4.3 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置，可分为平行、相交和相叉三种情况。 下面分别讨论它们的投影特性。 4.3.1、平行二直线 1、定义：其交点在无限远处的空间二直线，叫做平行二直线。 2、投影特性：若空间二直线平行，则它们的各同面投影也互相平行。 如图4-9(a)所示，若AB∥CD，由于Aa∥Cc，故包含AB的投射平面ABba与包含CD的投射平面CDdc应互相平行。此平行二平面同时与第三平面H投影面相交，所得的交线亦互相平行。即ab∥cd。同理可得：和。其投影如图4-9(b)所示。 （tp4-9） 图4-9平行二直线 对于一般位置的两直线，只要任意两组同面投影互相平行，就可判定该二直线在空间也互相平行。图4-10中，因直线AB和CD均为一般位置直线，且ab∥cd、，故知空间直线AB∥CD。但当两条直线均平行于某投影面且无该面上的投影时，仅根据另两个同面投影平行，还不能确定它们在空间是否平行。如图4-11中的侧平线AB和CD，虽然ab∥cd、，但仍不能确定空间二直线AB与CD是否平行。要判断它们是否平行，可补画出W面投影，然后根据W投影来判断。当我们把W投影补画出来后就不难看出：在图4-11(a)中，由于W投影，故空间二直线AB平行于CD。而在图4-11(b)中，因与不平行，故空间二直线AB与CD不平行。 （tp4-10） 图4-10 AB和CD是相互平行二直线 （tp4-11） 图4-11 判断两侧平线是否平行 另外还要指出：当互相平行的两线垂直于某一投影面时，则在该投影面上的投影积聚为两点，且两点之间的距离反映两直线在空间的真实距离，如图4-12所示。 （tp4-12） 图4-12 垂直于投影面的两平行线的投影 4.3.2、相交二直线 1、定义：属于同一平面且不平行的空间二直线，叫做相交二直线。 2、投影特性：若空间二直线相交，则它们的各同面投影也必相交，且各投影的交点必符合点的投影规律(即，)。 （tp4-13） 图4-13相交二直线 图4-13(a)中，直线AB与CD相交于点K，因点K同时属于AB和CD，所以其投影k必属于ab和cd，即k为ab与cd的交点，同理，为与的交点，为与的交点（图中未画出侧面投影）。因k、、为空间一点K的三个投影，故必有，。图4-13(b)为其投影图，ab和cd交于k，与的交于，且轴。 反之，若两直线的各同面投影均相交，且各同面投影的交点符合点的投影规律，则两直线在空间也必相交。 同平行二直线一样，对于一般位置的两直线，只要根据两对同面投影的情况即可判断空间二直线是否相交。如图4-13(b)中，两直线的H面投影和V面投影均相交，且交点k和的连线，故空间二直线AB和CD相交。 但是，当两直线中的其中一条直线平行于某一投影面对，则应根据两直线在该投影面上的投影来进行判别。 如图4-14中的AB和CD两直线的H面投影和V面投影均相交，两投影的交点分别为f和，并且。但由于AB是一条侧平线，故还需补出它们的W面投影，才能判断空间是否相交。从图中可知，虽然W面投影和也相交，但V面投影的交点和W面投影的交点的连线不垂直于OZ轴，所以直线AB和CD不相交。 （tp4-14） 图4-14判断AB和CD是否相交 该题也可以利用定比关系来判断两直线是否相交，如图4-14中，很明显地看出：，故说明F点不属于直线AB，即点F不是直线AB和CD的交点。所以，直线AB和CD在空间不相交。 4.3.3、相叉二直线 定义：既不平行又不相交的空间二直线，叫做相叉二直线（或异面直线）。 投影特性：相叉二直线的同面投影可能相交，但投影的交点不符合点的投影规律。 如图4-15(b)所示，相叉二直线AB和CD的H面投影和V面投影均相交，但H面投影的交点3(4)与V面投影的交点的连线不垂直于OX轴。 （tp4-15） 图4-15 相叉二直线 同时，相叉二直线的同面投影也可能平行，但不可能各同面投影都同时平行。如前面图4-11(b)所示。 对于相叉二直线的投影，应注意其可见性的判别。事实上，相叉二直线任何一对同面投影的交点均是空间两个点的重影，这两个点分别属于两条直线，且又位于同一条投射线上。从图4-15(a)中可以看出：ab和cd的交点3(4)是属于空间直线AB的Ⅲ点和CD的Ⅳ点的H面投影。因点Ⅲ和点Ⅳ位于同一条铅垂线上，所以，其H面投影重合为一点。同样，和的交点是属于空间直线AB的Ⅱ点和CD的Ⅰ点的V面投影。因Ⅰ点和Ⅱ点位于同一条正垂线上，故其V面投影重合为一点。 凡重影点均应判别其可见性，并用括号把不可见点括起来。对于重影点的可见性判别，可采用如下方法： 对于H面重影点的可见性，应从上向下看。此时，较高的一点为可见，较低的一点为不可见。 对于V面重影点的可见性，应从前向后看。此时，较前的一点为可见，较后的一点为不可见。 对于W面重影点的可见性，应从左向右看。此时，较左的一点为可见，较右的一点为不可见。 如图4-15(b)所示，从水平投影的交点3(4)向上引投影连系线，与相交于，与相交于，因高于，即AB上的Ⅲ点高于CD上的Ⅳ点，故Ⅲ点的H面投影可见。这就是说：直线AB在Ⅲ点处高于直线CD。同理，从V面投影的交点向下作连系线，与ab与2，与cd交于1，因1前于2，即CD上的Ⅰ点前于AB上的Ⅱ点，故Ⅰ点的V面投影可见。这就是说：直线CD在Ⅰ点处前于直线AB。 注释： tp4-9：插入图片jzztyst-tp-0409 tp4-10：插入图片jzztyst-tp-0410 tp4-11：插入图片jzztyst-tp-0411 tp4-12：插入图片jzztyst-tp-0412 tp4-13：插入图片jzztyst-tp-0413 tp4-14：插入图片jzztyst-tp-0414 tp4-15：插入图片jzztyst-tp-0415