第9章 两立体相贯 相交的两立体常称为相贯体。相贯体表面的相交线称为相贯线。 相贯线的基本性质： （1）相贯线是两相贯体表面的共有线。相贯线上的每个点都是两立体表面的共有点。 （2）由于立体表面有一定的范围，所以相贯线一般是闭合线。仅当两立体具有重迭表面时，相贯线才不闭合。 求相贯线的一般步骤是： （1）分析：认识两相贯体的形体特征，考察它们的相对位置，研究它们哪些部分参与相贯。若两相贯体中，一立体全部贯穿另一立体，则称为“全贯”，此时有两组相贯线。若两立体部分相贯时，则称为“互贯”，此时仅有一组相贯线。 （2）求相贯点：首先求出特殊点，然后求出适当的一般点。 （3）依一定的次序连相贯点成相贯线。 （4）判别可见性：位于两立体均为可见表面上的相贯线才是可见的。 工程形体常常是由两个或更多的基本几何形体组合而成的。这些形体又常处于特殊位置，因此以下介绍的相贯体，至少其中之一具有特殊位置。平面立体和曲面立体及它们之间的相贯如图9-1所示。 （tp9-1） 图9-1两立体相贯示意图 9.1 两平面体相贯 两平面体相贯的相贯线，一般是闭合的空间折线。属于相贯线的每一线段都是两平面体有关棱面的交线。每个折点都是一平面体的棱线对另一平面体的相贯点。 【例9-1】求作两三棱柱的相贯线，如图9-2（a）。 （tp9-2） 图9-2两三棱柱相贯的相贯线 解：1. 分析 三棱柱ABC的棱线⊥H面，它的水平投影abc有积聚性。三棱柱DEF的棱线⊥W面，它的侧面投影d″e″f″有积聚性。从水平投影或侧面投影都可看出，两三棱柱都有不相贯的棱线，即AA、CC和FF棱线。故它们为互贯，只有一组相贯线。由于每条棱线有二个交点，故相贯线上共应有六个折点。 2. 求相贯点 利用三棱柱ABC的水平投影abc有积聚性的性质，可直接定出三棱柱DEF的EE、DD棱线对三棱柱ABC的相贯点Ⅰ（1、1′、1″）、Ⅱ（2、2′、2″）、Ⅲ（3、3′3″）、Ⅳ（4、4′、4″）。同样可利用三棱柱DEF的侧面投影d″e″f″的积聚性的性质，可直接求出三棱柱ABC的BB棱线对三棱柱DEF的相贯点Ⅴ（5、5′、5″）、Ⅵ（6、6′、6″）。如图9-2（b）。 3. 连相贯点为相贯线 对于平面立体，连相贯线的原则是：属于一立体同一棱面而同时属于另一立体也是同一棱面的两点才能相连。从任一点开始，例如点Ⅰ和点Ⅲ相连，因它们同属于三棱柱ABC的AABB棱面，又同属于三棱柱DEF的EEDD棱面。点Ⅰ和Ⅳ就不能相连，因它们虽属于三棱柱DEF的EEDD棱面，但属于三棱柱ABC的不同棱面AABB和BBCC。同时还应记住一棱线对另一立体贯进、贯出的两点，例如Ⅰ和Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ以及Ⅴ和Ⅵ都决不能相连。如图9-2（b）。 4. 判别可见性 相贯线属于两立体均为可见棱面的线段才是可见的。对于水平投影相贯线积聚在三棱柱ABC有积聚性的投影上，无需判别是否可见。在此只需对相贯线的正面投影进行判别。1′3′、2′4′为不可见，因它们位于三棱柱DEF的不可见棱面DDEE上，故应画为虚线。其余四段均可见，画为实线。 图9-2（d）是相贯体的轴测图。 如果将三棱柱DEF沿水平方向抽出，则成为一直立三棱柱被贯一水平三棱柱孔。作图方法完全一样，完成后如图9-2（c）。注意图中原相贯线虚实的变化及新出现的虚线。 【例9-2】求三棱锥与四棱柱的相贯线，如图9-3（a）。 （tp9-3） 图9-3三棱锥与四棱柱相贯 解：1.分析 （1）三棱锥的底面为水平面。四棱柱的四条棱线均垂直于正面，故其正面投影有积聚性，棱柱的上下棱面均为水平面，左右二棱面均为侧平面。 （2）从正面投影观察，可知四棱柱的四条棱线DD、EE、FF和GG都参与相贯，只有三棱锥有不参与相贯的棱线，故为“全贯”。又从水平投影观察，四棱柱“贯进”、“贯出”三棱锥，因此相贯线为两组。 （3）投影图为左右对称，故相贯线也是左右对称的。 2. 求相贯线 如图9-3（b）所示。求相贯线的方法有两种：辅助线法和辅助面法。 辅助线法：欲求DD棱线与三棱锥的相贯点，可利用其V面上的积聚投影。连s′d′，并延长与a′b′相交于q′，此s′q′为斜面SAB上过Ⅰ点的一条辅助线。按投影关系求得sq、s″q″，它们与dd、d″d″的交点1、1″即为相贯点Ⅰ的两个投影。其它点利用同样的方法可求得。 辅助面法： 如图9-3（b）所示，过棱柱上棱面DDEE的水平面PV交三棱锥于△IJK，可得DDEE和三棱锥的交线为IJⅢ（1j3）和ⅡⅣ（24）。过棱柱下棱面GGFF的水平面RV交三棱锥于△LMN，可得GGFF和三棱锥的交线为ⅤMⅦ（5m7）和ⅥⅧ（68）。故得两组相贯线分别为1jⅢⅦMVⅠ（1j37m51）和ⅡⅣⅧⅥⅡ（24862）。前者为闭合的空间折线，后者为闭合的平面折线。它们在正面投影都积聚在d′e′f′g′上。 根据水平投影和正面投影可补出侧面投影来。 3. 判别可见性 对相贯线的水平投影才需判别是否可见。相贯线ⅤMⅦ和ⅥⅧ属于四棱柱的不可见面GGFF，故5m7和68为不可见，应画为虚线。其余均为实线，如图9-3（b）。 图9-3（d）是相体的轴测图。 如果将四棱柱抽出，则成为三棱锥被贯一四棱柱孔。作图方法与上相同，完成后的图形如图9-3（e）所示。注意图中出现的虚线。 注释： tp9-1： 插入图片jzztyst-tp-0901 tp9-2： 插入图片jzztyst-tp-0902 tp9-3： 插入图片jzztyst-tp-0903