。 6.1 直线和平面平行、两平面互相平行 6.1.1、直线和平面平行 直线和平面平行的几何条件： 若直线平行于属于平面的任一直线，则此直线与该平面平行。 如图6-1所示，直线AB平行于属于平面P的直线CD，则直线AB∥P面。 （tp6-1） 图6-1 直线和平面平行 利用上述几何条件，即可作直线平行于平面、平面平行于平面，以及判别直线与平面是否平行。 【例6-1】 已知ΔABC及不属于ΔABC的一点M，试过点M作一正平线MN平行于三角形ABC。（如图6-2（a）） （tp6-2） 图6-2 过点M作一正平线MN平行于ΔABC 解：1. 分析：属于三角形ABC的正平线有无数条，但它们的方向都是一致的，故过点M只能作一条正平线与ΔABC平行。 2. 作图：（见图6-2（b）） （1）首先取一条属于三角形ABC的正平线AD。因正平线的H面投影平行于OX轴，故过a作ad∥OX，再由ad求出。 （2）过已知点M作直线MN平行于AD。为此，应过点M的投影m、分别作mn∥ad、∥。 （3）MN的两个投影mn和即为所求。 【例6-2】已知直线AB及CD的H、V面投影，试包含直线CD作平面平行于AB。如图6-3（a）所示。 （tp6-3） 图6-3 含直线CD作平面平行于已知直线AB 解：1. 分析：要含直线CD作平面平行于已知直线AB，必须使所作的平面应有一直线与AB平行，故只要过CD的任一端点作直线(如DE)平行于AB即可。 2. 作图：过点D的投影d、分别作de∥ab、∥，则相交二直线CD、DE所确定的平面即为所求。 【例6-3】已知直线MN与ΔABC的H、V面投影，判别它们是否平行。（图6-4（a）） （tp6-4） 图6-4 判别直线MN与ΔABC是否平行 解：1. 分析：若能作出一条属于ΔABC的直线与已知直线平行，则MN便平行于ΔABC。反之，则不平行。 2. 作图：作一条属于ΔABC的直线CD，使它的V面投影∥，再求出H面投影cd，检查cd与mn不平行。这就是说，不能作出一条属于ΔABC的直线与MN平行，所以直线MN与ΔABC不平行。（图6-4（b）） 应当注意，当平面处于特殊位置时，只要平面的积聚投影与直线在该投影面的投影平行，则直线与平面必互相平行。图6-5为直线AB与铅垂面P平行的投影图。 （tp6-5） 图6-5 直线AB与铅垂面P平行 6.1.1、两平面互相平行 两平面平行的几何条件：若属于一平面的相交二直线，对应地平行于属于另一平面的相交二直线，则此二平面互相平行。 如图6-6所示，属于平面P的一对相交二直线AB、CD，对应地平行于属于平面Q的一对相交二直线A1B1、C1D1，则P、Q两平面互相平行。 利用上述几何条件，即可作平面和已知平面平行，以及判别两平面是否平行。 （tp6-6） 图6-6两平面互相平行 【例6-4】过点D作平面平行于ΔABC。（图6-7（a）） （tp6-7） 图6-7过点D作平面平行于ΔABC 解：1. 分析：要使所作平面与ΔABC平行，应过点D作一对相交二直线DE、DF对应地平行于属于ΔABC的一对相交二直线AB、AC。则相交二直线DE、DF确定的平面就必然与ΔABC平行。 2. 作图：（如图6-7（b）） （1）过点D的H面投影d作de∥ab，df∥ac。 （2）过点D的V面投影作∥，∥。 （3）相交二直线DE、DF所确定的平面即为所求。 【例6-5】 已知ΔABC和ΔDEF的H、V面投影，判别它们是否平行。（图6-8（a）） （tp6-8） 图6-8判别ΔABC和ΔDEF是否平行 解：1. 分析：若能作出属于某一三角形（如ΔABC）的一对相交二直线对应地平行于ΔDEF属于的DE、DF两条直线，则ΔABC和ΔDEF便互相平行。反之，则不平行。 2. 作图：（如图6-8（b）所示） （1）过A点的V面投影作∥； （2）由求出am； （3）检查图中am∥de，故AM∥DE；所以，ΔABC∥ΔDEF。 若所作直线AM∥DE，则还需作∥，由求出an，如果an∥df，则两三角形仍不平行。若am∥df，则ΔABC和ΔDEF互相平行。 应当注意，当互相平行的两平面为某投影面垂直面时，则两平面在该面的积聚投影一定平行。判别两个某投影面垂直面是否平行时，只需检查两平面在该投影面的积聚投影是否平行即可。 图6-9所示为互相平行的两个铅垂面的直观图和投影图。 （tp6-9） 图6-9互相平行的两铅垂面 注释： tp6-1：插入图片jzztyst-tp-0601 tp6-2：插入图片jzztyst-tp-0602 tp6-3：插入图片jzztyst-tp-0603 tp6-4：插入图片jzztyst-tp-0604 tp6-5：插入图片jzztyst-tp-0605 tp6-6：插入图片jzztyst-tp-0606 tp6-7：插入图片jzztyst-tp-0607 tp6-8：插入图片jzztyst-tp-0608 tp6-9：插入图片jzztyst-tp-0609