6.3 直线和平面垂直、两平面互相垂直 6.3.1、直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直的几何条件： 若直线垂直于属于平面的任意两条相交直线，则此直线与该平面垂直。即： 若 KL⊥G1、G2 （G1、G2是属于平面P的两条相交直线） 则 KL⊥P（如图6-17） (tp6-17) 图6-17直线与平面垂直的几何条件 反之，若直线垂直于平面，则此直线垂直于属于该瑳同的所有直线。即： 若 KL⊥P（图6-17） 则 KL⊥G1、G2、G3、G4… （G1、G2、G3、G4…属于平面P） 2. 直线与平面垂直的投影特性： 如图6-18（a）所示，直线KL垂直于平面P，则直线KL必垂直于属于平面P的水平线AE和正平线CD。根据一边平行于投影面的直角的投影特性可知：KL的H面投影kl应垂直于AE的H面投影ae；KL的V面投影（如图6-18（b））。 (tp6-18) 图6-18直线和平面垂直 由此得出结论：若直线垂直于平面，则： （1）直线的H面投影垂直于属于平面的水平线的H面投影； （2）直线的V面投影垂直于属于平面的水平线的V面投影； 反之，在投影图，若直线的H面投影垂直于属于平面的水平线的H面投影；直线的V面投影垂直于属于平面的正平线的V面投影，则此直线在空间垂直于该平面。 根据上述投影特性，可以在投影图上过一点作直线垂直于平面；过一点作平面垂直于直线；或判别直线与平面是否垂直等有关直线和平面垂直的其它作图问题。 【例6-6】 求点K至ΔABC的距离。（图6-19（a）） (tp6-19) 图6-19求点K至ΔABC的距离 解：点至平面的距离应通过已知点向平面作垂线，其已知点与垂足点之间的距离即为所求。根据上述结论，先过ΔABC的点B和点A，作属于ΔABC的水平线BE和正平线AD。再过点K作KF分别垂直于BE和AD，则KF即垂直于ΔABC。然后再求出所作垂线KF与ΔABC的交点L，则KL即为所求。具体作图如下： （1）作水平线BE。过作∥OX，再由求出be； （2）作正平线AD。过a作ad∥OX，再由ad求出； （3）过K作KF分别与水平线BE和正平线AD垂直。为此，过k和分别作kf⊥be，⊥。KF即为过点K向ΔABC所作的垂线（图6-19（b））。 （4）求出KF与ΔABC的交点（即垂足点）L。然后，再利用直角三角形法求出KL的实长为k1l，即是点K到ΔABC的距离。（图6-19（c）） 【例6-7】 求点K至直线AB的距离。（图6-20（a）） (tp6-20) 图6-20求点K至直线AB的距离 解：点到直线的距离应通过已知点向直线作垂面，所作垂面与已知直线的交点即为垂足点，已知点与垂足点之间的距离即为所求。为此，先过点K作一条水平线KⅠ和正平线KⅡ垂直于已知直线AB，则相交二直线KⅠ、KⅡ所确定的平面即为过点K向直线AB所作的垂面。然后再求出直线AB与所作垂面的交点L，则KL即为所求。具体作图步骤如下： （1）过点K向直线AB作垂面。即过k作k1⊥ab，过作∥OX；再过作⊥，过k作∥OX。相交二直线KⅠ和KⅡ所确定的平面即为所求。（图6-20（b）） （2）求出已知直线AB与所作垂面KⅠⅡ的交点（即垂足点）L。然后，再利用直角三形法求出KL的实长k1l，即为点K到直线AB的距离。（图6-20（c）） 【例6-8】 已知直线MN和ΔABC的H、V面投影，判别它们是否垂直。（图6-21（a）） (tp6-21) 图6-21判别直线MN是否垂直ΔABC 解：若能作出属于ΔABC的一条水平线和一条正平线与直线MN垂直，则直线MN垂直于ΔABC。反之，则不垂直。判别步骤如下：（图6-21（b）） （1）先过a作ad∥OX，由ad求出； （2）再过作∥OX，由求出ce。 作图结果表明，虽然⊥，但是mn不垂直于ce，故直线MN不垂直于ΔABC。 应当注意，当直线AB垂直于投影面垂直面P时，（图6-22所示为直线AB垂直于铅垂面P）,则直线在P所垂直的投影面的投影与平面的积聚投影相垂直。此时，垂直于平面的直线AB必为平面所垂直的投影面的平行线(图6-22中为水平线)。由此可知，要作投影面垂直面的垂线，可先作直线的一个投影和平面的积聚投影相垂直，所作直线的另一投影，一定平行于相应的投影轴。若要判别直线和投影面垂直面是否垂直，应先检查平面的积聚投影和该面的直线投影是否垂直，如果垂直，然后再检查直线的另一投影是否平行于相应的投影轴。若平行，则直线与投影面垂直面垂直。反之，则不垂直。 (tp6-22) 图6-22直线与投影面垂直面相垂直 6.3.2、两平面互相垂直 两平面互相垂直的几何条件：若两平面互相垂直，则从属于甲平面的任一点向乙平面所作的垂线必属于甲平面。 (tp6-23) 图6-23两平面互相垂直的几何条件 图6-23所示，从属于平面Q的任一点A向平面P作垂线AB，若AB属于平面Q，则平面Q便垂直于平面P（图中AB属于平面Q）。反之，若AB不属于平面Q，则平面Q不垂直于平面P。如果AB垂直于平面P，则包含AB的所有平面均垂直于平面P。 利用上述几何条件，即可判别两已知平面是否垂直，或作一平面垂直于另一已知平面。 【例6-9】试判别ΔABC和ΔDEF是否垂直。（图6-24（a）） (tp6-24) 图6-24判别两平面ΔABC和ΔDEF是否垂直 解：1. 分析：若能作出一条属于ΔDEF的直线垂直于ΔABC，则两平面就互相垂直。反之，则不垂直。 2. 投影作图：（图6-24（b）） （1）过点C作一条属于ΔABC的正平线CM。即过c作cm∥OX，并由cm求出； （2）再过点C作一条属于ΔABC的水平线CN。即过作∥OX，并由求出cn； （3）过ΔDEF的顶点E的V面投影作∥，并根据EG属于ΔDEF求出eg； （4）从图6-24（b）中可知，检查其eg不垂直于水平线CN的H面投影cn，这就说明EG不垂直于ΔABC，故ΔABC和ΔDEF不互相垂直。 【例6-10】过点A作平面平行于直线CD，且垂直于ΔEFG（图6-25（a））。 (tp6-25) 图6-25过点A作平面平行于直线CD，且垂直于ΔEFG 解：1. 分析： 过点A可以向ΔEFG作一条垂线，包含该垂线的所有平面均垂直于ΔEFG。但是，所作平面还要平行于直线CD，故它必须包含一条平行于CD的直线。因此，我们可用相交二直线表示所作平面，其中一条垂直于ΔEFG，另一条则平行于直线CD。 2. 投影作图（图6-25（b））: （1）过点G作一条属于ΔEFG的水平线GK。为此，应过作∥OX，再由求出gk； （2）再过点E作一条属于ΔEFG的正平线EL。因此，可过e作el∥OX，再由el求出； （3）过作⊥，过a作an⊥gk。an和即为过点A垂直于ΔEFG的直线AN； （4）再过a作am∥cd，过作∥。am和即为过点A平行于CD的直线AM； （5）相交二直线AM、AN所表示的平面即为所求。 【例6-11】包含已知直线AB作平面垂直于已知正垂面P（图6-26（a））。 (tp6-26) 图6-26包直线AB作平面垂直于平面P 解：因平面P为正垂面，其V面投影积聚为直线。故过直线AB的任一端点B向平面P所作垂线BC应为正平线，其V面投影必垂直于平面P的积聚投影。所以，过作⊥，过b作bc∥OX（图6-26（b））。bc和即为垂直于平面P的直线BC。相交二直线AB、BC所表示的平面即为所求。 应当注意，当互相垂直的两平面同时为某投影面的垂直面时，则两平面的积聚投影互相垂直（图6-27）。 (tp6-27) 图6-27互相垂直的两投影面垂直面 判别两个同一投影面的垂直面是否互相垂直时，不需作图，只检查其积聚投影是否垂直即可。 学完本章之后，即可解决有关点、直线、平面之间的投影作图问题。在解决这些问题时，首先要根据立体几何的有关知识进行分析，想象出它们的空间关系，确定解题的方法和步骤，然后在投影图中进行作图。下面，我们再来看几个例题。 【例6-12】过点A作直线AK既平行于ΔDEF，又和直线BC相交（图6-28（b））. (tp6-28) 图6-28过点A作直线AK平行于ΔDEF且和直线BC相交 解：1. 空间分析（图6-28（a））： 所作直线要满足两个条件：1）与ΔDEF平行；2）与直线BC相交。满足第一个条件有无数解，这些解的轨迹是一个通过点A并与ΔDEF平行的平面P，这个轨迹平面P可以先画出。画出P面后，再求出已知直线BC和P面的交点K，则直线AK即为所求。 2. 投影作图步骤（图6-28（c））： （1）过点A作平面P（图中用ΔAⅠⅡ表示）平行于ΔDEF；为此，过a分别作a1∥ef和a2∥de，过作∥和∥。 （2）求出已知直线BC和平面P（即ΔAⅠⅡ表示）的交点K；为此，含BC作铅垂面R为辅助面，则RH与bc重合，在H面投影中直接定出平面R与平面P的交线的H面投影12，由12求出。则与的交点即为交点K的V面投影。再由求出k，即求出了交点K的两个投影k和。 （3）连接ak和即为所求。 【例6-13】作直线MN和AB、CD二直线相交，并平行于直线EF（图6-29（b））。 (tp6-29) 图6-29作直线MN和AB、CD二直线相交且平行于EF 解：1.空间分析（图6-29（a））： 所求的直线MN必属于平行于EF的平面，而MN又要与相叉二直线AB、CD都相交，故过其中一条直线如AB作一平面P平行于直线EF，所作平面与另一直线CD相交于点N，过点N作直线平行于EF并交AB于点M，则MN即为所求直线。 2.投影作图步骤（图6-29（c））： （1）过直线AB的端点A作直线AG∥EF。为此过a，分别作ag∥ef和∥，相交二直线AB和AG所确定的平面即为平行于EF的平面P； （2）求出直线CD与所作平面P的交点N。图中是含CD作正垂面R为辅助面，则RV与重合，在V面投影中可直接定出P、R两平面交线的V面投影，由求出12。则12与cd的交点n即为交点N的H面投影，再由n求出； （3）过点N作直线MN∥EF。即过n作nm∥ef，并与ab交于m，过作∥，且交于。注意，m必垂直于OX。mn、即为所求直线MN。 本题还有另一种解法。即过相叉二直线AB、CD分别作平面P、Q平行于直线EF，求出P、Q两平面的交线MN即得所求直线。 【例6-14】以AB为底边作一等腰△ABC，使其顶点C属于直线MN（图6-30（b）） (tp6-30) 图6-30以AB为底作顶点属于MN的等腰△ABC 解：1.空间分析（图6-30（a））： 因AB为等腰△ABC的底边，其顶点C应属于AB的中垂面，而本题又要求顶点C属于MN，故顶点C应为AB的中垂面和MN的交点。 2. 投影作图步骤（图6-30（c））： （1）作AB的中垂面。首先定出AB的中点D的投影d和，过、d分别作∥OX，de⊥ab以及⊥，df∥OX。则DE、DF所示平面即为AB的中垂面； （2）求MN与所作中垂面DEF的交点C。为此含MN作正垂面Q为辅助平面，不难确定平面Q与中垂面的交线的投影ef、。Ef与mn的交点c即为所求顶点C的H面投影，由c求出； （3）分别连接abc和即为所求。 注释： tp6-17：插入图片jzztyst-tp-0617 tp6-18：插入图片jzztyst-tp-0618 tp6-19：插入图片jzztyst-tp-0619 tp6-20：插入图片jzztyst-tp-0620 tp6-21：插入图片jzztyst-tp-0621 tp6-22：插入图片jzztyst-tp-0622 tp6-23：插入图片jzztyst-tp-0623 tp6-24：插入图片jzztyst-tp-0624 tp6-25：插入图片jzztyst-tp-0625 tp6-26：插入图片jzztyst-tp-0626 tp6-27：插入图片jzztyst-tp-0627 tp6-28：插入图片jzztyst-tp-0628 tp6-29：插入图片jzztyst-tp-0629 tp6-30：插入图片jzztyst-tp-0630